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1、 安徽省安慶市2015屆高三第二次模擬考試 數學試卷（理科） 一、選擇題：本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.已知是虛數單位,復數滿足,則復數等于 A. B. C. D. 2.已知橢圓的離心率為,則實數等于 A.2 B.2或 C.或6 D.2或8 3.設隨機變量服從正態(tài)分布,且在上取值的概率為0.8,則在(0,3)上取值的概率為 A.0.2

2、 B.0.3 C.0.8 D.0.1 4.在等比數列中,,且是和的等差中項,則的公比為 A.2 B.3 C.2或3 D.6 5.在極坐標系中,曲線上的兩點對應的極角分別為,則弦長等于 A.1 B. C. D.2 6.已知點是邊長為1的正方形的對角線上的任意一點,于,于,則等于 A.1 B.

3、 C. D. 7.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 A. B. C. D. 8.某村2014年的農業(yè)年生產總值為2000萬元,在2015年中,大力推進綠色生態(tài)農業(yè),預計以后每年的農業(yè)生產總值都比上一年增長10%,現設計了一個程序框圖計算預計農業(yè)年生產總值首次超過3000萬元的年份,那么圖中的※處和最后輸出的結果應是 A. B. C. D. 9.設實數滿足,且,則 A.有最小值9 B.有最大值9

4、 C.有最大值1 D.有最小值1 10.已知函數其中,設為的一個 零點,若,則符合條件的的值有 A.1個 B.2個 C.3個 D.無數個 二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分,請將答案填在答題卡的相應位置. 11.若的展開式的常數項是,則實數 12.設實數滿足,則的取值范圍是 13.已知命題函數的值域為,命題對任意的,不等式恒成立,若命題為真命題,則實數的取值范圍是 14.若函數的圖象如圖所

5、示,則圖中的陰影部分的面積為 15.規(guī)定:坐標軸繞著原點逆時針旋轉的角度為正角,順時針旋轉的角度為負角,不改變坐標軸的原點和長度單位,只將兩坐標軸旋轉同一個角度,這種坐標軸的變換叫做坐標軸的角旋轉,簡稱轉軸,將平面直角坐標系轉軸得到新坐標系,設點在兩個坐標系中的坐標分別為和,則下列結論中錯誤的是 (把你認為錯誤的所有結論的序號都填上) ①與軸垂直的直線轉軸后一定與軸垂直;②當時,點在新坐標系中的坐標為;③當時,反比例函數的圖象經過轉軸后的標準方程是 ④當時,直線的圖象經過轉軸后的直線方程是 ⑤點在兩個坐標系中坐標之間的關系是 三、解答題:本大題

6、共6小題,共75分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 16(本小題滿分12分) 如圖所示,在平面四邊形中,. (Ⅰ)當時,求的面積; (Ⅱ)設,記四邊形的周長為,求的表達式,并求出的最大值. 17(本小題滿分12分) 為美化環(huán)境,某小區(qū)物業(yè)計劃在小區(qū)內種植甲,乙,丙,丁四棵樹苗,受環(huán)境影響,甲,乙兩棵樹苗成活率均為,丙,丁兩棵樹苗成活率均為,每棵樹苗成活與否相互沒有影響. (Ⅰ)若甲,乙兩棵樹苗中有且僅有一棵成活的概率與丙,丁兩棵樹苗都成活的概率相等,求的值 (Ⅱ)設為最終成活的樹苗的數量,求的概率分布列及數學期望

7、值. 18(本小題滿分12分) 如圖所示,在四棱柱中,底面是梯形,,側面為菱形, . (Ⅰ)求證:; (Ⅱ)若,點在平面上的射影恰為線段的中點,求平面 與平面所成銳二面角的余弦值. 19(本小題滿分13分) 已知拋物線,四邊形內接于拋物線,如圖所示. (Ⅰ)若直線的斜率均存在,分別記為,求證:; (Ⅱ)若直線的斜率互為相反數,且弦軸,求證:直線與拋物線在點處的切線平行.

8、 20(本小題滿分13分) 已知函數. (Ⅰ)若在區(qū)間上為單調遞增函數,求實數的取值范圍; (Ⅱ)若,設直線為函數的圖象在處的切線,求證:. 21(本小題滿分13分) 已知數列滿足. (Ⅰ)求證:對任意; (Ⅱ)判斷數列的單調性,并說明你的理由; (Ⅲ)設為數列的前項和,求證:當時,. 2015年安慶市高三模擬考試（二模） 數學試題(理科) 參考答案及評分標準 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共5

9、0分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B C D A B C B 1.A【解析】，選. 2.D【解析】顯然且.當時，橢圓長軸在軸上，則，解得；當時，橢圓長軸在軸上，則，解得，選. 3.B【解析】因為服從正態(tài)分布，所以，，所以.選. 4.B【解析】設公比為，由已知， 得解得或，但不符合.選. 5.C【解析】、兩點的極坐標分別為 、，化為直角坐標為 、，故，選. 6.D【解析】設，，，（，），根據題意可知，，，，，且. 所以 ，，，故 .選.（注：也可用

10、坐標法或特殊位置法求解.） 7. A【解析】該幾何體的直觀圖如圖所示. .選. 8.B【解析】. 因為，，所以的最小正整數值為5.選. 9.C【解析】因為，所以. 又，，所以，故. 當且僅當時取等號. 選. 10.B【解析】. 因為， 所以，解得.由知，，，.當時，；當時，；當時，；當時，. 故，符合條件的的值有2個.選. 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在題中橫線上) 11. ，【解析】，由， 得，. 12. ，【解析】由題意，可行域如圖所示， 則 ， ，所以，故. 13.，【解析】函數的值域為；對任意的，不等式恒成立，所以若命題為真命

11、題，則；的范圍為. 14.，【解析】由圖可知，，， 由得，又， 得，由圖知， ， 由，得 所以， 陰影部分面積. 15.（1），（2），（3），【解析】（1）因為轉軸變換僅僅是坐標軸旋轉，而直線并不隨著旋轉，錯誤；（2）點在新坐標系中的坐標應為，錯誤；（3）時，函數的圖象經過轉軸后的標準方程是，錯誤； （4）直角坐標系中的直線，在坐標系中傾斜 角為，且經過點，故轉軸后的直線方程是 ，正確；（5）證明如下：設，， 則， ，正確. 三、解答題(本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．（本題滿分12分） 【解析】（Ⅰ）在△中，，， ，根

12、據余弦定理可得. ………2分 在△中，因為，所以當時，， 根據正弦定理可得，. 的面積. ……… 5分 （Ⅱ）在△中，由，得，， ……… 7分 所以 …9分 因為，所以當且僅當時，有最大值. 從而的最大值為. ……… 12分 17．（本題滿分12分） 【解析】（Ⅰ）， ………4分 （Ⅱ）可取0、1、2、3、4 =

13、 ………7分 ∴的分布列為 0 1 2 3 4 ………9分 + ∴. ………12分 18.（本小題滿分12分） 【解析】解一：（Ⅰ）因為側面為菱形，所以，又， 所以 ， 從而. ………5分 （Ⅱ）設線段的中點為，連接、，由題意知平面.因為側面為菱形，所以，故可

14、分別以射線、射線、射線為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖1所示. 設，由可知，，所以，從而，，，. 所以 . 由可得，所以. ………7分 設平面的一個法向量為，由，， 得 取，則，，所以. ………9分 又平面的法向量為，所以. 故平面與平面所成銳二面角的余弦值為. ………12分 解二：（Ⅰ）連接、、，設交于點， 連，如圖2所示. 由，可得△≌△， 所以.由于是線段的中點，所以， 圖2 又根據菱形的性質，所以平面，

15、 從而. ………5分 （Ⅱ）因為，，所以延長、交于點， 延長、交于點，且，.連接， 則.過點作的垂線交于點，交于點， 連接，如圖3所示.因為，所以. 由題意知平面，所以由三垂線定理得， 圖3 故是平面與平面所成二面角的平面角. ………8分 易知，，所以.在△中， ，所以. 故平面與平面所成銳二面角的余弦值為. ………12分 19．（本題滿分13分） 【解析】 (Ⅰ) 證明：設，，， 第19題圖 ， 同理：，故 ………4分 同理：，從而得證. ………6分 (

16、Ⅱ) 證明：由，有，，設以為切點的切線斜率為，則其方程為，代入 ，得 得，而 ； ………9分 由若直線、的斜率互為相反數，則有 ，， 而點不在上，所以，直線平行于點處的切線. ………13分 20．（本題滿分13分） 【解析】（Ⅰ）由已知，，由已知對恒成立， 故，對恒成立，得，∴為所求. ………4分 （Ⅱ）證明：，則 函數在處的切線方程為 當時，; 當時，要證； 即證 ＜0 ………6分 令 設， 則，∵，∴

17、 ∴在上單調遞減，而 ………10分 ∴當時，，當時， 即當時，，當時 ∴在區(qū)間上為增函數，在區(qū)間上為減函數 ∴時，，即有 綜上， ………13分 21.（本題滿分13分） 【解析】(Ⅰ)先用數學歸納法證明：（）. ① 當時，，結論正確； ② 假設時結論成立，即， 則時，，所以時，結論正確. 故，由①、②及數學歸納法原理，對一切的，都有成立. ………4分 (Ⅱ)是單調遞減的數列. 因為，又， 所以 ，. 這說明是單調遞減的數列. ………8分 （Ⅲ）由，得，所以. 根據(Ⅰ)（），所以， 所以 . 所以，當時，，即. 當時，，當時， . ………13分 - 21 -