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第三章習題答案 1. 分別用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式計算積分計誤差。 解：1）用梯形公式有： 事實上， 2）Simpson公式 事實上， 3）由Cotes公式有： 事實上， 2．證明Simpson公式具有三次代數精度。 證明： 而當時 左側： 右側： 左側不等于右側。所以Simpson具有三次代數精度. 3.分別用復化梯形公式和復化公式Simpson計算下列積分. (1)，（3）， 解：（1）用復化梯形公式有： ，由復化Simpson公式有： 解：刪去 解（3）： 由復化梯形公式有： 由復化公式有： （4）解： 由復化梯形公式： 由復化Simpson公式： 4．給定求積節(jié)點試推出計算積分的插值型求積公式，并寫出它的截斷誤差。 解： 考慮到對稱性，有，于是有求積公式 由于原式含有3個節(jié)點，故它至少有2階精度。考慮到其對稱性，可以猜想到它可能有3階精度。事實上，對原式左右兩端相等： 此外，容易驗證原式對不準確，故所構造出的求積公式有3階精度。 5．給定積分。 （1） 利用復化梯形公式計算上述積分值，使其截斷誤差不超過 （2） 取同樣的求積節(jié)點，改用復化Simpson公式計算時，截斷誤差是多少？ （3） 如果要求截斷誤差不超過，那么使用復化Simpson公式計算時，應將積分區(qū)間分成多少等分？ 解：(1) =, 當誤差時，25.6, 所以取=26。 （2） 6．用Romberg求積方法計算下列積分，使誤差不超過。 （1）；（2）；（3）;(4) 解（1）： 計算可以停止。 解（2）： （3）解: 解（4）: 7．推導下列三種矩形求積公式： 證明：將在處Taylor展開，得 兩邊在上積分，得 將在處Taylor展開，得 兩邊在上積分，得 將在處Taylor展開，得 兩邊在上積分，得 8．如果證明用復化梯形公式計算積分所得結果比準確值大，并說明其幾何意義。 證明：復化梯形公式為 若在上連續(xù)，則復化梯形公式的余項為 由于且 所以使 則(1)式成為： 又因為所以 即用復化梯形公式計算積分所得結果比準確值大。 其幾何意義：曲線在定義域內是向下凹的，即曲線在曲線上任兩點連線的下方。 9．對構造一個至少具有三次代數精度的求積公式。 解：因為具有4個求積節(jié)點的插值型求積公式，至少有三次代數精度。如果在上取節(jié)點0，1，2，3，則插值型求積公式為： 　　　　　　　　 　　　　其中系數為　 　　　　　　 　　　　　同理求得　　 　　　　　即有：　　 10．判別下列求積公式是否是插值型的，并指明其代數精度： 解：插值型求積公式 其中 則 因此，是插值型的求積公式。 因其求積公式是插值型的，且存在2個節(jié)點，所以其代數精度至少是1。 對于時， 可見它對于不準確成立，故該求積公式的代數精度是1。 11．構造下列求積公式，并指明這些求積公式所具有的代數精度： 解（1）：令原式對于準確成立，于是有 解之得 ， 于是有求積公式 容易驗證，它對于不準確成立，故該求積公式的代數精度是1。 解（2）：令原式對于準確成立，于是有 解之得 于是有求積公式 容易驗證當時，而 可見，它對于不準確成立，故該求積公式的代數精度是3。 解(3)：令原式對于準確成立，于是有 解得: 于是有求積公式 容易驗證，當時，而 可見，它對于不準確成立，故該求積公式的代數精度是2。 12. 利用代數精度方法構造下列兩點Gauss求積公式： 解（1）：令原式對于準確成立，于是有 　　　　　 利用的第1式，可將第2式化為 　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　同樣，利用第2式化簡第3式，利用第3式化簡第4式，分別得 　　　　　　　　　　 　 　 　 由式消去得 　　　　　　　　　　　 　　　　　進一步整理 　　　　　　　　　　　 　　　　　由此解出　 　　　　　　　解得：　　　 　　因此所求的兩點Gauss求積公式： 或依下面的思想： 解（2）：令原式對于準確成立，于是有 　　　　　　 利用的第1式，可將第2式化為 　　　　　　　　　　 　　 　　　　　同樣，利用第2式化簡第3式，利用第3式化簡第4式，分別得 　　　　　　　　　　 　 　 　 由式消去得 　　　　　　　　　　　 　　　　　進一步整理 　　　　　　　　　　　 　　　　　由此解出　 　　　　　　　解得：　　　 　　因此所求的兩點Gauss求積公式： 或依下面的思想： 13．分別用三點和四點Gauss－Chebyshev求積公式計算積分，并估計誤差。 解：用三點Gauss-Chebyshev求積公式來計算： 　　　此時， 　　　由公式可得： 由余項可估計誤差為　　　 用四點Gauss-Chebyshev求積公式來計算： 　　此時， 　　　　　 　　　　　 　 由余項可估計誤差為　 14．用三點求積公式計算積分，并估計誤差。 解：作變換則得 　　　 　　　由三點Gauss-Legendre公式： 　　　　　　　 　　　 　　　　 　　　　 其估計誤差為： ,（）。其準確值　 其準確誤差等于： 17