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2019-2020年高考數(shù)學大二輪總復習 增分策略 專題四 數(shù)列 推理與證明 第2講 數(shù)列的求和問題試題
1．(xx福建)在等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
2．(xx課標全國Ⅰ)已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列{}的前n項和．
高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消等方法求一般數(shù)列的和，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想.
熱點一 分組轉(zhuǎn)化求和
有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并．
例1 等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋(－1)nln an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
思維升華 在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想．把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和，在求和時要分析清楚哪些項構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解．在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數(shù)n進行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式．
跟蹤演練1 在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項和Sm.
熱點二 錯位相減法求和
錯位相減法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{anbn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．
例2 (xx衡陽聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且有a1＝2,3Sn＝5an－an－1＋3Sn－1(n≥2)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝(2n－1)an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
思維升華 (1)錯位相減法適用于求數(shù)列{anbn}的前n項和，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列；(2)所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減．要注意的是相減后得到部分，求等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項數(shù)．(3)為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n＝1,2進行驗證．
跟蹤演練2 設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1(n∈N*)，
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
熱點三 裂項相消法求和
裂項相消法是指把數(shù)列和式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于{}或{}(其中{an}為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和．
例3 (xx韶關高三聯(lián)考)已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，當n≥2時，其前n項和Sn滿足S＝an(Sn－)．
(1)求Sn的表達式；
(2)設bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明Tn<.
思維升華 (1)裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，從而達到在求和時某些項相消的目的，在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列{an}的通項公式，使之符合裂項相消的條件．
(2)常化的裂項公式
①＝(－)；
②＝(－)；
③＝(－)．
跟蹤演練3 (1)已知數(shù)列{an}，an＝，其前n項和Sn＝9，則n＝________.
(2)(xx江蘇)設數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列前10項的和為________.
1．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，其前n項和為Sn，若存在實數(shù)M，滿足對任意的n∈N*，都有Sn
0)，且4a3是a1與2a2的等差中項．
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
提醒：完成作業(yè) 專題四 第2講
二輪專題強化練
專題四
第2講 數(shù)列的求和問題
A組 專題通關
1．已知數(shù)列1，3，5，7，…，則其前n項和Sn為( )
A．n2＋1－ B．n2＋2－
C．n2＋1－ D．n2＋2－
2．已知在數(shù)列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于( )
A．445 B．765
C．1 080 D．3 105
3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 012，其前n項和為Sn，若－＝2 002，則S2 014的值等于( )
A．2 011 B．－2 012
C．2 014 D．－2 013
4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋1an－1＝an(n≥2)，則數(shù)列{an}的前40項和S40等于( )
A．20 B．40
C．60 D．80
5．(xx曲靖一模)＋＋＋…＋的值為( )
A. B.－
C.－(＋) D.－＋
6．設f(x)＝，若S＝f()＋f()＋…＋f()，則S＝________.
7．(xx遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1，記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S60＝________.
8．設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若(n∈N*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”；若數(shù)列{cn}是首項為2，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，則d＝________.
9．(xx北京)已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝3, a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}為等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和．
10．(xx山東)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知2Sn＝3n＋3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足anbn＝log3an，求{bn}的前n項和Tn.
B組 能力提高
11．數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝，其前n項積為Tn，則T2 016等于( )
A. B．－
C．1 D．－1
12．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝＋，且a1＝，則該數(shù)列的前2 016項的和等于( )
A．1 509 B．3 018
C．1 512 D．2 016
13．已知lg x＋lg y＝1，且Sn＝lg xn＋lg(xn－1y)＋lg(xn－2y2)＋…＋lg yn，則Sn＝________.
14．(xx湖南)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3, n∈N*.
(1)證明：an＋2＝3an；
(2)求Sn.
學生用書答案精析
第2講 數(shù)列的求和問題
高考真題體驗
1．解 (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，
由已知得
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.
(2)由(1)可得bn＝2n＋n，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)
＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)
＝＋
＝(211－2)＋55
＝211＋53＝2 101.
2．解 (1)方程x2－5x＋6＝0的兩根為2,3，
由題意得a2＝2，a4＝3.
設數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，
故d＝，從而a1＝.
所以{an}的通項公式為an＝n＋1.
(2)設{}的前n項和為Sn.
由(1)知＝，則
Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋.
兩式相減得
Sn＝＋(＋…＋)－
＝＋(1－)－.
所以Sn＝2－.
熱點分類突破
例1 解 (1)當a1＝3時，不合題意；
當a1＝2時，當且僅當a2＝6，a3＝18時，符合題意；
當a1＝10時，不合題意．
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3.
故an＝23n－1 (n∈N*)．
(2)因為bn＝an＋(－1)nln an
＝23n－1＋(－1)nln(23n－1)
＝23n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]
＝23n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3.
當n為偶數(shù)時，
Sn＝2＋ln 3＝3n＋ln 3－1；
當n為奇數(shù)時，
Sn＝2－(ln 2－ln 3)＋ln 3＝3n－ln 3－ln 2－1.
綜上所述，Sn＝
跟蹤演練1 解 (1)因為{an}是一個等差數(shù)列，
所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，所以a4＝28.
設數(shù)列{an}的公差為d，
則5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.
由a4＝a1＋3d得28＝a1＋39，即a1＝1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．
(2)對m∈N*，若9m
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