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2019年高考數(shù)學一輪復習 第四章 三角函數(shù)與解三角形 4.5 三角函數(shù)的圖象和性質真題演練集訓 理 新人教A版 1．[xx四川卷]下列函數(shù)中，最小正周期為π且圖象關于原點對稱的函數(shù)是(　　) A．y＝cos B．y＝sin C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 答案：A 解析：y＝cos＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故A正確；y＝sin＝cos 2x，最小正周期為π，且為偶函數(shù)，其圖象關于對稱，故B不正確；C，D均為非奇非偶函數(shù)，其圖象不關于原點對稱，故C，D不正確． 2．[xx浙江卷]設函數(shù)f(x)＝sin2x＋bsin x＋c，則f(x)的最小正周期(　　) A．與b有關，且與c有關 B．與b有關，但與c無關 C．與b無關，且與c無關 D．與b無關，但與c有關 答案：B 解析：由于f(x)＝sin2x＋bsin x＋c＝＋bsin x＋c.當b＝0時，f(x)的最小正周期為π；當b≠0時，f(x)的最小正周期為2π.c的變化會引起f(x)圖象的上下平移，不會影響其最小正周期．故選B. 3．[xx新課標全國卷Ⅰ]已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－為f(x)的零點，x＝為y＝f(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上單調，則ω的最大值為(　　) A．11 B．9 C．7 D．5 答案：B 解析：因為x＝－為函數(shù)f(x)的零點，x＝為y＝f(x)圖象的對稱軸，所以＝＋(k∈Z，T為周期)，得T＝(k∈Z)．又f(x)在上單調，所以T≥，k≤.又當k＝5時，ω＝11，φ＝－，f(x)在上不單調；當k＝4時，ω＝9，φ＝，f(x)在上單調，滿足題意，故ω＝9，即ω的最大值為9. 4．[xx浙江卷]函數(shù)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，單調遞減區(qū)間是________． 答案：π　(k∈Z) 解析：∵f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1 ＝＋sin 2x＋1 ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin＋， ∴ 函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π. 令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(k∈Z)． 5．[xx重慶卷]已知函數(shù)f(x)＝sinsin x －cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)討論f(x)在上的單調性． 解：(1)f(x)＝sinsin x－cos2x ＝cos xsin x－(1＋cos 2x) ＝sin 2x－cos 2x－ ＝sin－， 因此f(x)的最小正周期為π，最大值為. (2)當x∈時，0≤2x－≤π. 當0≤2x－≤，即≤x≤時，f(x)單調遞增； 當≤2x－≤π，即≤x≤時，f(x)單調遞減． 綜上可知，f(x)在上單調遞增；在上單調遞減． 三角函數(shù)的最值問題 三角函數(shù)的最值問題是三角函數(shù)中最基本的問題，是歷年高考考查的重點和熱點內容，對于這類問題如果能找到恰當?shù)姆椒?，掌握其?guī)律，就可以簡捷地求解．前面考點3中介紹了兩種類型，還有如下幾種常見類型． 1．y＝asin2x＋bsin x＋c型函數(shù)的最值 可將y＝asin2x＋bsin x＋c中的sin x看作t，即令t＝sin x，則y＝at2＋bt＋c，這樣就轉化為二次函數(shù)的最值問題．但這里應注意換元前后變量的取值范圍要保持不變，即要根據(jù)給定的x的取值范圍，求出t的范圍．另外，y＝acos2x＋bcos x＋c，y＝asin2x＋bcos x＋c等形式的函數(shù)的最值都可歸為此類． [典例1]　設x∈，求函數(shù)y＝4sin2x－12sin x－1的最值． [思路分析]　 → → [解]　令t＝sin x，由于x∈， 故t∈. y＝4t2－12t－1＝42－10， 因為當t∈時，函數(shù)單調遞減， 所以當t＝－，即x＝－時，ymax＝6； 當t＝1，即x＝時，ymin＝－9. 2．y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函數(shù)的最值 可利用降冪公式將y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x整理轉化為y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C求最值． [典例2]　求函數(shù)y＝sin x(cos x－sin x)的最大值． [思路分析]　 [解]　y＝sin x(cos x－sin x) ＝sin xcos x－sin2x ＝sin 2x－ ＝(sin 2x＋cos 2x)－ ＝sin－. 因為00，a>1時，不能用基本不等式求最值，宜用函數(shù)在區(qū)間上的單調性求解．