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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題27 快速解決直線與圓錐曲線綜合問題的解題技巧 一．命題陷阱 1.不用韋達(dá)定理與用韋達(dá)定理的選擇陷阱 2.范圍不完備陷阱 3.圓錐曲線中三角形面積公式選取陷阱 4．不用定義直接化簡的陷阱（圓錐曲線定義的靈活運用） 5.圓錐曲線中的求定點、定直線只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱 6.圓錐曲線中的求定值只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱 二、知識回顧 1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) ，焦點，其中． (2) ，焦點，其中 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) ，焦點，其中． (2) ，焦點，其中 3．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) ．對應(yīng)的焦點分別為： . 三．典例分析 1.不用韋達(dá)定理與用韋達(dá)定理的選擇陷阱 例1. 設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為. （I）求橢圓的方程和拋物線的方程； （II）設(shè)上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程. 【答案】 （1）， .（2），或. （Ⅱ）解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點異于點，可得點.由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因為的面積為，故，整理得，解得，所以. 所以，直線的方程為，或. 【陷阱防范】：分析題目條件與所求關(guān)系，恰當(dāng)選取是否使用韋達(dá)定理 練習(xí)1. 已知橢圓，且橢圓上任意一點到左焦點的最大距離為，最小距離為. （1）求橢圓的方程； （2）過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點，使得以線段為直徑的圓恒過點?若存在，求出點的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由. 【答案】(1) 橢圓方程為;(2) 以線段為直徑的圓恒過點. 下面證明為所求：若直線的斜率不存在，上述己經(jīng)證明. 若直線的斜率存在，設(shè)直線， ， 由得， ，， ， . ∴，即以線段為直徑的圓恒過點. 練習(xí)2.設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為. （I）求橢圓的方程和拋物線的方程； （II）設(shè)上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程. 【答案】 （1）， .（2），或. 【解析】（Ⅰ）設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，，，，解得，，，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為. 練習(xí)3. 已知橢圓： ，曲線上的動點滿足： . （1）求曲線的方程； （2）設(shè)為坐標(biāo)原點，第一象限的點分別在和上， ，求線段的長. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】（1）由已知，動點到點， 的距離之和為， 且，所以動點的軌跡為橢圓，而， ，所以， 故橢圓的方程為. （2）兩點的坐標(biāo)分別為，由及（1）知， 三點共線且點不在軸上，因此可設(shè)直線的方程為. 將代入中，得，所以， 將代入中，得，所以， 又由，得，即， 解得， 故 2.范圍不完備陷阱 例2. 已知橢圓： 的離心率為，以橢圓長、短軸四個端點為頂點為四邊形的面積為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為、，當(dāng)動點在定直線上運動時，直線分別交橢圓于兩點、，求四邊形面積的最大值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） . 【解析】（Ⅰ）由題設(shè)知， ， 又，解得， 故橢圓的方程為. 故四邊形的面積為 . 由于，且在上單調(diào)遞增，故， 從而，有. 當(dāng)且僅當(dāng)，即，也就是點的坐標(biāo)為時，四邊形的面積取最大值6. 【陷阱防范】：涉及含參數(shù)問題，求最值或范圍時要注意運用均值不等式還是運用函數(shù)的單調(diào)性. 練習(xí)1.設(shè)點，動圓經(jīng)過點且和直線相切，記動圓的圓心的軌跡為曲線. （1）求曲線的方程； （2）設(shè)曲線上一點的橫坐標(biāo)為，過的直線交于一點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點，若是的切線，求的最小值. 【答案】（1）（2） 【解析】(1)過點作直線垂直于直線于點，由題意得，所以動點的軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線.所以拋物線得方程為. ，解得，或.. 而拋物線在點的切線斜率， ， 是拋物線的切線， ，整理得，解得（舍去），或. 練習(xí)2. 已知雙曲線的離心率為，點(，0)是雙曲線的一個頂點。 (1)求雙曲線的方程； (2)經(jīng)過雙曲線右焦點作傾斜角為的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點，求的長。 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）因為雙曲線的離心率為，點(，0)是雙曲線的一個頂點，所以，即 （2）經(jīng)過雙曲線右焦點作傾斜角為的直線 與雙曲線聯(lián)立方程組消y得 ，由弦長公式解得 練習(xí)3. 已知橢圓的方程為，雙曲線的一條漸近線與軸所成的夾角為，且雙曲線的焦距為. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)分別為橢圓的左，右焦點，過作直線 (與軸不重合)交橢圓于， 兩點，線段的中點為，記直線的斜率為，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【解析】(1)一條漸近線與軸所成的夾角為知，即， 又，所以，解得， ， 所以橢圓的方程為. (2)由(1)知，設(shè)， ，設(shè)直線的方程為. 聯(lián)立得， 由得， ∴， 又，所以直線的斜率. ①當(dāng)時， ； ②當(dāng)時， ，即. 綜合①②可知，直線的斜率的取值范圍是. 練習(xí)4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，拋物線 （1）若直線過拋物線的焦點，求拋物線的方程； （2）已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點和. ①求證：線段的中點坐標(biāo)為； ②求的取值范圍. 【答案】（1）（2）①詳見解析，② ①由消去得 因為P 和Q是拋物線C上的相異兩點，所以 從而，化簡得. 方程（*）的兩根為，從而 因為在直線上，所以 因此，線段PQ的中點坐標(biāo)為 ②因為在直線上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范圍為 【方法總結(jié)】在利用代數(shù)法解決范圍問題時常從以下五個方面考慮： (1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系； (3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 3.圓錐曲線中三角形面積公式選取陷阱 例3. 已知圓，圓心為，定點， 為圓上一點，線段上一點滿足，直線上一點，滿足． （Ⅰ）求點的軌跡的方程； （Ⅱ）為坐標(biāo)原點， 是以為直徑的圓，直線與相切，并與軌跡交于不同的兩點．當(dāng)且滿足時，求面積的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） . 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 則， ， ∴. ∴點的軌跡的方程為。 （Ⅱ）∵圓與直線相切， ∴，即， 由，消去. ∵直線與橢圓交于兩個不同點， ∴， 將代入上式，可得， 設(shè)， ， 則， ， ∴ ， ∴ ∴， ∵，解得.滿足。 又， 設(shè)，則. ∴ ， ∴ 故面積的取值范圍為。 【陷阱防范】：涉及到三角形面積時用弦長公式還是用把三角形分成兩個或幾個三角形求面積 練習(xí)1. 設(shè)， 是橢圓上的兩點，橢圓的離心率為，短軸長為2，已知向量， ，且， 為坐標(biāo)原點. （1）若直線過橢圓的焦點，（ 為半焦距），求直線的斜率的值； （2）試問： 的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由. 【答案】（1）；（2）見解析. （2）①直線斜率不存在時，即， ∵ ∴，即 又∵點在橢圓上 ∴，即 ∴， ∴，故的面積為定值1 ②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為， 聯(lián)立得： ∴， ， ∴ 所以三角形的面積為定值1. 練習(xí)2.設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為. （I）求橢圓的方程和拋物線的方程； （II）設(shè)上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程. 【答案】 （1）， .（2），或. 【解析】（Ⅰ）設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，，，，解得，，，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為. （Ⅱ）解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點異于點，可得點.由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因為的面積為，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或. 4．不用定義直接化簡的陷阱（圓錐曲線定義的靈活運用） 例4. 已知橢圓與拋物線共焦點，拋物線上的點M到y(tǒng)軸的距離等于，且橢圓與拋物線的交點Q滿足． （I）求拋物線的方程和橢圓的方程； （II）過拋物線上的點作拋物線的切線交橢圓于、 兩點，設(shè)線段AB的中點為，求的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）∵拋物線上的點到軸的距離等于， ∴點M到直線的距離等于點到焦點的距離， 得是拋物線的準(zhǔn)線，即， 解得，∴拋物線的方程為； 可知橢圓的右焦點，左焦點， 由得，又，解得， 由橢圓的定義得， ∴，又，得， ∴橢圓的方程為． 【陷阱防范】：涉及圓錐曲線方程時要考慮定義的幾何意義，往往可以簡化解題步驟. 練習(xí)1. 已知雙曲線的漸近線方程為: ，右頂點為. （Ⅰ）求雙曲線的方程； （Ⅱ）已知直線與雙曲線交于不同的兩點，且線段的中點為，當(dāng)時，求的值。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因為雙曲線的漸近線方程為: ，所以 ，又右頂點為，所以，即 （2）直線與雙曲線聯(lián)立方程組消y得 的值為 練習(xí)2. 設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，其焦距為，點在橢圓的外部，點是橢圓上的動點，且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ∵點在橢圓的外部,則，解得， ∴，即。 由橢圓的定義得 ，, ∵恒成立，∴， 解得，即.所以橢圓離心率的取值范圍是.選D. 5.圓錐曲線中的求定點定直線（只考慮一般情況不考慮特殊位置）陷阱 例5. 已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于兩點，且. （1）求該拋物線的方程； （2）已知拋物線上一點，過點作拋物線的兩條弦和，且，判斷直線是否過定點？并說明理由. 【答案】（1）；（2）定點 【解析】（1）拋物線的焦點 ，∴直線的方程為: . 聯(lián)立方程組，消元得: ， ∴. ∴ 解得. ∴拋物線的方程為： . （2）由（1）可得點，可得直線的斜率不為0， 設(shè)直線的方程為： ， 聯(lián)立，得， 則①. 設(shè)，則. ∵ 即，得： ， ∴，即或， 代人①式檢驗均滿足， ∴直線的方程為： 或. ∴直線過定點（定點不滿足題意，故舍去）. 【陷阱防范】：1.定點與定值問題的解決，一般通過取極端位置(即特定位置)探索出定點或定值，然后再進(jìn)行一般性證明. 2.解決定值定點方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點、定值、定線，再證明定點、定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算. 練習(xí)1已知拋物線，直線交于兩點， 是的中點，過作軸的垂線交于點. （1）證明：拋物線在點處的切線與平行； （2）是否存在實數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過點？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 【答案】(1)見解析;(2) 存在實數(shù)使以為直徑的圓經(jīng)過點. 【解析】（1）證明：設(shè)， ，把代入得. 所以， ，所以. 因為，所以拋物線在點處的切線斜率為，故該切線與平行. （2）假設(shè)存在實數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過點，則. 由（1）知 ，又因為垂直于軸， 所以， 而 . 所以，解得. 所以，存在實數(shù)使以為直徑的圓經(jīng)過點. 練習(xí)2. 已知命題：方程表示焦點在軸上的橢圓；命題：雙曲線的離心率，若是真命題，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】． 或為真，則． 6.圓錐曲線中的求定值只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱 例6. 在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線與動直線的交點為，線段的中垂線與動直線的交點為． （1）求動點的軌跡的方程； （2）過動點作曲線的兩條切線，切點分別為， ，求證： 的大小為定值． 【答案】（1）曲線的方程為．（2）詳見解析 （2）由題意，過點的切線斜率存在，設(shè)切線方程為， 聯(lián)立 得， 所以，即（*）， 因為，所以方程（*）存在兩個不等實根，設(shè)為， 因為，所以，為定值． 【陷阱防范】：1.定值問題的解決，一般通過取極端位置(即特定位置)探索出定值，然后再進(jìn)行一般性證明. 2.解決定值方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明定值與變量無關(guān)；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定值.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算. 練習(xí)1. 點是雙曲線上的點， 是其焦點，雙曲線的離心率是，且,若的面積是9，則的值等于( )． A. 4 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】雙曲線的離心率是 ， 的面積 在 中，由勾股定理可得 故選 C． 練習(xí)2. 如圖，拋物線與雙曲線有公共焦點，點是曲線在第一象限的交點，且. （Ⅰ）求雙曲線的方程； （Ⅱ）以為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切，圓.已知點，過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為.試探索是否為定值？請說明理由. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）為定值. 【解析】（Ⅰ）拋物線的焦點為， ∴雙曲線的焦點為. 設(shè)在拋物線上，且. 由拋物線的定義得，，∴. ∴，∴. 又∵點在雙曲線上，由雙曲線定義得，，∴. ∴雙曲線的方程為：. （Ⅱ）為定值.下面給出說明： 設(shè)圓的方程為：，雙曲線的漸近線方程為：. ∵圓與漸近線相切，∴圓的半徑為. 故圓. 依題意的斜率存在且均不為零，所以 設(shè)的方程為，即， 設(shè)的方程為，即， ∴點到直線的距離為，點到直線的距離為， ∴直線被圓截得的弦長， 直線被圓截得的弦長， ∴，故為定值. 四．真題再現(xiàn) 1.平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓上. (Ⅰ)求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓 于兩點，射線 交橢圓于點. ( i )求的值； （ii）求面積的最大值. 【答案】（I）；（II）( i )2；（ii） . （II）由（I）知橢圓E的方程為, （i）設(shè)， ，由題意知 因為, 又 ，即 ,所以 ，即 . （ii）設(shè) 將代入橢圓E的方程， 可得 由 ，可得 …………………………① 則有 所以 因為直線與軸交點的坐標(biāo)為 所以的面積 令 ,將 代入橢圓C的方程可得 由 ，可得 …………………………………………② 由①②可知 因此 ,故 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時取得最大值 由（i）知， 面積為 ,所以面積的最大值為 . 2.已知橢圓（）的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點， 的直線的距離為． （I）求橢圓的離心率； （II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點，求橢圓的 方程． 【答案】（I）；（II）． 【解析】（I）過點，的直線方程為， 則原點到直線的距離， 由，得，解得離心率. (II)解法一：由（I）知，橢圓的方程為. (1) 依題意，圓心是線段的中點，且. 易知，不與軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得 故橢圓的方程為. 解法二：由（I）知，橢圓的方程為. (2) 依題意，點，關(guān)于圓心對稱，且. 設(shè)則，， 兩式相減并結(jié)合得. 易知，不與軸垂直，則，所以的斜率 因此直線方程為，代入(2)得 所以，. 于是. 由，得，解得. 故橢圓的方程為. 3.如圖，設(shè)橢圓（a＞1）. （I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）； （II）若任意以點A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值 范圍. 【答案】（I）；（II）． 【解析】（I）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，由得 ， 故 ，． 因此 ． （II）假設(shè)圓與橢圓的公共點有個，由對稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點，，滿足 ． 記直線，的斜率分別為，，且，，． 由（I）知， ，， 故 ， 所以． 由于，，得 ， 因此 ， ① 因為①式關(guān)于，的方程有解的充要條件是 ，所以． 因此，任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點的充要條件為 ， 由得，所求離心率的取值范圍為． 5. 已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點，，線段的中點為． (Ⅰ)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值； （Ⅱ）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由． 【答案】(Ⅰ)詳見解析；（Ⅱ）能，或． 【解析】(Ⅰ)設(shè)直線，，，． 將代入得，故， ．于是直線的斜率，即．所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值． （Ⅱ）四邊形能為平行四邊形． 因為直線過點，所以不過原點且與有兩個交點的充要條件是，． 由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點的橫坐標(biāo)為．由得，即．將點的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此．四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即．于是 ．解得，．因為，，，所以當(dāng)?shù)男甭蕿? 或時，四邊形為平行四邊形． 6.已知橢圓的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于兩點，點在上，． （Ⅰ）當(dāng)時，求的面積； （Ⅱ）當(dāng)時，求的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】（I）設(shè)，則由題意知，當(dāng)時，的方程為，. 由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為. 將代入得.解得或，所以. 因此的面積. （II）由題意，，. 將直線的方程代入得. 由得，故. 由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得， 由得，即. 7.如圖，橢圓E：的離心率是，過點P（0,1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當(dāng)直線平行與軸時，直線被橢圓E截得的線段長為. (1)求橢圓E的方程； （2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）；（2）存在，Q點的坐標(biāo)為. （2）當(dāng)直線與軸平行時，設(shè)直線與橢圓相交于C、D兩點. 如果存在定點Q滿足條件，則，即. 所以Q點在y軸上，可設(shè)Q點的坐標(biāo)為. 當(dāng)直線與軸垂直時，設(shè)直線與橢圓相交于M、N兩點. 則， 由，有，解得或. 所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點的坐標(biāo)只可能為. 下面證明：對任意的直線，均有. 當(dāng)直線的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立. 當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，A、B的坐標(biāo)分別為. 聯(lián)立得. 其判別式， 所以，. 因此. 易知，點B關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為. 又， 所以，即三點共線. 所以. 故存在與P不同的定點，使得恒成立.