第十二章 實(shí)數(shù)第1講 實(shí)數(shù)的概念【知識(shí)要點(diǎn)】1. 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù),也就是不能用兩整數(shù)比表示的數(shù).無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù).只有符號不同的兩個(gè)無理數(shù)是互為相反數(shù).2. 實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).3. 實(shí)數(shù)分類：【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解無理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念【典型例題】【例1】 下列表述是否正確,并說明理由：（1）一個(gè)實(shí)數(shù),不是正數(shù),就是負(fù)數(shù).（2）有限小數(shù)都是有理數(shù),無限小數(shù)都是無理數(shù).（3）一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù),就是負(fù)數(shù).（4）一個(gè)無理數(shù),不是正數(shù)就是負(fù)數(shù).（5）一個(gè)實(shí)數(shù)不是有理數(shù),就是無理數(shù).【分析】利用實(shí)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)的概念.【解答】因?yàn)榱闶菍?shí)數(shù),但它既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),在（1）的實(shí)數(shù)分類中并沒有把零包括在內(nèi),所以（1）不正確.無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù),而無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù),所以（2）不正確.因?yàn)榱闶怯欣頂?shù),它既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),在（3）的有理數(shù)分類中沒有把零包括在內(nèi),所以（3）不正確.無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù),所以（4）正確.實(shí)數(shù)是有理數(shù)與無理數(shù)的統(tǒng)稱,所以（5）正確.【注】零在實(shí)數(shù)中仍是正、負(fù)數(shù)的分界點(diǎn),不可忽視.【例2】選擇題：（1） 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),有一個(gè)數(shù)不是正實(shí)數(shù),這個(gè)數(shù)一定是（A） 負(fù)實(shí)數(shù) （B）負(fù)有理數(shù) （C）非正實(shí)數(shù) （D）非負(fù)實(shí)數(shù)（2） 實(shí)數(shù)(兩個(gè)11之間依次多一個(gè)0)中,無理數(shù)的個(gè)數(shù)有 （ ）（A）2個(gè) （B）3個(gè) （C）4個(gè) （D）5個(gè)【解答】（1）按實(shí)數(shù)可以分為正實(shí)數(shù),零,負(fù)實(shí)數(shù),非正實(shí)數(shù),即零或負(fù)實(shí)數(shù),選（C）.（2）判斷無理數(shù)應(yīng)根據(jù)無理數(shù)的概念“無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)”來斷定,應(yīng)選（B）.【例3】分別將下列各數(shù)填入相應(yīng)的橫線上： （每兩個(gè)3之間1的個(gè)數(shù)依次多1）有理數(shù)是無理數(shù)是【分析】有理數(shù)是能表示為形式的數(shù),無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),分別用這兩條標(biāo)準(zhǔn)去檢驗(yàn)上面的數(shù)得出正確結(jié)果.【解答】有理數(shù)是：無理數(shù)是：（每兩個(gè)3之間1的個(gè)數(shù)依次多1）.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1. 實(shí)數(shù)可以分為和兩類.2 有理數(shù)可以分為和;但按符號來分還可以分為、和.3叫無理數(shù).4,無理數(shù)有個(gè),它們是5寫出在2和3之間的一個(gè)無理數(shù).第2講 數(shù)的開方（1）平方根和開平方【知識(shí)要點(diǎn)】1.平方根如果一個(gè)數(shù)的平方根等于,那么這個(gè)數(shù)叫做的平方根,也可敘述為：“如果,那么就叫做的平方根.”2.開平方求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開平方,叫做被開方數(shù).3.平方根的性質(zhì) 一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,它們互為相反數(shù).正數(shù)的兩個(gè)平方根可以用“”表示,其中表示的正平方根（又叫算術(shù)平方根）,讀作“根號”; 表示的負(fù)平方根,讀作“負(fù)根號”.零的平方根記作,. 因?yàn)槿魏我粋€(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)或零的平方都不是負(fù)數(shù),所以負(fù)數(shù)沒有平方根.4.開平方與平方的關(guān)系開平方與平方互為逆運(yùn)算,根據(jù)平方根的意義,“如果,那么叫做的平方根”, 記作,我們得到：（1）一個(gè)正數(shù)的平方根的平方等于這個(gè)數(shù),即：當(dāng)時(shí),（2）一個(gè)正數(shù)的平方的正平方根等于這個(gè)數(shù),即：當(dāng)時(shí),一個(gè)負(fù)數(shù)的平方的正平方根等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù),即：當(dāng)時(shí),【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解平方根與開平方的概念;2.理解開平方與平方互為逆運(yùn)算的關(guān)系;3.掌握平方根的性質(zhì),分清平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別,并知道它們之間的聯(lián)系.【典型例題】例1 判斷下列說法是否正確：（1）1的平方根是1. （2）-16的平方根是. （3）的平方根是9.（4）. （5）-7是49的平方根 （6）的平方根是【解答】（1）不正確.因?yàn)?是正數(shù),1的平方根有兩個(gè),是.（2）不正確.因?yàn)?16是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)沒有平方根.（3）不正確.應(yīng)該是的平方是9.（4）不正確.表示81的正的平方根.它是一個(gè)正數(shù),=9,而.（5）正確.因?yàn)楦鶕?jù)平方根的概念,-7是49的平方根,但反過來說,49的平方根是-7就錯(cuò)了.(6)不正確.,的平方根即為4的平方根,所以的平方根應(yīng)是.【點(diǎn)評】解答這道題目是對鞏固和掌握平方根的概念和性質(zhì)不可忽視的基本訓(xùn)練.【例2】求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）【分析】求的值就是求144的正的平方根（即144的算術(shù)平方根）;求的值就是求的負(fù)的平方根（即的算術(shù)根的相反數(shù)）;求的值就是求0.01的平方根;求的值就是求的算術(shù)平方根的相反數(shù).搞清各式的符號語言的意義,是得到正確解的關(guān)鍵.【解答】（1） （2） （3） （4）【例3】求下列各數(shù)的平方根：（1）0.64 （2） （3）0 （4）【解答】（1）的平方根是即：（2）（3）（4）【點(diǎn)評】運(yùn)用平方運(yùn)算求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根是常用的方法.用符號語言表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根,應(yīng)由不習(xí)慣到習(xí)慣,這對加深平方根概念和性質(zhì)的理解有好處.【例4】 已知的平方根是,的平方根是,求的平方根.【分析】由已知得：=,即： , ,解由方程和組成的方程組得和的值,再求的平方根.【解答】由已知得解得的平方根是.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1.下列說法正確的是（ ）（A）因?yàn)?的平方是9,所以9的平方根是3（B）因?yàn)?3的平方是9,所以9的平方根是-3（C）因?yàn)榈牡讛?shù)為-3,所以沒有平方根（D）因?yàn)?9是負(fù)數(shù),所以-9沒有平方根2.下列各數(shù)是否有平方根,如果有,有幾個(gè)？并說明理由.（1）（2）-8 （3）0 （4）3.已知與互為相反數(shù),求的值4.求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根（1）0.0009 （2） （3）5.求值.（1） （2） （3）（4） （5） （6）【提高訓(xùn)練】1.一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根為,比這個(gè)數(shù)大2的數(shù)是 ( )(A) （B） （C） （D）2. ,則的取值范圍為 （ ）(A) （B） （C） （D）3.若,則4.已知,求的值.5.已知一個(gè)正數(shù)的平方根是和,求的值.6.已知為實(shí)數(shù),求的最小值和取得最小值時(shí)的值.第2講 數(shù)的開方（2）立方根和開立方【知識(shí)要點(diǎn)】1.立方根與平方根類似,有：如果一個(gè)數(shù)的立方等于,那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根,用“”表示,讀作“三次根號”,中的叫做被開方數(shù),“3”叫做根指數(shù);也可敘述為“如果,那么就叫做的立方根”,記作.2.開立方求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開立方.開立方與立方互為逆運(yùn)算.3.立方根的性質(zhì)我們已學(xué)過正數(shù)的立方是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的立方是一個(gè)負(fù)數(shù),零的立方等于零,由立方運(yùn)算可知正數(shù)有一個(gè)正立方根,負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)立方根,零的立方根是零,也就是說任意一個(gè)數(shù)都有立方根,而且只有一個(gè)立方根.類似于平方與開平方之間的關(guān)系,根據(jù)立方根的意義,可以得到.（以上是實(shí)數(shù)）方法與技能：一個(gè)數(shù)的立方根記作“”,根指數(shù)3不能忽略.由于,有,有,可見.一般地,如果>0則,如果把非負(fù)數(shù)的立方根叫做算術(shù)立方根,那么負(fù)數(shù)的立方根可以由它的相反數(shù)的算術(shù)立方根的相反數(shù)來表示,也就是把“”號提到根號外面來.典型剖析【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解立方根與開立方的概念;2.理解開立方與立方互為逆運(yùn)算的關(guān)系;【典型例題】【例1】 求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）【分析】 由立方根的意義,如果,那么就叫做的立方根,記作,可知的立方根的立方：.【解答】 （1） （2） 也可以這樣求：（3）（4）【例2】 判斷題（對的打“”,錯(cuò)的打“”）（1）1的立方根是.（2）任何數(shù)都有立方根.（3）如果,那么.（4）兩個(gè)互為相反數(shù)的立方根也是互為相反數(shù).（5）一個(gè)數(shù)的立方根和平方根都是它本身,這個(gè)數(shù)是0或1.（6）的平方根是.【解答】（1）（）. 1的立方根是1.（2）（）.任何實(shí)數(shù)都有唯一的立方根,記作.（3）（）.因?yàn)槭堑牧⒎礁?則;同理,.由可推出,即.（4）（）. ,兩個(gè)互為相反數(shù)的立方根也互為相反數(shù).(5) () 如果一個(gè)數(shù)的立方根是它本身,則或.如果一個(gè)數(shù)的平方根是它本身,則,則,所以或1.（6）（）. ,它的平方根為.【例3】 若<0,則_.【解答】<0,.【例4】 求下列各數(shù)的立方根（1）0.216 （2） （3）【分析】運(yùn)用立方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的立方根是常用的方法,求帶分?jǐn)?shù)的立方根,要先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù).用這個(gè)性質(zhì)有,但對于平方根來說不能適用,因?yàn)閺?fù)數(shù)沒有平方根.【解答】（1） 的立方根是0.6,即. （2）,而 的立方根是,即. （3） 的立方根是,即; 的立方根是,即.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1. 判斷（1）的立方根是和 （ ）（2）的的立方根是沒有意義的 （ ）（3）的立方根是 （ ）（4）的立方根是4 （ ） （5）是的立方根 （ ）2.下列說法正確的是（ ）（A）一個(gè)數(shù)的立方根有兩個(gè),且它們互為相反數(shù)（B）任何一個(gè)數(shù)必有立方根和平方根（C）一個(gè)數(shù)的立方根必與這個(gè)數(shù)同號（D）負(fù)數(shù)沒有立方根3. 求下列各數(shù)的立方根：4.求下列各式的值：5.計(jì)算：【能力提高】1.設(shè),則的立方根= .2.若求的值.3.已知是的算術(shù)平方根, 是的立方根, 求的立方根.4.解方程：5.立方根有如下性質(zhì)：(1)計(jì)算：的值.(2)設(shè)用含的代數(shù)式表示.第2講 數(shù)的開方（3）次方根【知識(shí)要點(diǎn)】1.次方根如果一個(gè)數(shù)的次方(是大于1的整數(shù))等于,那么這個(gè)數(shù)叫做的次方根,也可敘述為“如果(是大于1的整數(shù)),那么就叫做的次方根”,記作.平方根和立方根是次方根的特例.2.開次方求一個(gè)數(shù)的次方根的運(yùn)算叫做開次方,叫做被開方數(shù), 叫做根指數(shù).次方根簡稱為“方根”;開次方簡稱“開方”.3.次方根的性質(zhì)由于次方根包含平方根和立方根在內(nèi),而平方根和立方根有不同的性質(zhì),這使得研究次方根的性質(zhì)時(shí),必然要把指數(shù)按奇數(shù)或偶數(shù)分別進(jìn)行研究.與立方根類比：實(shí)數(shù)的奇次方根有且只有一個(gè),用“”表示,其中被開方數(shù)是任意一個(gè)實(shí)數(shù),根指數(shù)是大于1的奇數(shù).與平方根類比：正數(shù)的偶次方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù),正次根用“”表示,讀作“次根號”,負(fù)次根用“”表示,其中被開方數(shù),根指數(shù)是正偶數(shù)（當(dāng)時(shí),在中省略）,負(fù)數(shù)的偶次方根不存在.因?yàn)榱愕拇畏降扔诹?所以零的次方根等于零,表示為方法與技能：研究次方根,必須用分類思想把指數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)來考慮,學(xué)習(xí)奇次根式時(shí)與立方根類比,學(xué)習(xí)偶次根式時(shí)與平方根類比,這種類比方法是數(shù)學(xué)思維重要方法之一.綜上,無論為奇數(shù)還是偶數(shù),對于正數(shù)的正次方根都記作,稱為正數(shù)的次算術(shù)根.（的次算術(shù)根為零）正數(shù)的次算術(shù)根,有下列重要性質(zhì)：（為大于或等于2的整數(shù)）即根指數(shù)與被開方數(shù)的指數(shù)如果有公因數(shù)則可以約去,這一公式可以順用,即將化為反過來,也可以將化為.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解次方根的概念;2.理解開次方與次乘方互為逆運(yùn)算的關(guān)系;【典型例題】【例1】 求值：（1）32的五次方根 （2）-32的五次方根 （3）16的四次方根 （4）64的六次方根 （4）0.000064的六次方根 （6）的五次方根 【分析】 運(yùn)用乘方運(yùn)算求方根的值是常用的方法,對于正數(shù)的偶次方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù)要充分理解,求次方根的值必須考慮指數(shù)的奇、偶性,增強(qiáng)分類的意識(shí),學(xué)會(huì)正確的語言表述是很重要的,給書寫也帶來簡便.【解答】 （1） 32的五次方根 （2）-32的五次方根（3） 16的四次方根（4）64的六次方根 （5） 0.000064的六次方根 （6）的五次方根【例2】 選擇題：1.下列語句中,正確的是（ ）（A）正數(shù)的次方根記作 （B）如果是偶數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)是非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí),則有意義（C）零的次方根無意義（D）任何實(shí)數(shù)都能開方2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能開偶次方根的條件是（ ）（A）為任意實(shí)數(shù) （B） （C） （D）【分析】理解立方根和開立方的概念【解答】1.（B）當(dāng)是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根記作“”, 當(dāng)是偶數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根記作“”,故（A）錯(cuò).當(dāng)為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí),有偶次方根,所以（是偶數(shù)）有意義,故（B）對.零的次方為零,故（C）錯(cuò).負(fù)數(shù)沒有偶次方根,任何實(shí)數(shù)不一定都能開方,故（D）錯(cuò).2.（C）由被開方數(shù)解得,故選（C）.【例3】求適合下列等式中的.（1） （2）【分析】理解開次方與次乘方互為逆運(yùn)算的關(guān)系【解答】（1）是的立方根,因?yàn)?所以是的立方根,因此 ,即.（2）由已知可知,是的四次方根,由于,所以是的四次方根,因此,即.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1.的五次方根是（ ）2.81的四次方根是 （ ） 3. 的四次方根是（ ）4. 的五次方根是（ ）5.如果,那么6.下列式子中,正確的是7.用符號表示下列各方根,并求出各方根的值.(1) 的三次方的三次方根（2）的六次方根（3）8平方的六次方根8.計(jì)算：【能力提高】1.下列各式不正確的是2. 3.計(jì)算：4.已知是自然數(shù), 是實(shí)數(shù)且成立.試討論及的取值范圍.第3講 實(shí)數(shù)的運(yùn)算（1）用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)1 用數(shù)軸上的點(diǎn)表示無理數(shù)方法一：用畫圖的方法找到數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示它.例如：邊長為的正方形,對角線長為（這在學(xué)習(xí)了直角三角形中勾股定理后很容易知道,現(xiàn)在暫不作介紹）,我們可以在數(shù)軸上以一個(gè)單位長為邊長作一個(gè) 正方形,以原點(diǎn)為圓心,正方形對角線為半徑作弧,與數(shù)軸正 半軸交于點(diǎn)就表示無理數(shù),與數(shù)軸負(fù)半軸交于點(diǎn)就表示 圖1無理數(shù).方法二：用無限不循環(huán)小數(shù)點(diǎn)的近似值來確定這個(gè)點(diǎn)的位置.例如：可以精確到百分位的近似數(shù)來確定數(shù)軸上表示這個(gè)點(diǎn)的位置. 知識(shí)點(diǎn)2 數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)成一一對應(yīng)每一個(gè)有理數(shù)和無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示,反過來數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都可以用一個(gè)有理數(shù)或無理數(shù)表示.為有理數(shù)和無聊隸屬統(tǒng)稱為實(shí)數(shù),因此,全體實(shí)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)布滿了整個(gè)數(shù)軸,數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)成一一對應(yīng).知識(shí)點(diǎn)3 實(shí)數(shù)的相反數(shù)和絕對值一個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,叫做這個(gè)數(shù)的絕對值,實(shí)數(shù)的絕對值記作 , 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)絕對值相等,符號相反的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù),零的相反數(shù)是零,非零實(shí)數(shù)的相反數(shù)是.知識(shí)點(diǎn)4 兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小,其大小順序的規(guī)定同有理數(shù)一樣,負(fù)數(shù)小于零,零小于正數(shù),兩個(gè)正數(shù),絕對值大的數(shù)較大;兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對值大的反而小,從數(shù)軸上看,右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)索表示的數(shù)大.知識(shí)點(diǎn)5 同一數(shù)軸上,兩點(diǎn)間的距離在數(shù)軸上,如果點(diǎn)、點(diǎn)索對應(yīng)的數(shù)分別是,那么兩點(diǎn)的距離.方法與技能：當(dāng)有理數(shù)系擴(kuò)展到實(shí)數(shù)后,有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)、大小比較法則都自然延伸到實(shí)數(shù)系.有關(guān)概念、性質(zhì)仍然正確,特別是數(shù)形結(jié)合思想仍然是研究的重要方法.了解了數(shù)學(xué)系擴(kuò)大的原則,大大的提高了學(xué)習(xí)的效率.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù);2.理解在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)絕對值、相反數(shù)的概念,會(huì)比較實(shí)數(shù)的大小;【典型例題】【例1】寫出下列各數(shù)的相反數(shù)與絕對值：,【分析】與有理數(shù)一樣,實(shí)數(shù)的相反數(shù)是;實(shí)數(shù)的絕對值的為或.【解答】 的相反數(shù)是,絕對值是;的相反數(shù)是,絕對值是;的相反數(shù)是,絕對值是;的相反數(shù)是,絕對值是;的相反數(shù)是,絕對值是;的相反數(shù)是,絕對值是【例2】比較與的大小.【分析】 可以先將無理數(shù)用近似的有限小數(shù)表示,轉(zhuǎn)化為有理數(shù)后再進(jìn)行比較.【解答】 【例3】 如圖2,在數(shù)軸上,如果點(diǎn)、點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)分別為和,求 兩點(diǎn)間的距離. 圖2【解答】 【注】 也可以這樣計(jì)算：【例4】 已知在數(shù)軸上的位置如圖3所示,則的值等于（ ）（A） （B）（C） （D） 圖 3【解答】 如圖12-5所示,知.原式.選（C）.【例5】 當(dāng)是,（ ）（A） （B） （C） （D）【解答】 原式,選（B）.【例6】 當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí),的值是（ ）（A） （B） （C） （D）【解答】 .當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的值最大,為,此時(shí),選（D）.【分析】 由于二次根式表示的算術(shù)平方根,隱含條件是,結(jié)合不等式的性質(zhì),獲得如上.對于的幾何意義是表示數(shù)軸兩點(diǎn)間的距離,也是數(shù)形結(jié)合重要知識(shí)點(diǎn),首先,其次與實(shí)數(shù)絕對值概念結(jié)合,當(dāng)時(shí),.這是有廣泛應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn).【例7】 如果,求的取值范圍.【解答】 ,表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離;表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離,從圖4上觀察, 圖4當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)到點(diǎn)之間時(shí),恒有 .【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1.無理數(shù)可以用（ ）點(diǎn)來表示.2.數(shù)軸上的點(diǎn)都表示（ ）數(shù).3.在數(shù)軸上表示的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離是（ ）.4的相反數(shù)、絕對值依次是（ ）、（ ）.5.在數(shù)軸上分別標(biāo)出所對應(yīng)的點(diǎn)的大致位置.6.設(shè)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)是,在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)是,那么、兩點(diǎn)間的距離是 （ ） 7.比較下列各組數(shù)的大小.【能力提高】1.如果試化簡:2.由,試在與之間求一個(gè)無理數(shù);在與之間求兩個(gè)無理數(shù).3.已知為實(shí)數(shù),化簡:4.一個(gè)正實(shí)數(shù)的兩個(gè)4次方根分別為與,求與這個(gè)正實(shí)數(shù).第3講 實(shí)數(shù)的運(yùn)算（2）實(shí)數(shù)的運(yùn)算【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)1 算術(shù)平方根的積和商注意：公式都是雙向的,既可從左到右,也可從右到左,這里的都是算術(shù)平方根,非算數(shù)平方根,公式不一定成立.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),成立.如,就不能直接應(yīng)用,應(yīng)將化為再進(jìn)行.另一方面,對于上節(jié)已提到的算術(shù)根的基本性質(zhì),更要仔細(xì)對待.對于,如下的應(yīng)用十分頻繁：(根號內(nèi)的數(shù)可以移到根號外;反過來,也可把根號外的數(shù)移到根號內(nèi)),這里要特別注意的正負(fù),如則知識(shí)點(diǎn)2 近似數(shù)的精確度近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度即近似程度,近似的程度的要求叫做精確度.近似數(shù)的精確度有以下兩種表達(dá)方式：一種是精確到哪一個(gè)數(shù)位,例如精確到千分位（即保留3位小數(shù)）,那么準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的誤差不大于0.0005（即萬分之五）,這是因?yàn)榻茢?shù)是經(jīng)過四舍五入截取得到的.另一種是指定保留幾個(gè)有效數(shù)字.對于一個(gè)近似數(shù),從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起,往右到末尾數(shù)字為止的所有數(shù)字,叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字.如果保留五個(gè)有效數(shù)字,的近似值為3.1416.那么的準(zhǔn)確值在3.14155與3.14165之間,絕對誤差為0.00005.如用代表圓周率的準(zhǔn)確值,則利用無理數(shù)的近似數(shù)作計(jì)算時(shí),中間過程中,應(yīng)比最后要求精確度多保留一位數(shù)字,到最后再按四舍五入法,按最后要求取近似值.知識(shí)點(diǎn)1和2都是難點(diǎn),應(yīng)結(jié)合典例剖析仔細(xì)理解.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握實(shí)數(shù)的加減乘除運(yùn)算;2.會(huì)運(yùn)用算術(shù)平方根的積和商進(jìn)行計(jì)算,理解近似數(shù)的精確度.【典型例題】【例1】不用計(jì)算器,計(jì)算：【分析】掌握實(shí)數(shù)的加減乘除運(yùn)算,通過合并同類項(xiàng)以及算術(shù)平方根的積和商來計(jì)算.【例2】已知化簡：（使分母不含根號）.【分析】運(yùn)用算數(shù)平方根的積和商來計(jì)算【解答】 【例3】化簡,再用計(jì)算器求值,要求保留兩位小數(shù).【分析】運(yùn)用算數(shù)平方根的商運(yùn)算【例4】計(jì)算： 【解答】,【例5】 當(dāng)時(shí),化成分母不含根式的式子.【解答】 【例6】化簡的結(jié)果是 （ ） 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1計(jì)算的結(jié)果是（ ） （A） （B） （C） （C） 2下列式子中,正確的是（ ） （A） （B） （B） （D） 3下列各式中,正確的是（ ） （A） （B） （C） （D） 4要使有意義,則的取值范圍是（ ） （A） （B） （C）且 （D）且 5把跟號外的因式移到根號內(nèi),得（ ） （A） （B） （C） （D）填空題：6. 如果,那么,.7如果,則.8計(jì)算. 9計(jì)算. 10若,則. 【能力提高】1已知為實(shí)數(shù),求的值.2已知,求（1）（2）3計(jì)算.4已知等式求的值5已知且,試求的值.第4講 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)1 （1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念.把指數(shù)的取值范圍擴(kuò)大到分?jǐn)?shù),我們規(guī)定：其中為正整數(shù), .在這規(guī)定中的與叫做分?jǐn)?shù)指數(shù)冪, 是底數(shù).(2)有理數(shù)指數(shù)冪概念整數(shù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)稱為有理數(shù)指數(shù)冪.知識(shí)點(diǎn)2 運(yùn)用有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)計(jì)算（1） 有理數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)： 設(shè)為有理數(shù),那么（2） 利用冪的性質(zhì)計(jì)算.冪的指數(shù)取值范圍擴(kuò)大到有理數(shù)后,冪的運(yùn)算性質(zhì)仍舊適用.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念以及會(huì)運(yùn)用指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算;2.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與表示方式以及它與算術(shù)根的內(nèi)在聯(lián)系.【典型例題】【例1】 把下列方根轉(zhuǎn)化為冪的形式,冪的形式轉(zhuǎn)化為方根形式.【分析】分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與方根互化時(shí),方根的根指數(shù)作為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母,被開方數(shù)的指數(shù)作為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子.【解答】【例2】 計(jì)算：（結(jié)果用冪的形式表示）【分析】運(yùn)用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算 【解答】 【例3】 利用冪的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算： 【分析】利用方根形式轉(zhuǎn)化為冪的形式,通過冪的性質(zhì)來解決.【解答】【例4】 化簡： 【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化簡求值.【解答】 【例5】已知說明成立.【分析】 引用輔助字母,利用冪的運(yùn)算性質(zhì)找出的關(guān)系. 【解答】設(shè)當(dāng)時(shí),等式顯然成立.若則所以因?yàn)?所以兩邊同乘以得 所以【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1.把寫成冪的形式 .2.把寫成方根的形式 .3.下列各式中錯(cuò)誤的是 （ ）4.設(shè)則可化為5.如果則 （ ）6. = .7.計(jì)算 .8.計(jì)算：9.計(jì)算：10.計(jì)算：【能力提高】1. 2.3.計(jì)算：4.化簡：5.解答題：已知求的值.實(shí)數(shù)章節(jié)測試（全卷共三個(gè)大題,滿分150分,考試時(shí)間90分鐘）一、選擇題（本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分）1.下列說法正確的是 （ ）A無限小數(shù)是無理數(shù) B.帶根號的數(shù)都是無理數(shù)C無理數(shù)是無限小數(shù) D.無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)2.27的立方根與的平方根之和為 （ ） A.0 B.6 C.0或-6 D.0或63.下列式子中,正確的是 （ ） A B. C. D. 4.有下列說法：有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng);不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù);負(fù)數(shù)沒有立方根;無理數(shù)包括正無理數(shù)、負(fù)無理數(shù)和零.其中正確的有 （ ） A0個(gè) B.1個(gè) C. 2個(gè) D.3個(gè)5.若式子有意義,則得取值范圍是 （ ） A B. C. D.以上都不對6.下列說法正確的有 （ ） 一個(gè)數(shù)的立方根的相反數(shù)等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)的立方根;64的平方根是8,立方根是4;表示的平方根,表示的立方根;一定是負(fù)數(shù) A. B. C. D. 二、填空題（本大題12個(gè)小題,每小題4分,共48分）7. 的算術(shù)平方根是 ,的平方根是 . = 8. 比較大?。?1.7 ; ; 29. 若,則 ;若,則 ;若, ;10. 的相反數(shù)是 , 絕對值等于的數(shù)是 11. 若, 則 ;,且,則 .12. 如果正方體的體積擴(kuò)大為原來的27倍,則邊長擴(kuò)大為原來的 倍;若體積擴(kuò)大為原來的2n倍,則邊長擴(kuò)大為原來的 倍.13. 如果,都是有理數(shù),且,則= ,= 14. 已知,則 15. 若,則化簡的結(jié)果是 16.若,都是無理數(shù),且,則,的值可以是 .（填一組）17若n為自然數(shù),那么 18在兩個(gè)連續(xù)整數(shù)和之間,那么,的值分別是 三、解答題（本大題7個(gè)小題,共78分）19.將下列各數(shù)的序號填在相應(yīng)的集合里.（10分） ,3.1415926,0.456,3.030030003（每相鄰兩個(gè)3之間0的個(gè)數(shù)逐漸多1）,0,有理數(shù)集合： ;無理數(shù)集合： ;正實(shí)數(shù)集合： ;整數(shù)集合： ;20.計(jì)算（10分） （ 精確到0.01） 21.（10分）已知的平方根是,的算術(shù)平方根是4,求的平方根. 22.（10分）已知,為實(shí)數(shù),且滿足,則的值是多少？23.（12分）已知,滿足,求的平方根.24.（12分）閱讀下面的文字,解答問題.大家知道是無理數(shù),而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來,于是小明用來表示的小數(shù)部分,你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上,小明的表示方法是有道理,因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1,將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分,差就是小數(shù)部分.請解答：已知：,其中是整數(shù),且,求的相反數(shù). 25.（14分）觀察下列各式：請寫下你猜想的規(guī)律,用自然數(shù)的代數(shù)式表示,并證明你的猜想. 第14章 三角形第一講 三角形的有關(guān)概念與性質(zhì)【知識(shí)要點(diǎn)】1三角形的概念：由不在同一直線上的三點(diǎn)順次聯(lián)結(jié)所組成的圖形叫做三角形。由三角形的概念可知，三角形三邊有以下關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊。2. 三角形的三邊與三內(nèi)角是三角形的六要素。3. 三角形的特殊線段：三角形的高、中線、角平分線。（1） 三角形的三條高的交點(diǎn)在銳角三角形內(nèi)、在直角三角形直角頂點(diǎn)、在鈍角三角形外；（2） 三角形的三條中線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)；（3）三角形的三條角平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)。4. 三角形的分類（1） 按角分（2）按邊分【注意】 在做三角形分類的題目時(shí)，要注意重合的部分，比如等邊三角形也屬于等腰三角形和銳角三角形。5. 三角形的內(nèi)角和等于180.【注意】（1） 直角三角形兩銳角互余。 （2） n邊形內(nèi)角和等于（n2）180.6.三角形的外角：三角形內(nèi)角的鄰補(bǔ)角。由5和6我們可以推出:三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。進(jìn)而可知，三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。7. 三角形的外角和等于360.【注意】n邊形的外角和都等于360.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 理解三角形的概念，理解三角線的邊、角、高、中線、角平分線等有關(guān)概念以及三角形的分類；2 理解三角形的構(gòu)成條件，在解題中牢記要檢驗(yàn)兩邊之和是否大于第三邊；3熟練使用三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì)。【典型例題】1判定能否構(gòu)成三角形【例1】下列長度的三條線段中，不能組成三角形的是（ ）（A） 6cm，8cm，12cm（B）8cm，12cm，15cm（C） 4cm，8cm，12cm（D）【分析】利用“三角形兩邊之和大于第三邊”判定。小技巧：已知最大邊的情況下，只需用最大邊與其余兩邊之和比較?！窘獯稹浚–）. 較小兩邊之和4+812cm，最大邊12cm，不符合“兩邊之和大于第三邊”，所以選（C）?！纠?】若ABC的三邊長分別為整數(shù)，周長為11，有一邊長為4，則這個(gè)三角形的最大邊長為_.【分析】利用“三角形兩邊之和大于第三邊”得出最長邊可取值的范圍，然后取其中的最大值?！窘獯稹吭O(shè)最長邊長為x，則第三邊為114x，所以114x + 4 > x，x < 5.5;x為最長邊，所以x > 4且x > 114x，x > 4;所以4 < x < 5.5，整數(shù)x5.【例3】三角形的三邊長分別為a，b，c，那么代數(shù)式c2+2ab-b2-a2是（ ）（A） 小于零（B） 等于零（C） 大于零（D）與零的大小關(guān)系不能確定【分析】因式分解后，利用“三角形兩邊之和大于第三邊”判斷因式符號?！窘獯稹縞2+2ab-b2-a2c2-(a-b)2 = (c+a-b)(c+b-a)，因?yàn)閮蛇呏痛笥诘谌?，c+a-b>0, c+b-a>0, 所以原式>0，選C2內(nèi)角的計(jì)算【例1】如圖，已知120，225，A35，求BDC的度數(shù)?！痉治觥坷谩叭切蝺?nèi)角和等于180”計(jì)算?！窘獯稹?所以【例2】在不等邊三角形，它的最小內(nèi)角的取值范圍是_.【分析】利用內(nèi)角和定理，并注意到是最小內(nèi)角?！窘獯稹吭O(shè)三內(nèi)角為，且，則，且三角形內(nèi)角.所以.【點(diǎn)評】在討論取值范圍是不要忘了內(nèi)角大于零度，并且不要遺漏“”.【例3】ABC中，如果那么ABC是（ ）（A） 銳角三角形（B） 直角三角形（C） 鈍角三角形（D）等腰三角形【分析】用內(nèi)角和定理結(jié)合提干信息，得到每個(gè)內(nèi)角的取值范圍?！窘獯稹客砀鶕?jù)三角形的分類，三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形是銳角三角形，選（A）?！纠?】已知ABC中，, D、E為垂足， BD、CE交于點(diǎn)H，如圖，求的度數(shù)。【分析】用內(nèi)角和定理以及“直角三角形兩銳角互余”，加上一個(gè)量再減去這個(gè)量保持原數(shù)量不變。【解答】【點(diǎn)評】此題涉及了4個(gè)三角形的內(nèi)角和關(guān)系，處理這樣看似復(fù)雜的題目，只要理清關(guān)系就迎刃而解。3內(nèi)角與外角的聯(lián)系【例1】ABC中，的外角平分線交于點(diǎn)O，如果，求的度數(shù)。【分析】利用內(nèi)角和定理以及“三角形外角等于其不相鄰兩內(nèi)角的和”計(jì)算。【解答】.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1. 三條線段a，b，c如能組成三角形，那么它們的長度比可能是（ ）（A）1：2：4 （B）1：3：4 （C）3：4：7 （D）2：3：42. 已知三角形的三邊分別為1，x，5，且x為整數(shù)，求x.3. 對于ABC，下列命題中不正確的是（ ）（A） 如果，那么ABC是直角三角形（B） 如果，那么ABC是銳角三角形（C） 如果，那么ABC是鈍角三角形（D） 如果，那么ABC是直角三角形4. 已知ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足關(guān)系式，則此三角形（ ）（A） 一定有一內(nèi)角為45（B） 一定有一內(nèi)角為60（C） 一定是直角三角形（D） 一定是鈍角三角形5. 如果以4cm長的線段為底組成一個(gè)等腰三角形,腰長x應(yīng)在的范圍是( )（A）x>4cm （B）x>2cm （C）x4cm （D）x2cm6. 在ABC中,A=2B=75,則C等于( )（A）30 （B）6730 （C）105 （D）1357. 若三角形兩邊長分別為6cm和2cm,第三邊長為偶數(shù),則第三邊長為( )（A）2cm （B）4cm （C）6cm （D）8cm8. 一個(gè)三角形有_條角平分線,_條中線,_條高.9. 三角形兩邊分別為5cm和6cm,則第三邊c的范圍為_.10. 若等腰三角形兩邊長分別為3和4,則它的周長為_.11. 在ABC中,A=B=C,則A=_.12. 在ABC中, ,則B=_.13. 在ABC中,的平分線交于點(diǎn)O,則_.【能力提高】1. 已知a，b，c是三角形的三邊長，那么代數(shù)式的值是（ ）（A） 小于零 （B） 等于零 （C） 大于零 （D） 不能確定2. 已知ABC是等腰三角形（1） 如果AB8cm，BC16cm，求AC之長；（2） 如果AB8cm，BC12cm，求AC之長.3. 中，ABAC，AC邊上的中線BD，把分成兩個(gè)三角形，其周長之差為4cm，如果的周長為16cm，求此三角形三邊之長。4. 如圖,在ABC中,AF、CE、BD都是中線,且交于點(diǎn)H,在圖中找出ABH、AHC、BHC的三邊AB、AC、BC邊上的中線.5. 兩根木棒的長分別是7cm和10cm,要選擇第三根木棒,將它們釘成一個(gè)三角形,第三根木棒的長有什么限制?說明理由.6. 一個(gè)零件的形狀如圖,按規(guī)定A應(yīng)等于90,B與C應(yīng)分別是32和21,檢驗(yàn)工人量得BDC=148,就判斷這個(gè)零件不合格,試用三角形有關(guān)知識(shí)說明理由.7. 如圖,在ABC中,A:ABC:ACB=3:4:5,BD、CE分別是邊AC、AB上的高,并相交于H,求BHC的度數(shù).第二講 全等三角形【知識(shí)要點(diǎn)】1全等三角形的概念：經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)能夠重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形?！咀⒁狻炕ハ嘀睾系捻旤c(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)；互相重合的邊叫做對應(yīng)邊；互相重合的角叫做對應(yīng)角。2. 兩個(gè)全等三角形的表示：ABCDEF【注意】把對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上。3. 全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。4. 全等三角形的判定（1） 兩邊夾一角對應(yīng)相等：S.A.S；（2） 兩角夾一邊對應(yīng)相等：A.S.A；（3） 兩角一對邊對應(yīng)相等：A.A.S；（4） 三邊對應(yīng)相等：S.S.S；【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解全等形的概念；2. 理解全等三角形的性質(zhì)；3. 熟練使用全等三角形的4條判定法則，并利用全等三角形的性質(zhì)證明邊或者角的關(guān)系?！镜湫屠}】1全等三角形的性質(zhì)【例1】如圖，AB=AD, AC=AE, 如果ABEACD全等，BAD90,BE=10,CAE_,CD=_.【分析】利用全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等?！窘獯稹緼BEACD，則BADCAE90,.2全等三角形的判定【例1】如圖，已知 , 求證：【分析】只要證明ABDACE，就可證明。已知,，如果能再找出一對角相等就可判定全等。由已知，則，即【解答】【點(diǎn)評】從已知條件中獲取足夠信息證明兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而證明對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等，是重點(diǎn)考察的內(nèi)容。而利用角和邊的等量加減等量其和差相等，也是常用技巧?！纠?】如圖，A在OC上, B在OD上, OA=OB, OC=OD, BC與AD相交于T，求證：OT平分.【分析】只要證明，就是OT平分, 可尋求證明, 為此要證CT=DT，這樣又要證，那么可從判定入手?！窘獯稹俊军c(diǎn)評】證明全等三角形并利用其性質(zhì)和其他信息證明另一對三角形全等，是一個(gè)難點(diǎn)，只要我們耐心就可以解決?！纠?】 水管沿公路直線鋪設(shè)，A、B是公路同側(cè)的兩個(gè)居民點(diǎn)，為了給這兩點(diǎn)供水需在總水管上選一點(diǎn)P，使自P到A、B所鋪設(shè)水管的總長最短，問P應(yīng)設(shè)在總水管上哪一點(diǎn)？【分析】自點(diǎn)A向總水管所在直線l引垂線，垂足為D，延長AD到A, 使AD=AD，這樣l就是AA的中垂線，聯(lián)結(jié)AB交l于P，點(diǎn)P即為所求點(diǎn)?！窘獯稹吭趌上取異于點(diǎn)P的點(diǎn)P1，則AP1=AP1(中垂線定理）【點(diǎn)評】這個(gè)取對稱點(diǎn)利用中垂線定理的解法叫做“軸對稱變換法”，是解決此類問題的典型解法，需要體會(huì)掌握?！净A(chǔ)訓(xùn)練】1. 如圖AB=AC, AD=AE, CD與BE交于點(diǎn)F，則ABEACD;BDFCEF;F在A的平分線上.以上結(jié)論正確的是（A）只有 （B）只有 （C）只有 （D）2. 下列命題中正確的是（ ）（A）全等三角形的高相等 （B）全等三角形的中線相等（C）全等三角形的角平分線相等 （D）全等三角形對應(yīng)角的平分線相等3. ABC是不等邊三角形, DE=BC,以 D、E為兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的三角形，使所作的三角形與ABC全等，這樣的三角形最多可以畫出（A）2個(gè) （B）4個(gè) （C）6個(gè) （D）8個(gè)4. 兩三角形有以下元素對應(yīng)相等，不能判定全等的是（ ）（A）兩角和一邊 （B）兩邊及夾角 （C）三個(gè)角 （D）三條邊5. 如果兩個(gè)三角形兩邊對應(yīng)相等，且其中一邊所對的角也相等，那么這兩個(gè)三角形（ ）（A）一定全等 （B）一定不全等 （C）不一定全等 （D）面積相等6. 如果兩個(gè)三角形中兩條邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的第三條邊所對的角的關(guān)系是（ ）（A）相等 （B）不相等 （C）互余或相等 （D） 互補(bǔ)或相等7. 如圖，求證：AB=DE,ABDE.8. 在ABC中，B=60，A和C的平分線相交于點(diǎn)O，求證：AE+CD=AC.【能力提高】1. 在ABC中，AB>BC>CA, 那么在C60,B<60,A=60中正確的是（ ）（A） （B） （C） （D）2. 如圖，已知AB=DE，直線AE、BD相交于C，B與C互補(bǔ)，求證：AC=EC.3. 如圖,設(shè)ABC在邊AC、AB上的高分別為BE、CF，在BE上截取BP=AC，在直線CF上截取CQ=AB，求證：AP=AQ, APAQ.4. ABC為等腰直角三角形，A=90，D為BC的中點(diǎn)，P是線段BD上任意一點(diǎn)，PEAB，PFAC, E、F是垂足，求證：DE=DF，且DEDF.5. 如圖和均為等邊三角形，求證：DC=BE。6. 如圖ABC90ABBC，D為AC上一點(diǎn)分別過A.C作BD的垂線，垂足分別為E.F,求證：EFCFAE.7. 如圖，ABC中，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn) AD平分BAC， DEAB，DFAC， ADEF以此三個(gè)中的兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論，可構(gòu)成三個(gè)命題，即： ， ， （1）試判斷上述三個(gè)命題是否正確（直接作答）；（2）請證明你認(rèn)為正確的命題8. 如圖，已知為等邊三角形