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1,一、Sturm – Liouville 型方程,它與一定的線性齊次邊界條件或周期性條件 或自然邊界條件可以構(gòu)成本征值問題，稱為 S-L型本征值問題。,2,二、幾種常見的S-L型本征值問題,3,①,4,②,5,2、Bessel方程的本征值問題,6,3、Legendre 方程的本征值問題,7,這個(gè)本征值問題來自量子力學(xué)中的諧振子問題,4、Hermite 方程的本征值問題,8,這個(gè)本征值問題來自量子力學(xué)中的氫原子問題,5、Laguerre 方程的本征值問題,9,三、正交函數(shù)系,如果函數(shù)是復(fù)函數(shù)，則寫為,2、歸一化定義：,由正交定義，對(duì)一本征函數(shù)系,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,10,稱為歸一化因子。,則有,稱 為正交歸一函數(shù)系,11,3、完備性條件,4、完備性定義：在相應(yīng)敬意上滿足狄里赫利條件 的任意函數(shù) 可以用正交完備函數(shù)系展開成 傅里葉級(jí)數(shù)，即：,可用正交歸一條件求得，即,12,狄里赫利條件： 在 上只有有限個(gè)第一類間 斷點(diǎn)，且只有有限個(gè)極值點(diǎn)。,四、S—L型本征值問題的性質(zhì),13,2、性質(zhì),① 結(jié)論1：所有本征值都是實(shí)數(shù)，且非負(fù)，即,14,③ 結(jié)論3：對(duì)應(yīng)于不同本征值的本征函數(shù) ， 在區(qū)間 上帶權(quán)函數(shù) 正交，即：,展開為絕對(duì)且一致收斂，即：,廣義傅里葉級(jí)數(shù)。,③ 結(jié)論4：本征函數(shù)系在區(qū)間 構(gòu)成一個(gè)完備 系，即任意一個(gè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ， 只要它滿足本征值問題中的邊界條件，均可以用,15,16,17,,,18,,,19,,,