2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征1.某校舉行2012年元旦匯演,七位評委為某班的小品打出的分?jǐn)?shù)如下莖葉統(tǒng)計(jì)圖所示,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A.85,1.6B.85,4C.84,1.6D.84,4.84解析:所剩數(shù)據(jù)為84,84,86,84,87,平均數(shù)為=85.s2=(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+(87-85)2=1.6.答案:A2.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員每場比賽得分的莖葉圖,則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是()A.62B.63C.64D.65解析:甲得分的中位數(shù)為28,乙得分的中位數(shù)為36,所以甲、乙兩人得分的中位數(shù)之和為64.答案:C3.某校有甲、乙兩個數(shù)學(xué)興趣班,其中甲班有40人,乙班有50人,現(xiàn)分析兩個班的一次考試成績,算得甲班的平均分為90分,乙班的平均分為81分,則這兩個班的總平均分為.解析:=85.答案:854.一位研究化肥的科學(xué)家將一片土地劃分成100個50m2的小塊,并在50個小塊上施用新化肥,留下50個條件大致相當(dāng)?shù)男K不施新化肥.施用新化肥的50塊土地的小麥產(chǎn)量如下(單位:kg):15292215330221652221320254225203812291421261321271321111810182424363423181091723238162331162340沒有施用新化肥的50塊土地的小麥產(chǎn)量如下(單位:kg):23161617223101081416524163223151892142452415215251729333916172151717261326111819122027122822你認(rèn)為新化肥已經(jīng)取得成功了嗎?解:利用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算,第一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)=20.32,標(biāo)準(zhǔn)差s18.9609;第二組數(shù)據(jù)的平均數(shù)=17.36,標(biāo)準(zhǔn)差s28.1578.可見,施用新化肥后平均產(chǎn)量有了提高,雖然出現(xiàn)了幾個極端值,但產(chǎn)量相對穩(wěn)定,所以新化肥已經(jīng)取得了初步成效,但還需在穩(wěn)定性上加強(qiáng).新化肥是比較成功的.5.已知一樣本的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,11,12,14,18,20,且該樣本的中位數(shù)為10.5.(1)求該樣本的平均數(shù);(2)求該樣本的方差.解:(1)由題意得=10.5,即a=10.于是2+3+3+7+a+11+12+14+18+20=100,所以2,3,3,7,10,11,12,14,18,20的平均數(shù)為=10.(2)設(shè)2,3,3,7,10,11,12,14,18,20的方差為s2,則s2=(2-10)2+(3-10)2+(20-10)2=35.6.6.甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)分別是:甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5(1)分別計(jì)算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù);(2)分別求出兩組數(shù)據(jù)的方差;(3)根據(jù)計(jì)算結(jié)果,估計(jì)一下兩名戰(zhàn)士的射擊情況.解:(1)(8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7(環(huán)),(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7(環(huán)).(2)由方差公式s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2得=3.0(環(huán)2),=1.2(環(huán)2).(3),說明甲、乙兩戰(zhàn)士的平均水平相當(dāng);又,說明甲戰(zhàn)士射擊情況波動大,因此乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定.7.(2012廣東高考,文13)由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,其平均數(shù)和中位數(shù)都是2,且標(biāo)準(zhǔn)差等于1,則這組數(shù)據(jù)為.(從小到大排列)解析:設(shè)該組數(shù)據(jù)依次為x1x2x3x4,則=2,=2,x1+x4=4,x2+x3=4.x1,x2,x3,x4N*,又標(biāo)準(zhǔn)差為1,x1=1,x2=1,x3=3,x4=3.答案:1,1,3,38.如果數(shù)據(jù)a1,a2,a3,an的平均數(shù)為,方差為s2,則數(shù)據(jù)2a1,2a2,2a3,2an的平均數(shù)與方差分別為,;數(shù)據(jù)2a1+1,2a2+1,2a3+1,2an+1的平均數(shù)與方差分別為,.解析:記數(shù)據(jù)2a1,2a2,2an的平均數(shù)為,方差為,則=2;=4s2.記數(shù)據(jù)2a1+1,2an+1的平均數(shù)為,方差為,則=+1=2+1;=4s2.答案:24s22+14s29.一次科技知識競賽,兩組學(xué)生成績?nèi)缦卤?分?jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212已經(jīng)計(jì)算得兩個組的平均分都是80分,請根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識,進(jìn)一步判斷這兩個組這次競賽中成績誰優(yōu)誰次,并說明理由.解:(1)甲組成績的眾數(shù)為90分,乙組成績的眾數(shù)為70分,從成績的眾數(shù)比較,甲組的成績好一些.(2)2(50-80)2+5(60-80)2+10(70-80)2+13(80-80)2+14(90-80)2+6(100-80)2=172.4(50-80)2+4(60-80)2+16(70-80)2+2(80-80)2+12(90-80)2+12(100-80)2=(4900+4400+16100+20+12100+12400)=256.因?yàn)?所以甲組的成績比乙組的成績穩(wěn)定.(3)甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均分都是80分,其中,甲組成績在80分及以上的有33人,乙組成績在80分及以上的有26人,從這一角度來看甲組的成績總體較好.(4)從成績統(tǒng)計(jì)表來看,甲組的成績不低于90分的人數(shù)為14+6=20,乙組的成績不低于90分的人數(shù)為12+12=24.所以乙組成績集中在高分段的人數(shù)多,同時(shí)乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人,從這一角度來看,乙組的成績較好.10.為了檢驗(yàn)A,B兩條網(wǎng)線從網(wǎng)絡(luò)下載數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性,現(xiàn)選取一天內(nèi)的10個不同的時(shí)間點(diǎn),測得分別用A,B兩條網(wǎng)線在同一網(wǎng)址下載同一文件所需要的時(shí)間(單位:s)如下表:A40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8B40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9分別計(jì)算A,B兩條網(wǎng)線下載上面同一文件所用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差,并比較兩者下載時(shí)間的穩(wěn)定性.解:從數(shù)據(jù)容易得到A,B兩條網(wǎng)線下載同一文件10次所需時(shí)間的平均數(shù)=40(s).分別計(jì)算出它們下載10次所用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差:sA=0.161(s),sB=0.077(s).由上面的計(jì)算可以看出:A,B兩條網(wǎng)線下載同一文件10次所需時(shí)間的平均數(shù)相同,而A網(wǎng)線下載時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差約為0.161s,比B網(wǎng)線下載時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差0.077s大,說明B網(wǎng)線下載時(shí)間更穩(wěn)定一些.11.某班4個小組的人數(shù)為10,10,x,8,已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等,求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).解:該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(28+x),中位數(shù)一定是其中兩個數(shù)的平均數(shù),由于x未知,所以要分下列幾種情況討論.(1)當(dāng)x8時(shí),原數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為x,8,10,10,其中位數(shù)為(10+8)=9.若(x+28)=9,則x=8,此時(shí)中位數(shù)為9.(2)當(dāng)8<x10時(shí),原數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為8,x,10,10,其中位數(shù)為(x+10).若(x+28)=(x+10),則x=8,而8不在8<x10的范圍內(nèi),所以舍去.(3)當(dāng)x>10時(shí),原數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為8,10,10,x,其中位數(shù)為(10+10)=10.若(x+28)=10,則x=12,此時(shí)中位數(shù)為10.綜上所述,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9或10.12.甲、乙兩人在相同條件下打靶10次,每次打靶的成績情況如圖所示:(1)請?zhí)顚懴卤?平均數(shù)中位數(shù)命中9環(huán)及以上次數(shù)甲7乙(2)從下列三個不同角度對這次測驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析:從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看,誰的成績好些?從平均數(shù)和命中9環(huán)及以上(包含9環(huán))的次數(shù)相結(jié)合看,誰的成績好些?從折線圖中兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看,誰更有潛力?解:(1)甲:中位數(shù)是7.5,命中9環(huán)及以上(包含9環(huán))的次數(shù)為3;乙:平均數(shù)是6.7,中位數(shù)是6.5,命中9環(huán)及以上(包含9環(huán))的次數(shù)為1.(2)由(1)知,從平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合看,甲的成績好些;從平均數(shù)和命中9環(huán)及以上(包含9環(huán))的次數(shù)相結(jié)合看,甲的成績好些;從折線圖中兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看,甲的潛力更大些.4