2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題四 數(shù)列 推理與證明 第2講 數(shù)列的求和問題試題1(xx福建)在等差數(shù)列an中，a24，a4a715.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnn，求b1b2b3b10的值2(xx課標(biāo)全國)已知an是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消等方法求一般數(shù)列的和，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想.熱點一分組轉(zhuǎn)化求和有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并例1等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項和Sn.思維升華在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和，在求和時要分析清楚哪些項構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數(shù)n進行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式跟蹤演練1在等差數(shù)列an中，a3a4a584，a973.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)對任意mN*，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm，求數(shù)列bm的前m項和Sm.熱點二錯位相減法求和錯位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列例2(xx衡陽聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且有a12,3Sn5anan13Sn1(n2)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn(2n1)an，求數(shù)列bn的前n項和Tn.思維升華(1)錯位相減法適用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列；(2)所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減要注意的是相減后得到部分，求等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項數(shù)(3)為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n1,2進行驗證跟蹤演練2設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，Sn12Snn1(nN*)，(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.熱點三裂項相消法求和裂項相消法是指把數(shù)列和式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和例3(xx韶關(guān)高三聯(lián)考)已知在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時，其前n項和Sn滿足San(Sn)(1)求Sn的表達式；(2)設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，證明Tn<.思維升華(1)裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，從而達到在求和時某些項相消的目的，在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列an的通項公式，使之符合裂項相消的條件(2)常化的裂項公式()；()；()跟蹤演練3(1)已知數(shù)列an，an，其前n項和Sn9，則n_.(2)(xx江蘇)設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列前10項的和為_.1已知數(shù)列an的通項公式為an，其前n項和為Sn，若存在實數(shù)M，滿足對任意的nN*，都有Sn<M恒成立，則M的最小值為_2已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sna(Snan1)(a為常數(shù)，且a>0)，且4a3是a1與2a2的等差中項(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.提醒：完成作業(yè)專題四第2講二輪專題強化練專題四 第2講數(shù)列的求和問題A組專題通關(guān)1已知數(shù)列1，3，5，7，則其前n項和Sn為()An21 Bn22Cn21 Dn222已知在數(shù)列an中，a160，an1an3，則|a1|a2|a3|a30|等于()A445 B765C1 080 D3 1053在等差數(shù)列an中，a12 012，其前n項和為Sn，若2 002，則S2 014的值等于()A2 011 B2 012C2 014 D2 0134已知數(shù)列an滿足a11，a23，an1an1an(n2)，則數(shù)列an的前40項和S40等于()A20 B40C60 D805(xx曲靖一模)的值為()A. B.C.() D.6設(shè)f(x)，若Sf()f()f()，則S_.7(xx遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)在數(shù)列an中，a11，an2(1)nan1，記Sn是數(shù)列an的前n項和，則S60_.8設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，若(nN*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”；若數(shù)列cn是首項為2，公差為d(d0)的等差數(shù)列，且數(shù)列cn是“和等比數(shù)列”，則d_.9(xx北京)已知an是等差數(shù)列，滿足a13, a412，數(shù)列bn滿足b14，b420，且bnan為等比數(shù)列(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)求數(shù)列bn的前n項和10(xx山東)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知2Sn3n3.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足anbnlog3an，求bn的前n項和Tn.B組能力提高11數(shù)列an滿足a12，an，其前n項積為Tn，則T2 016等于()A. BC1 D112已知數(shù)列an滿足an1，且a1，則該數(shù)列的前2 016項的和等于()A1 509 B3 018C1 512 D2 01613已知lg xlg y1，且Snlg xnlg(xn1y)lg(xn2y2)lg yn，則Sn_.14(xx湖南)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13, nN*.(1)證明：an23an；(2)求Sn.學(xué)生用書答案精析第2講數(shù)列的求和問題高考真題體驗1解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532 101.2解(1)方程x25x60的兩根為2,3，由題意得a22，a43.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則a4a22d，故d，從而a1.所以an的通項公式為ann1.(2)設(shè)的前n項和為Sn.由(1)知，則Sn，Sn.兩式相減得Sn()(1).所以Sn2.熱點分類突破例1解(1)當(dāng)a13時，不合題意；當(dāng)a12時，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時，符合題意；當(dāng)a110時，不合題意因此a12，a26，a318，所以公比q3.故an23n1 (nN*)(2)因為bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn2ln 33nln 31；當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.綜上所述，Sn跟蹤演練1解(1)因為an是一個等差數(shù)列，所以a3a4a53a484，所以a428.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則5da9a4732845，故d9.由a4a13d得28a139，即a11，所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)對mN*，若9m<an<92m，則9m8<9n<92m8，因此9m11n92m1，故得bm92m19m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).例2解(1)3Sn3Sn15anan1(n2)，2anan1，又a12，an是以2為首項，公比為的等比數(shù)列，an2()n1()n222n.(2)bn(2n1)22n，Tn121320521(2n1)22n，Tn120321(2n3)22n(2n1)21n，Tn22(202122n)(2n1)21n2(2n1)21n6(2n3)21n，Tn12(2n3)22n.跟蹤演練2解(1)Sn12Snn1，當(dāng)n2時，Sn2Sn1n，an12an1，an112(an1)，即2(n2)，又S22S12，a1S11，a23，2，當(dāng)n1時，式也成立，an12n，即an2n1(nN*)(2)an2n1，bn，Tn，Tn，Tn2()22.例3(1)解當(dāng)n2時，anSnSn1代入San(Sn)，得2SnSn1SnSn10，由于Sn0，所以2，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，從而1(n1)22n1，所以Sn.(2)證明因為bn()，所以Tn(1)()()(1)<，所以Tn<.跟蹤演練3(1)99(2)解析(1)因為an，所以Sna1a2a3an1an(1)()()()()1.由19，解得n99.(2)a11，an1ann1，a2a12，a3a23，anan1n，將以上n1個式子相加得ana123n，即an，令bn，故bn2，故S10b1b2b102.高考押題精練11解析因為an，所以Sn()()1，由于1<1，所以M的最小值為1.2解(1)當(dāng)n1時，S1a(S1a11)，所以a1a，當(dāng)n2時，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，由，得anaan1，即a，故an是首項a1a，公比等于a的等比數(shù)列，所以anaan1an.故a2a2，a3a3.由4a3是a1與2a2的等差中項，可得8a3a12a2，即8a3a2a2，因為a0，整理得8a22a10，即(2a1)(4a1)0，解得a或a(舍去)，故an()n.(2)由(1)，得bn(2n1)2n，所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，由，得Tn322(22232n)(2n1)2n162(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1，所以Tn2(2n1)2n1.二輪專題強化練答案精析第2講數(shù)列的求和問題1A因為an2n1，所以Snn21.2Ban1an3，an1an3.an是以60為首項，3為公差的等差數(shù)列an603(n1)3n63.令an0，得n21.前20項都為負值|a1|a2|a3|a30|(a1a2a20)a21a302S20S30.Snnn，|a1|a2|a3|a30|765.3C等差數(shù)列中，Snna1d，a1(n1)，即數(shù)列是首項為a12 012，公差為的等差數(shù)列；因為2 002，所以，(2 01210)2 002，1，所以，S2 0142 014(2 012)(2 0141)12 014，選C.4C由an1(n2)，a11，a23，可得a33，a41，a5，a6，a71，a83，這是一個周期為6的數(shù)列，一個周期內(nèi)的6項之和為，又40664，所以S406133160.5C()，(1)()()61 007解析f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)1.Sf()f()f()，Sf()f()f()，得，2Sf()f()f()f()f()f()2 014，S1 007.7480解析方法一依題意得，當(dāng)n是奇數(shù)時，an2an1，即數(shù)列an中的奇數(shù)項依次形成首項為1、公差為1的等差數(shù)列，a1a3a5a593011465；當(dāng)n是偶數(shù)時，an2an1，即數(shù)列an中的相鄰的兩個偶數(shù)項之和均等于1，a2a4a6a8a58a60(a2a4)(a6a8)(a58a60)15.因此，該數(shù)列的前60項和S6046515480.方法二an2(1)nan1，a3a11，a5a31，a7a51，且a4a21，a6a41，a8a61，a2n1為等差數(shù)列，且a2n11(n1)1n，即a11，a32，a53，a74，S4a1a2a3a41124，S8S4a5a6a7a83418，S12S8a9a10a11a1256112，S604154480.82解析由題意可知，數(shù)列cn的前n項和為Sn，前2n項和為S2n，所以22.因為數(shù)列cn是“和等比數(shù)列”，即為非零常數(shù)，所以d2.9解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得d3，所以ana1(n1)d3n(n1,2，)設(shè)等比數(shù)列bnan的公比為q，由題意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.從而bn3n2n1(n1,2，)(2)由(1)知bn3n2n1(n1,2，)數(shù)列3n的前n項和為n(n1)，數(shù)列2n1的前n項和為2n1.所以，數(shù)列bn的前n項和為n(n1)2n1.10解(1)因為2Sn3n3，所以2a133，故a13，當(dāng)n1時，2Sn13n13，此時2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因為anbnlog3an，所以b1，當(dāng)n1時，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；當(dāng)n1時，Tnb1b2b3bn(131232(n1)31n)，所以3Tn1(130231(n1)32n)，兩式相減，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn，經(jīng)檢驗，n1時也適合綜上可得Tn.11C由an，得an1.a12，a23，a3，a4，a52，a63.故數(shù)列an具有周期性，周期為4，a1a2a3a41，T2 016T41.12C因為a1，又an1，所以a21，從而a3，a41，即得an故數(shù)列的前2 016項的和等于S2 0161 008(1)1 512.13.n2解析因為lg xlg y1，所以lg(xy)1.因為Snlg xnlg(xn1y)lg(xn2y2)lg(xyn1)lg yn，所以Snlg ynlg(xyn1)lg(xn2y2)lg(xn1y)lg xn，兩式相加，得2Sn(lg xnlg yn)lg(xn1y)lg(xyn1)(lg ynlg xn)lg(xnyn)lg(xn1yxyn1)lg(ynxn)nlg(xy)lg(xy)lg(xy)n2lg(xy)n2，所以Snn2.14(1)證明由條件，對任意nN*，有an23SnSn13，因而對任意nN*，n2，有an13Sn1Sn3.兩式相減，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1，故對一切nN*，an23an.(2)解由(1)知，an0，所以3.于是數(shù)列a2n1是首項a11，公比為3等比數(shù)列；數(shù)列a2n是首項a22，公比為3的等比數(shù)列因此a2n13n1，a2n23n1.于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1).從而S2n1S2na2n23n1(53n21)綜上所述，Sn