北京航空航天大學(xué)BEIHANG UNIVERSITY20132014學(xué)年 第二學(xué)期期末考試統(tǒng)一用答題冊考試課程 概率統(tǒng)計A （A09B204A）概率統(tǒng)計B（A09B204B）B（試卷共6頁，六道題） 班 級_ 學(xué) 號 _姓 名_ 成 績 _考場教室_ 任課教師_題號一二三四五五六六總分分數(shù)閱卷人校對人2014年7月3日 10：3012：30一、 選擇題，根據(jù)題目要求，在題下選項中選出一個正確答案（本題共32分，每小題各4分）1、設(shè)總體,為來自的樣本，； 記 ， 。在未知方差，檢驗假設(shè):時，選取檢驗用的統(tǒng)計量是 。（A）； （B）；（C） ； (D) .2、設(shè)為任意兩事件,則下列關(guān)系成立的是 。(A) ; (B) ;(C) ; (D) 。3、設(shè)總體的概率密度為 , （）又為來自于總體的樣本值,則參數(shù)的極大似然估計 。A ； B. ；C. ； D. 。4、設(shè)為來自總體的樣本，；總體均值，總體方差， 記 ， ,表述中正確的結(jié)論是 。A.； B. 。C. 是的無偏估計量； D. ；5、設(shè)隨機變量的概率密度為,分布函數(shù)為，且,；對,設(shè)是方程的解， 下列表述中正確的結(jié)論是 。A. ； B. ；C. ； D. 。6、設(shè)二維隨機變量, 則 。 A 36, B. 37 , C.32 , D. 48 。7、設(shè)是來自總體樣本，總體均值為，總體方差為。為樣本均值。若的置信度為0.95,置信區(qū)間的上、下限分別為 與, 則該區(qū)間的意義是 。 A., B., C. ;D. 。8、設(shè)是來自總體的樣本,已知,下列幾個作為的估計量中,較優(yōu)的是 。A., B. ,C., D .。二、 填空題（本題滿分32分，每小題4分）1、三門火炮同時炮擊一敵艦(每炮發(fā)射一彈).設(shè)擊中敵艦一、二、三發(fā)炮彈的概率分別為0.3、0.5、0.1,而敵艦中彈一、二、三發(fā)時被擊沉的概率分別為0.2、0.6、1。則敵艦被擊沉的概率為 。2、設(shè)袋中有4只白球和3只黑球,現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出3只球,則恰有2只白球的概率為 。3、設(shè)隨機變量的概率密度為 , ,則有 。4、 設(shè)隨機變量的概率密度為 , ，其中為正常數(shù)，為正整數(shù)，則隨機變量的概率密度 。5、設(shè)隨機變量的概率密度為, ,分布函數(shù)為，其中常數(shù), 則 。6、設(shè)為來自總體的樣本；總體均值，總體方差， 記 ，則有 。7、設(shè)某昆蟲產(chǎn)個卵的概率為,(為常數(shù)),.每個卵能孵化成幼蟲的概率為,且各個卵能否孵化成幼蟲是相互獨立的,設(shè)“該昆蟲有后代”, 則 。8、一袋中裝有只黑球及1只白球,每次從袋中隨機地摸出一球,并換入一只黑球,這樣繼續(xù)下去,設(shè)“第次摸球時得到黑球”，則 。三、（滿分8分）設(shè)一次試驗中事件發(fā)生的概率 (),把試驗獨立地重復(fù)做次, 令“在次實驗中事件至少發(fā)生一次”，試求：（1）；（2）解釋：利用（1）的結(jié)果對實際的指導(dǎo)意義。四、（滿分8分） 設(shè)隨機變量序列相互獨立,且存在有相同的數(shù)學(xué)期望和方差，, ；記,試證：（1）；（2）；（3）依概率收斂于 。五、（滿分10分）（此題學(xué)概率統(tǒng)計A的學(xué)生做，學(xué)概率統(tǒng)計B的學(xué)生不做）設(shè)隨機過程,其中是實常數(shù),服從區(qū)間上的均勻分布,試求：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）指出該隨機過程的類型。五、（滿分10分）（此題學(xué)概率統(tǒng)計B的學(xué)生做；學(xué)概率統(tǒng)計A的學(xué)生不做） 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本, ,試求：（1）求服從的分布；（2）求服從的分布； （3）寫出服從的分布；（4）求統(tǒng)計量服從的分布.六、（滿分10分）（此題學(xué)概率統(tǒng)計A的學(xué)生做，學(xué)概率統(tǒng)計B的學(xué)生不做）四個位置:1,2,3,4在圓周上逆時針排列.粒子在這四個位置上隨機游動.粒子從任何一個位置,以概率逆時針游動到相鄰位置; 以概率順時針游動到相鄰位置;以表示時刻粒子處在位置,則為齊次馬氏鏈。 試求：（1）的狀態(tài)空間；（2）一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。六、（滿分10分）（此題學(xué)概率統(tǒng)計B的學(xué)生做；學(xué)概率統(tǒng)計A的學(xué)生不做）設(shè)隨機變量的概率密度為,;設(shè)，試求：（1）的分布函數(shù)；(2) 的概率密度 .答案及評分細則 （2014-07-03）A卷一、單項選擇題（每小題4分，滿分32分）1、B； 2、A ；3、D；4、C ；5、C；6、D ；7、A；8、B 。二、填空題（每小題4分，滿分32分）1、 ；2、0； 3、； 4、；5、；6、 ； 7、；8、。B卷一、單項選擇題（每小題4分，滿分32分）1、A 。2、B； 3、A ；4、D；5、B ；6、C；7、D ；8、A； 二、填空題（每小題4分，滿分32分）1、； 2、 ； 3、；4、。 5、 ；6、0； 7、； 8、；三、（滿分8分）解 (1) 記為次試驗中事件發(fā)生的次數(shù), 由題設(shè)知. 令“事件至少發(fā)生一次”,. .4分易知,當時,， 6分(2) 由（1）說明,當充分大時,事件遲早要發(fā)生.從而得出一個重要結(jié)論:“小概率事件在大量重復(fù)試驗中是遲早要發(fā)生的”.因此,在試驗次數(shù)很大的情況下,小概率事件是不容忽視的. 8分四、（滿分8分）證明 由條件，可知（1） ； 3分（2），顯然； 6分（3）對任意，成立,在上式中,令,即得 ，故得 。. 8分五、（滿分10分）（此題學(xué)概率統(tǒng)計A的學(xué)生做，學(xué)概率統(tǒng)計B的學(xué)生不做）解 （1）;2分（2）；4分（3）時間均值 ，6分（4）時間相關(guān)函數(shù) .8分(5) 是平穩(wěn)過程,且是遍歷過程。10分六、（滿分10分）（此題學(xué)概率統(tǒng)計A的學(xué)生做，學(xué)概率統(tǒng)計B的學(xué)生不做）解(1)依題意 ,狀態(tài)空間 , 4分（2）轉(zhuǎn)移概率矩陣 ,10分五、（滿分10分）（此題學(xué)概率統(tǒng)計B的學(xué)生做；學(xué)概率統(tǒng)計A的學(xué)生不做）解（1）因為獨立同服從 ，所以服從正態(tài)分布，又， 故 ；2分 （2）服從正態(tài)分布； ， ， 于是 ；4分（3） ；6分（4）與相互獨立,又 ，故由分布的定義知，即 . 10分六、（滿分10分）（此題學(xué)概率統(tǒng)計B的學(xué)生做；學(xué)概率統(tǒng)計A的學(xué)生不做）解 （1）,2分當時, ;當時, ;4分當時, ,8分 （2） ，10分B6-12