2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題四 數(shù)列 推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問題試題1(xx湖南)已知a0，函數(shù)f(x)eaxsin x(x0，)記xn為f(x)的從小到大的第n(nN*)個(gè)極值點(diǎn)，證明：數(shù)列f(xn)是等比數(shù)列2(xx課標(biāo)全國)已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明an是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)證明<.1.數(shù)列的綜合問題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點(diǎn)探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實(shí)際應(yīng)用問題相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用.熱點(diǎn)一利用Sn，an的關(guān)系式求an1數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系：an.2求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法(1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式(2)在已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an.(3)在已知數(shù)列an中，滿足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累積法求數(shù)列的通項(xiàng)an.(4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列)例1數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足1(n2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式思維升華給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.跟蹤演練1已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_熱點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn的表達(dá)式，還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關(guān)系或恒成立問題例2已知二次函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)6x2，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使得Tn<對(duì)所有nN*都成立的最小正整數(shù)m.思維升華解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點(diǎn)：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別重視；(2)解題時(shí)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件；(3)不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s跟蹤演練2(xx安徽)設(shè)nN*，xn是曲線yx2n21在點(diǎn)(1,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；(2)記Tnxxx，證明：Tn.熱點(diǎn)三數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問題，關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型數(shù)列模型，弄清所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型，它的首項(xiàng)是什么，項(xiàng)數(shù)是多少，然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題求解時(shí)，要明確目標(biāo)，即搞清是求和，還是求通項(xiàng)，還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是解方程問題，還是解不等式問題，還是最值問題，然后進(jìn)行合理推算，得出實(shí)際問題的結(jié)果例3自從祖國大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶可以享受“綠色通道”的申請(qǐng)、受理、審批一站式服務(wù)，某臺(tái)商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價(jià)值比上年年初減少10萬元，從第七年開始，每年年初M的價(jià)值為上年年初的75%.(1)求第n年年初M的價(jià)值an的表達(dá)式；(2)設(shè)An，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年年初對(duì)M更新，證明：必須在第九年年初對(duì)M更新思維升華常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法(1)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對(duì)于時(shí)間n的總產(chǎn)值yN(1p)n.(2)銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式：按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1r)n.(3)銀行儲(chǔ)蓄單利公式：利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1nr)(4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b.跟蹤演練3某年“十一”期間，北京十家重點(diǎn)公園舉行免費(fèi)游園活動(dòng)，北海公園免費(fèi)開放一天，早晨6時(shí)30分有2人進(jìn)入公園，接下來的第一個(gè)30分鐘內(nèi)有4人進(jìn)去1人出來，第二個(gè)30分鐘內(nèi)有8人進(jìn)去2人出來，第三個(gè)30分鐘內(nèi)有16人進(jìn)去3人出來，第四個(gè)30分鐘內(nèi)有32人進(jìn)去4人出來按照這種規(guī)律進(jìn)行下去，到上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)是()A21147 B21257C21368 D21480已知數(shù)列an和bn，對(duì)于任意的nN*，點(diǎn)P(n，an)都在經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)與點(diǎn)B(，3)的直線l上，并且點(diǎn)C(1,2)是函數(shù)f(x)ax(a>0且a1)的圖象上一點(diǎn)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Snf(n)1.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn<.提醒：完成作業(yè)專題四第3講二輪專題強(qiáng)化練專題四 第3講數(shù)列的綜合問題A組專題通關(guān)1(xx成都外國語學(xué)校月考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan1(a0)，則數(shù)列an()A一定是等差數(shù)列B一定是等比數(shù)列C或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列D既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列2若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10等于()A15 B12C12 D153(xx日照一模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn26n，則|an|的前n項(xiàng)和Tn等于()A6nn2 Bn26n18C. D.4(xx成都七中高三上學(xué)期期中)今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第1天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計(jì))共織390尺布，則每天比前一天多織()尺布(不作近似計(jì)算)()A. B.C. D.5已知定義在R上的函數(shù)f(x)、g(x)滿足ax，且f(x)g(x)<f(x)g(x)，若有窮數(shù)列 (nN*)的前n項(xiàng)和等于，則n等于()A5 B6 C7 D86若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式是an_.7等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S100，S1525，則nSn的最小值為_8對(duì)于數(shù)列an，定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a12，an的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2n，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.9已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn2an2n(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an；(2)若數(shù)列bn滿足bnlog2(an2)，Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：Tn.10(xx杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11，an11，其中nN*.(1)設(shè)bn，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn，數(shù)列cncn2的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得Tn<對(duì)于nN*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由B組能力提高11已知曲線C：y(x>0)及兩點(diǎn)A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1>0.過A1，A2分別作x軸的垂線，交曲線C于B1，B2兩點(diǎn)，直線B1B2與x軸交于點(diǎn)A3(x3,0)，那么()Ax1，x2成等差數(shù)列Bx1，x2成等比數(shù)列Cx1，x3，x2成等差數(shù)列Dx1，x3，x2成等比數(shù)列12記數(shù)列2n的前n項(xiàng)和為an，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bnn8，則bnSn的最小值為_13已知向量a(2，n)，b(Sn，n1)，nN*，其中Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若ab，則數(shù)列的最大項(xiàng)的值為_14數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，且對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)(an1，Sn)在直線2xy20上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列Snn為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由學(xué)生用書答案精析第3講數(shù)列的綜合問題高考真題體驗(yàn)1證明f(x)aeaxsin xeaxcos xeax(asin xcos x)eaxsin(x)，其中tan ，0.令f(x)0，由x0得xm，即xm，mN*，對(duì)kN，若2kx(2k1)，即2kx(2k1)，則f(x)0；若(2k1)x(2k2)，即(2k1)x(2k2)，則f(x)0.因此，在區(qū)間(m1)，m)與(m，m)上，f(x)的符號(hào)總相反于是當(dāng)xm(mN*)時(shí)，f(x)取得極值，所以xnn(nN*)此時(shí)，f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin .易知f(xn)0，而ea是常數(shù)，故數(shù)列f(xn)是首項(xiàng)為f(x1)ea()sin ，公比為ea的等比數(shù)列2(1)解由an13an1得an13(an)又a1，所以an是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列an，因此an的通項(xiàng)公式為an.(2)證明由(1)知.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，3n123n1，所以.于是1(1)<.所以<.熱點(diǎn)分類突破例1解由已知，當(dāng)n2時(shí)，1，所以1，即1，所以.又S1a11，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列所以1(n1)，即Sn.所以當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1.因此an跟蹤演練1an2n解析Sn，當(dāng)n1時(shí)，a1S1，解得a12或a10(舍去)當(dāng)n2時(shí)，由anSnSn1aa2(anan1)，因?yàn)閍n>0，所以anan10，則anan12，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，故an2n.例2解(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bx(a0)，則f(x)2axb.由于f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.又因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上，所以Sn3n22n.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5；當(dāng)n1時(shí)，a1S13122615，所以an6n5(nN*)(2)由(1)得bn，故Tn(1)()()(1)因此，要使(1)<對(duì)nN*恒成立，則m必須且僅需滿足，即m10.所以滿足要求的最小正整數(shù)為10.跟蹤演練2(1)解y(x2n21)(2n2)x2n1，曲線yx2n21在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率為2n2，從而切線方程為y2(2n2)(x1)令y0，解得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xn1.所以數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為xn.(2)證明由題設(shè)和(1)中的計(jì)算結(jié)果知Tnxxx222.當(dāng)n1時(shí)，T1.當(dāng)n2時(shí)，因?yàn)閤2>.所以Tn>2.綜上可得對(duì)任意的nN*，均有Tn.例3(1)解當(dāng)n6時(shí)，數(shù)列an是首項(xiàng)為120，公差為10的等差數(shù)列，故an12010(n1)13010n，當(dāng)n7時(shí)，數(shù)列an從a6開始的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)以a61306070為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故an70()n6，所以第n年年初M的價(jià)值an(2)證明設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得當(dāng)1n6時(shí)，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n95>80，當(dāng)n7時(shí)，由于S6570，故Sn570(a7a8an)5707041()n6780210()n6.因?yàn)閍n是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列因?yàn)锳n，A882.734>80，A976.823<80，所以必須在第九年年初對(duì)M更新跟蹤演練3B由題意，可知從早晨6時(shí)30分開始，接下來的每個(gè)30分鐘內(nèi)進(jìn)入的人數(shù)構(gòu)成以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，出來的人數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，記第n個(gè)30分鐘內(nèi)進(jìn)入公園的人數(shù)為an，第n個(gè)30分鐘內(nèi)出來的人數(shù)為bn，則an42n1，bnn，則上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)為S221257.高考押題精練(1)解直線l的斜率為k2，故直線l的方程為y2x(1)，即y2x2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2.把點(diǎn)C(1,2)代入函數(shù)f(x)ax，得a2，所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Snf(n)12n1.當(dāng)n1時(shí)，b1S11；當(dāng)n2時(shí)，bnSnSn12n2n12n1，當(dāng)n1時(shí)也適合，所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n1.(2)證明設(shè)cn，由(1)知cn()，所以Tnc1c2c3cn(1)()()()(1)因?yàn)?gt;0，所以Tn<.二輪專題強(qiáng)化練答案精析第3講數(shù)列的綜合問題1Ca1S1a1，anSnSn1(a1)an1(n>0)當(dāng)a1時(shí)，Sn0，是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列；當(dāng)a1時(shí)是等比數(shù)列故選C.2A記bn3n2，則數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)5315.3C由Snn26n可得，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n26n(n1)26(n1)2n7.當(dāng)n1時(shí)，S15a1，也滿足上式，an2n7，nN*.n3時(shí)，an<0；n>3時(shí)，an>0.Tn4C由題意可知，該女每天的織布量成等差數(shù)列，首項(xiàng)是5，公差為d，前30項(xiàng)和為390.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，有390305d，解得d.5A令h(x)，則h(x)<0，故函數(shù)h(x)為減函數(shù)，即0<a<1.再根據(jù)，得a，解得a2(舍去)或者a.所以n，數(shù)列的前n項(xiàng)和是1，由于1，所以n5.6(2)n1解析當(dāng)n1時(shí)，a11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.749解析設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)和公差分別為a1，d，則則nSnn3nn2.設(shè)函數(shù)f(x)x2，則f(x)x2x，當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(，)時(shí)，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)minf()，但6<<7，且f(6)48，f(7)49，因?yàn)?8>49，所以最小值為49.82n12解析an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.9(1)解當(dāng)nN*時(shí)，Sn2an2n，則當(dāng)n2時(shí)，Sn12an12(n1)，兩式相減得an2an2an12，即an2an12，an22(an12)，2，當(dāng)n1時(shí)，S12a12，則a12，an2是以a124為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an242n1，an2n12.(2)證明bnlog2(an2)log22n1n1，則Tn，Tn，兩式相減得Tn，Tn，當(dāng)n2時(shí)，TnTn1>0，Tn為遞增數(shù)列，TnT1.10解(1)bn1bn2(常數(shù))，數(shù)列bn是等差數(shù)列a11，b12，因此bn2(n1)22n，由bn得an.(2)由cn，an得cn，cncn22()，Tn2(1)2(1)<3，依題意要使Tn<對(duì)于nN*恒成立，只需3，即3，解得m3或m4，又m為正整數(shù)，所以m的最小值為3.11A由題意，得B1，B2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，)，(x2，)，所以直線B1B2的方程為y(xx1)，令y0，得xx1x2，所以x3x1x2，因此，x1，x2成等差數(shù)列124解析根據(jù)已知，可得ann(n1)，所以，所以Sn，所以bnSnn1104，當(dāng)且僅當(dāng)n1，即n2時(shí)等號(hào)成立，所以bnSn的最小值為4.13.解析依題意得ab0，即2Snn(n1)，Sn.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n；又a1S11，因此ann，當(dāng)且僅當(dāng)n，nN*，即n2時(shí)取等號(hào)，因此數(shù)列的最大項(xiàng)的值為.14解(1)由題意，可得2an1Sn20.當(dāng)n2時(shí)，2anSn120.，得2an12anan0，所以(n2)因?yàn)閍11,2a2a12，所以a2.所以an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an()n1.(2)由(1)知，Sn2.若Snn為等差數(shù)列，則S1，S22，S33成等差數(shù)列，則2(S2)S1S3，即2()1，解得2.又2時(shí)，Sn2n2n2，顯然2n2成等差數(shù)列，故存在實(shí)數(shù)2，使得數(shù)列Snn為等差數(shù)列