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第六章IIR DF 無限長數(shù)字濾波器 的設計,濾波的目的 為了壓制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例 濾波技術包括: 濾波器設計:根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)， 濾波過程的實現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方式達到對輸入信號的進行濾波的目的,6.1 數(shù)字濾波的基本概念,數(shù)字濾波器 輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過一定的運算關系，濾除輸入信號中某些頻率成分或改變輸入信號頻譜中各頻率分量的相對比例的器件 具有某種特定頻率特性的線性時不變系統(tǒng) 廣義上，任何線性時不變離散系統(tǒng)都是一個數(shù)字濾波器,數(shù)字濾波器的特點 精度高、穩(wěn)定、靈活 不要求阻抗匹配、實現(xiàn)特殊的濾波器 設計數(shù)字濾波器的任務 尋求一個因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有指定的頻率特性,對因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)：,:濾波器的傳輸函數(shù),1、數(shù)字濾波器的分類： 經(jīng)典濾波器： 有用頻率與濾掉頻率占用不同頻帶 現(xiàn)代濾波器 維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器,經(jīng)典濾波器 A、DF按頻率特性分類 可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通， 其特點為： （1）頻率變量以數(shù)字頻率 表示， ， 為模擬角頻率，T為抽樣時間間隔； （2）以數(shù)字抽樣頻率 為周期； （3）頻率特性只限于 范圍，這 是因為依取樣定理，實際頻率特性只能為抽樣頻率的 一半。,理想濾波器的頻率響應,B、DF按實現(xiàn)的網(wǎng)絡結構分類 可分為無限長脈沖響應（IIR）濾波器； 有限長脈沖響應（FIR）濾波器,二、DF的性能要求（低通為例）,通帶 阻帶 過渡帶,三、DF頻響的三個參量 1、幅度平方響應 2、相位響應,從信號不失真角度講通常要求 相位線性,具有群恒時延特性,相位響應,四、DF設計內(nèi)容 1、按任務要求確定Filter的性能指標； 2、用IIR或FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求； 3、選擇適當?shù)倪\算結構實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)； 4、用軟件還是用硬件實現(xiàn)。,五、IIR數(shù)字filter的設計方法 1、借助模擬filter的設計方法 （1）將DF的技術指標轉換成AF的技術指標； （2）按轉換后技術指標、設計模擬低通filter的 ； （3）將 （4）如果不是低通，則必須先將其轉換成低通 AF的技術指標。 2、計算機輔助設計法（最優(yōu)化設計法） 先確定一個最佳準則，如均方差最小準則， 最大誤差最小準則等，然后在此準則下 ， 確定系 統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。,6.2 模擬濾波器設計,IIR濾波器的設計是基于模擬濾波器的成熟技術而完成的 簡單介紹模擬濾波器設計的一些基本概念，并介紹兩種常用的濾波器的設計方法 ： 巴特沃思(Butterworth)濾波器 切比雪夫(Chebyshev)濾波器,6．2．1模擬濾波器設計的基本概念,1 . 模擬濾波器的頻率特性與衰減特性,濾波器的頻率特性主要取決于構成濾波器系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),工程設計中給定的指標往往是通帶和阻帶的衰減，它一般用反映功率增益的幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù)來定義,當要求濾波器具有線性相位特性（延時τ為常數(shù)）時濾波器的頻率特性為,2. 歸一化與頻率變換,采用歸一化參數(shù) 設計結果具有普遍性 計算方便 歸一化包含： 電路參數(shù)歸一化：將系統(tǒng)中無源元件的阻抗或運算阻抗分別除以基準電阻(系統(tǒng)的負載電阻值)。 頻率歸一化：將所有的頻率都除以基準頻率（濾波器的截止頻率） 計算實際電路參數(shù)時應要將歸一化頻率乘以截止頻率，進行反歸一化 頻率變換：從歸一化低通原型濾波器到高通、帶通、帶阻等其它類型的濾波器的變換方法,3 . 從模方函數(shù) 求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s),當不含有源器件，作為一個因果穩(wěn)定、物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)必須滿足的條件,a、是一個具有實系數(shù)的s有理函數(shù),b、所有極點必須全部分布在s的左半平面內(nèi),c、分子多項式式N(s)的階次必須小于或等于分母多項式D(s)的階次,——正實函數(shù),實函數(shù)的傅立葉變換存在共軛對稱的性質(zhì),有,從給定的模方函數(shù)求出所需要的系統(tǒng)函數(shù)的方法,a、解析延拓,令s= 代入模方函數(shù)得到 , 并求其零極點,b、取 所有在左半平面的極點作為 的極點,c、按需要的相位條件(最小相位,混合相位等)取 一半的零點構成 的零點,4． 模擬濾波器的設計-逼近問題,：與通帶衰減、阻帶衰減有關的系數(shù),尋找一個恰當?shù)慕坪瘮?shù)來逼近理想特性——謂逼近問題 最常用的具有優(yōu)良性能的濾波器： 巴特沃思(Butterworth)濾波器 切比雪夫(Chebyshev)濾波器 橢圓(elliptic)函數(shù)或考爾（Cauer）濾波器 實現(xiàn)線性相位的貝塞爾濾波器,6．2．2巴特沃思Butterworth低通濾波器,1．基本性質(zhì),BW濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù),BW的低通模平方函數(shù)表示,指定 、 后，帶 到上式，得,指定 、 后，帶 到上式，得,用3dB截止頻率 來規(guī)一化：對頻率進行 ，下式變?yōu)?討論：,當 =0 時， =1 ,取最大值,當 時， =0.5,取3dB值,阻帶內(nèi)，由于,或,幅度隨著 N的增加阻帶衰減近似為6N db/倍頻程。 N越大，頻帶特性越接近理想矩形特性,上式的臺勞級數(shù)展開為 ：,=0處函數(shù)對2N—l階導數(shù)都等于零——曲線在 =0附近是最 “平坦”,——巴特沃思濾波器又叫做“最大平坦濾波器”,歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性,,2．設計過程,(a)按給定指標確定階次N,實際計算時，要對上式求得的數(shù)值取整加1。,若給定的指標 =3dB, 即通帶邊頻 時, ε=1,可求得,(b)從模方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)H(s),①求得極點,分析討論,,在歸一化頻率的情況 =1，極點均勻分布在單位圓上,,對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng),它的所有極點均應在 s的左半平面上,②系統(tǒng)函數(shù)的構成,濾波器的極點求出后，可取左平面上的所有極點構成系統(tǒng)函數(shù),對于低通濾波器，為了保證在頻率零點 =0處， =1，可取,因此得,例6-2-1舉例說明系統(tǒng)函數(shù)的構成,設計一巴特沃思濾波器，使其滿足以下指標: 通帶邊頻 =100k rad/s, 通帶的最大衰減為 =3dB，阻帶邊頻為 =400k rad/s,阻帶的最小衰減為 =35 dB,解:由于通帶邊頻就是3dB 截止頻率，即,確定階次N,求左半平面的極點:,得極點：,構成巴特沃思濾波器傳輸函數(shù)H(s)為,相對截止頻率 歸一化，得歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù),③一般N階歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) 表示,是 =1時的極點，分布在單位圓上,分母一般稱為巴特沃思多項式，其系數(shù)可通過查表求得,見表5-2-1,表6-2-1 巴特沃思多項式系數(shù),表6-2-2 巴特沃思多項式因式分解,上述歸一化公式和表格是相對3dB 截止頻率 給出的。由指定的技術指標 利用上述公式和表格進行設計時，最關鍵的2個參數(shù)是濾波器的節(jié)數(shù)N和3dB 截止頻率 。 N用來求巴特沃思多項式， 用來反歸一化，求實際濾波器的參數(shù)。,設計舉例二（巴特沃斯filter） 1、技術指標 2、計算所需的階數(shù)及3dB截止頻率 將技術指標，代入上式，可得,解上述兩式得：,因此，,取N=6，則,3、 的求得 查表，可得N=6時的歸一化原型模擬巴特 沃斯LF的系統(tǒng)函數(shù)為,將S用 代入，可得,6．2．3 切比雪夫濾波器,自學, 6-3模擬濾波器頻率轉換 A、高通濾波器的設計 變換關系：,B、設計步驟 1、高通濾波器的技術指標 歸一化頻率指標,2、轉換為低通濾波器的歸一化技術指標,3、求歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),4、求高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),B、帶通濾波器的設計 技術指標：,歸一化頻率是對B進行歸一化 歸一化頻率技術指標：,變換關系：,B、設計步驟 1、帶通濾波器的技術指標 歸一化頻率指標,2、轉換為低通濾波器的歸一化技術指標,3、求歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),4、求帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),C、帶阻濾波器的設計 技術指標：,歸一化頻率是對B進行歸一化 歸一化頻率技術指標：,變換關系：,B、設計步驟 1、帶阻濾波器的技術指標 歸一化頻率指標,2、轉換為低通濾波器的歸一化技術指標,3、求歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),4、求帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),6-4 沖激響應不變法 AF設計完畢以后，還應將 變換成H（Z）， 也就是將S平面映射到Z平面。。,變換關系的基本要求： 1、因果穩(wěn)定的AF轉換為DF，也是因果穩(wěn)定； S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)部 2、DF的頻率響應模仿AF的頻率響應， S平面平面 的虛軸映射到Z平面的單位圓，相應的頻率之間 成線性關系。,通常有三種方法： （1）沖激響應不變法； （2）階躍響應不變法； （3）雙線性變換法。 我們這里只討論沖激響應不變法和雙線性變換法,設計IIR濾波器的脈沖響應不變法,1．設計的基本原理和方法 原理：從時域響應出發(fā)，使求得的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應h(t)的抽樣值。,如果：,則可有下式求的H（z）：,AF的數(shù)字化方法 A、一般方法 。先 ，再對 抽樣，使 ，最后 H（Z）=Z[h（n）]，一 般說來過程復雜。 B、方法的簡化 設 只有單階極點，而且分母的階次大于分 子的階次， 可展成如下的部分公式,因此，,如果模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是穩(wěn)定的，其極點應位于左半平面,對Z平面的極點有,位于單位園內(nèi)。因此H(z)是一個穩(wěn)定的離散系統(tǒng)函數(shù)，這說明由一個穩(wěn)定的模擬濾波器得到了一個穩(wěn)定的數(shù)字濾波器,映射關系,脈沖響應不變法的映射過程,2．脈沖響應不變法設計的濾波器的頻率響應,根據(jù)抽樣定理，序列h(n)的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓,原模擬濾波器的頻率響應為 ，,由于h(n)是h(t)的等間隔抽樣,如果模擬濾波器的頻率響應是帶限于折疊頻率之內(nèi)，即,這樣數(shù)字濾波器的頻率響應才能等于模擬濾波器的頻率響應,然而，高通和帶阻濾波器不能滿足(-2-)式的要求，將會產(chǎn)生混疊 脈沖響應不變法不適合用來設計高通和帶阻數(shù)字濾波器。,3、幾點結論 （1）S平面的單極點 變?yōu)閆平面單極點 就可求得H（Z）。 （2） 與H（Z）的系數(shù)相同，均為 （3）AF是穩(wěn)定的，DF也是穩(wěn)定的。 （4）S平面的極點與Z平面的極點一一對應，但兩 平面并不一一對應。 例如，零點就沒有這種對應關系。,4．修正,消去T的影響,由上式可見，數(shù)字頻率響應與模擬頻率響應的第一差別是具有一個乘法因子(1/T)= fS，當采樣頻率fS很高時，將會使濾波器的增益很大，這往往是不希望的，為此可對下式作修正：,[例6-3] AF的系統(tǒng)函數(shù)為 試用沖激響應不變法，設計IIRDF，T=1 解： 設T=1，,6-5 雙線性變換法,,脈沖響應不變法的主要缺點： 對時域的采樣會造成頻域的混疊效應，因而有可能使設計的數(shù)字濾波器的頻域響應與原來模擬濾波器的頻域響應相差很大，而且不能用來設計高通和帶阻濾波器 原因：從S平面到Z平面的映射是多值的映射關系,雙線性變換的映射過程,脈沖響應不變法的映射過程,雙線性變換法的改進,為避免頻域的混疊，分兩步完成S平面到Z平面的映射,將S平面壓縮到某一中介的S1平面的一條橫帶域,通過標準的變換將此橫帶域映射到整個Z平面上去，,實現(xiàn)方法：,再通過Z變換，將Ω1映射到Z平面的單位圓上,通過下面的正切變換， 將S平面的jΩ軸壓縮到S1平面的jΩ1軸上的,將正切變換延拓到整個S平面，得到S平面到S1平面的映射關系,再將S1平面按關系式 映射到Z平面得到,雙線性變換,或,雙線性變換的映射關系滿足 關于映射關系可行性的兩個條件,（1）S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上； （2）位于S左半平面的極點應映射到Z平面的單位圓內(nèi)。,帶入表達式,得：,說明S平面的虛軸 映射成了Z平面的單位圓,,得：,,,顯然當 時， 1，,S平面的左半平面軸映射到了Z平面的單位圓內(nèi)，保證系統(tǒng)函數(shù)經(jīng)映射后穩(wěn)定性不變,雙線性變換的頻率對應關系,模擬頻率與數(shù)字頻率是一種非線性的關系,模擬濾波器與數(shù)字濾波器的響應與對應的頻率關系上發(fā)生了畸變，也造成了相位的非線性變化，這是雙線性變換法的主要缺點,雙線性變換法除了不能用于線性相位濾波器設計外，仍然是應用最為廣泛的設計IIR數(shù)字濾波器的方法。,在?上刻度為均勻的頻率點映射到?上時變成了非均勻的點，而且隨頻率增加越來越密,2．頻率預畸變,為了保證各邊界頻率點為預先指定的頻率，在確定模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)之前必須按下式進行所謂頻率預畸變,3、雙線性變換的特點,a。S平面的虛軸（ ）映射到Z平面的單位圓上。,b。穩(wěn)定的AF，經(jīng)雙線性變換后所得DF也一定是穩(wěn)定的，這是,因為穩(wěn)定的AF，其極點必全部位于S的左半平面上，經(jīng)雙線性變 換后，這些極點全部落在單位圓內(nèi)。,c。其突出的優(yōu)點是避免了頻響的混疊失真。,變換關系近似于線性，隨著 的增加， 表現(xiàn)出嚴重 非線性 。因此， DF的幅頻響應 相對于AF的幅頻響應會產(chǎn)生畸變。只有能容忍或補償 這種失真時，雙線性變換法才是實用的。,d.頻率的非線性失真,從 的關系曲線可以看出，在零頻附近， 與 之間的,4、 設計方法,1。直接代入法,2.間接代入法,先將 AF的系統(tǒng)函數(shù)分解成級聯(lián)或并聯(lián)形式，然后在對每一個子,系統(tǒng)函數(shù)進行雙線性變換。,例如,并聯(lián)形式與上述類似,3。表格法,由于代入法 在應用時可能比較麻煩，因此如果能預先求出AF 與DF的系統(tǒng)函數(shù)之間的關系，設計問題則變成查表，簡單易行。,例：利用雙線性變換法設計巴特沃斯型數(shù)字低通濾波器,設計參數(shù)：通帶數(shù)字截止率 ，通帶內(nèi)最大衰減,阻帶數(shù)字截止率 ，阻帶內(nèi)最小衰減,解 第一步 進行頻率預畸變求,第二步 計算巴特沃斯型數(shù)字低通濾波器的階數(shù),取N=3,第三步 通過查表求得3階巴特沃斯低通濾波器原型的系統(tǒng)函數(shù),第四步 求3dB截止頻率 ，并反歸一化求得,解得： ，反歸一化求 得,第五步 求得H(z)代入雙線性變換公式，化簡后求得,,,,也可按下式將第三步與第四步可合并在一起進行，求出H(z),設計濾波器的幅度響應與相位響應,6-6 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計,,設計思想：,例 設計一個三階巴特沃斯型高通數(shù)字濾波器，3dB數(shù)字截頻為0.2π弧度，求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。,解 三階巴特沃斯型歸一化模擬低通原型的系統(tǒng)函數(shù)為,頻率預畸變,得到數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,放映結束,