東南大學(xué)《工程矩陣?yán)碚摗吩嚲順泳砑按鸢?修改)3.doc
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東南大學(xué)《工程矩陣?yán)碚摗吩嚲順泳砑按鸢?修改)3.doc
工程矩陣?yán)碚撛嚲順泳?0a一、假如。1、記。證明:是的子空間。2、若A是單位矩陣,求。3、若,。求這里V(A)的一組基及其維數(shù)。4、假如。問(wèn):對(duì)上一題中的和,是否為直和?說(shuō)明理由。解:1、證明子空間,即為證明該空間關(guān)于加法和數(shù)乘封閉。即若有,。 設(shè), , , 是的子空間。2、若A是單位矩陣,則,因?yàn)閷?duì)單位陣I來(lái)說(shuō),恒成立,故,。3、若,設(shè),有,即, 有,故=故X的一組基為,維數(shù)為2。4、,即,其基為。下面計(jì)算 ,若 ,則是直和。=(、基的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組),為極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組(可以不求,從上式即可看出),+不是直和。二、假如,在上定義變換如下:。1、證明:是上的線(xiàn)性變換。2、求在的基下的矩陣M。3、試求M的jordan標(biāo)準(zhǔn)形,并寫(xiě)出的最小多項(xiàng)式。4、問(wèn):能否找到的基,使得的矩陣為對(duì)角陣?為什么?解:1、 有: ,有加法封閉 ,有數(shù)乘封閉 是上的線(xiàn)性變換。2、 3、 M的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為,的最小多項(xiàng)式為4、,基礎(chǔ)解系為, ,基礎(chǔ)解系為這四個(gè)基礎(chǔ)解系所對(duì)應(yīng)的基均線(xiàn)性無(wú)關(guān),故能找到找到的基,使得的矩陣為對(duì)角陣。三、設(shè)的子空間,求,使得。解:思路:求V的基由該基生成;V 的含義是指在V中找一向量,使得的距離最短,即尋找在V中的正投影。作圖如右側(cè)。由,得V的基為,則, 或四、設(shè),求及矩陣函數(shù)。解:(2重根)時(shí),故A的jordan標(biāo)準(zhǔn)形為,A的最小多項(xiàng)式為。令, (計(jì)算略)令 , (太麻煩了,不算啦!) 五、已知矩陣A的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式都等于,并且矩陣。1、分別給出A和B的jordan標(biāo)準(zhǔn)形;2、問(wèn):A與B是否相似?為什么?解:A的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式都等于,故A的jordan標(biāo)準(zhǔn)形為: ,A和B有相同的jordan標(biāo)準(zhǔn)形,故A、B相似。六、已知矩陣,求A的廣義逆矩陣。解:對(duì)A進(jìn)行分塊: 對(duì)進(jìn)行滿(mǎn)秩分解, 對(duì)進(jìn)行滿(mǎn)秩分解, 七、證明題:1、假如是歐幾里德空間V中單位向量,V上的線(xiàn)性變換如下:對(duì)任意,(鏡像變換)。證明:是V上的正交變換。證明:要證是V上的正交變換,只要證明下的矩陣是一個(gè)正交矩陣即可。將擴(kuò)充V上的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, 可看出,下的矩陣中,所有的行向量或列向量均為單位正交向量,故是V上的正交變換。2、設(shè)H陣A,B均是正定的,并且AB=BA,證明:AB是正定矩陣。證明: A,B均是正定的H陣,故,且酉矩陣P、Q,st., 要證明AB是正定矩陣,首先要證AB是H陣。 AB是H陣。 即,是正定矩陣,故的特征值均大于0,所認(rèn)特征值也大于0,故AB正定。7