遼寧省新賓滿族自治縣高級中學高中數(shù)學 2.3變量的相關性學案 新人教A版必修3 提出問題（1）糧食產量與施肥量有關系嗎？（2）兩個變量間的相關關系是什么？有幾種？（3）兩個變量間的相關關系的判斷.討論結果：（1）糧食產量與施肥量有關系,一般是在標準范圍內,施肥越多,糧食產量越高；但是,施肥量并不是決定糧食產量的唯一因素.因為糧食產量還要受到土壤質量、降雨量、田間管理水平等因素的影響.例如:商品銷售收入與廣告支出經費之間的關系.商品銷售收入與廣告支出經費有著密切的聯(lián)系,但商品銷售收入不僅與廣告支出多少有關,還與商品質量、居民收入等因素有關.（2）相關關系的概念：自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系,叫做相關關系.兩個變量之間的關系分兩類： 確定性的函數(shù)關系, 例如我們以前學習過的一次函數(shù)、二次函數(shù)等； 帶有隨機性的變量間的相關關系, 例如“身高者,體重也重”,我們就說身高與體重這兩個變量具有相關關系.相關關系是一種非確定性關系. （3）兩個變量間的相關關系的判斷：散點圖: (散點圖的概念：將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中的對應點畫出來,得到表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做散點圖) 根據(jù)散點圖中變量的對應點的離散程度,可以準確地判斷兩個變量是否具有相關關系. (a.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關系,即變量之間具有函數(shù)關系b.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關關系.c.如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關關系) 正相關、負相關:正相關與負相關的概念：如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內,稱為正相關.如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內,稱為負相關.（注：散點圖的點如果幾乎沒有什么規(guī)則,則這兩個變量之間不具有相關關系）應用示例例1 下列關系中,帶有隨機性相關關系的是_.正方形的邊長與面積之間的關系水稻產量與施肥量之間的關系人的身高與體重之間的關系降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關系知能訓練以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)： 房屋面積（m2）11511080135105銷售價格（萬元）24.821.618.429.222（1）畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖；（2）指出是正相關還是負相關;（3）關于銷售價格y和房屋的面積x,你能得出什么結論？解：（1）數(shù)據(jù)對應的散點圖如下圖所示：2.3.2兩個變量的線性相關提出問題（1）什么是線性相關？（2）什么叫做回歸直線？（3）如何求回歸直線的方程？什么是最小二乘法？它有什么樣的思想？討論結果（1）如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關的關系.（2）如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近,我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系,這條直線叫做回歸直線.如果能夠求出這條回歸直線的方程(簡稱回歸方程)（3）實際上,求回歸方程的關鍵是如何用數(shù)學的方法來刻畫“從整體上看,各點與此直線的距離最小”.人們經過長期的實踐與研究,已經得出了計算回歸方程的斜率與截距的一般公式其中，b是回歸系數(shù)，a是截距.推導公式的計算比較復雜，這里不作推導.但是,我們可以解釋一下得出它的原理.假設我們已經得到兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)，且所求回歸方程是=bx+a,其中a、b是待定參數(shù).當變量x取xi(i=1,2,n)時可以得到=bxi+a(i=1,2,n),它與實際收集到的yi之間的偏差是yi-=yi-(bxi+a)(i=1,2,n).這樣，用這n個偏差的和來刻畫“各點與此直線的整體偏差”是比較合適的.由于（yi-）可正可負，為了避免相互抵消，可以考慮用來代替，但由于它含有絕對值，運算不太方便，所以改用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2 = 來刻畫n個點與回歸直線在整體上的偏差.這樣，問題就歸結為:當a,b取什么值時Q最小，即總體偏差最小.經過數(shù)學上求最小值的運算，a,b的值由公式給出.通過求式的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法（method of least square）.應用示例例1 給出施化肥量對水稻產量影響的試驗數(shù)據(jù)：施化肥量x15202530354045水稻產量y330345365405445450455(1)畫出上表的散點圖; (2)求出回歸直線的方程. 解：(1)散點圖如下圖(2)表中的數(shù)據(jù)進行具體計算,列成以下表格:序號1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi4 9506 9009 12512 15015 57518 00020 475故可得到b=4.75,a=399.3-4.7530257.從而得回歸直線方程是=4.75x+257.例2 一個車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間為此進行了10次試驗,測得數(shù)據(jù)如下：零件個數(shù)x（個）102030405060708090100加工時間y（分）626875818995102108115122 請判斷y與x是否具有線性相關關系,如果y與x具有線性相關關系,求線性回歸方程解：在直角坐標系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖,如下圖.直觀判斷散點在一條直線附近,故具有線性相關關系由測得的數(shù)據(jù)表可知：=38 500,=87 777,=55 950.b=0.668.a=91.7-0.6685554.96.因此,所求線性回歸方程為=bx+a=0.668x+54.96.點評：對一組數(shù)據(jù)進行線性回歸分析時,應先畫出其散點圖,看其是否呈直線形,再依系數(shù)a,b的計算公式,算出a,b求線性回歸方程的步驟：計算平均數(shù)；計算xi與yi的積,求xiyi；計算xi2；將結果代入公式求b；用a=求a；寫出回歸直線方程知能訓練1.下列兩個變量之間的關系哪個不是函數(shù)關系（ ）A.角度和它的余弦值 B.正方形邊長和面積C.正邊形的邊數(shù)和它的內角和 D.人的年齡和身高2三點(3,10),(7,20),(11,24)的線性回歸方程是（ ）A.=5.75-1.75x B.=1.75+5.75xC.=1.75-5.75x D.=5.75+1.75x3已知關于某設備的使用年限x與所支出的維修費用y（萬元）,有如下統(tǒng)計資料：使用年限x23456維修費用y2238556570 設y對x呈線性相關關系試求：（1）線性回歸方程=bx+a的回歸系數(shù)a,b；（2）估計使用年限為10年時,維修費用是多少？課堂小結1求線性回歸方程的步驟：（1）計算平均數(shù)；（2）計算xi與yi的積，求xiyi;（3）計算xi2,yi2，(4)將上述有關結果代入公式求b,a,寫出回歸直線方程2.經歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程.知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.5