4.3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),一、協(xié)方差 二、相關(guān)系數(shù),定義3.1 設(shè)(X,Y)為二維隨機變量，稱 Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y) 為X與Y的協(xié)方差。,一、協(xié)方差,1、協(xié)方差定義,協(xié)方差是反映X與Y相互關(guān)系的特征量。由方差定義與協(xié)方差定義可知： D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y),證：D(X+Y)=EX+YE(X+Y)2,=E(XE(X)+(YE(Y)2,=EXE(X)2+EYE(Y)2 +2EXE(X)YE(Y),=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),Cov(X,Y)= EXE(X)YE(Y),=EXYXE(Y)YE(X)+E(X)E(Y),=E(XY)E(X)E(Y),例3.1 已知(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為 試求Cov(X,Y)。,例3.2 已知(X,Y)的概率密度函數(shù)為 試求Cov(X,Y)。,例3.3 已知(X,Y)的聯(lián)合分布律為 試求Cov(X,Y)。,2、協(xié)方差的性質(zhì),例3.4 設(shè)隨機變量X和Y相互獨立, 都服從正態(tài)分布N(,2), 試求aX+bY與cX+dY的協(xié)方差。,解: Cov(aX+bY,cX+dY),=Cov(aX,cX)+Cov(aX,dY) +Cov(bY,cX)+Cov(bY, dY),=acCov(X,X) +adCov(X,Y) +bcCov(Y, X) +bdCov(Y,Y),=acD(X) +(ad+bc)Cov(X,Y)+bdD(Y),=ac2+0+bd2=(ac+bd)2,例3.5 已知(X,Y)的概率密度函數(shù)為 試求D(2X3Y)。,注：相關(guān)系數(shù)是反映X和Y相互關(guān)系的一個無量綱的特征量。,定義3.2 設(shè)(X,Y)為二維隨機變量, D(X), D(Y), Cov(X,Y)分別為X,Y 的方差與協(xié)方差, 則稱 為隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù)。,二、相關(guān)系數(shù),1、相關(guān)系數(shù)定義,例3.6 已知(X,Y)的概率密度函數(shù)為 試求XY,2、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),注: |XY|=1, 稱之為X與Y完全相關(guān), 充要條件是存在常數(shù)a, b, 使PY=aX+b=1。,10 |XY|1,于是XY成為一個表征X, Y間線性關(guān)系緊密程度的量, 當(dāng)|XY|較大時, 表示X, Y線性相關(guān)程度較高, 反之較低。,20 若X,Y相互獨立, 且D(X),D(Y)0, 則XY=0。,注: 若X,Y的相關(guān)系數(shù)XY=0, 則稱X與Y不相關(guān)。,性質(zhì)2表明X,Y相互獨立時, X與Y不相關(guān); 反之, 若X與Y不相關(guān), 則X,Y不一定相互獨立(見下例)。,例3.7 設(shè)X的分布律為,但, 當(dāng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布時, X,Y不相關(guān)與X,Y相互獨立是等價的。 這是因為, 當(dāng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(1,2,12,22,)時, X與Y相互獨立的充要條件是=0。,令Y=X 2, 顯然X與Y不獨立, 但X與Y 是不相關(guān)的,