-1 -第 二 章 解 三 角 形-2 - 1 正 弦 定 理 與 余 弦 定 理-3 -1.1 正 弦 定 理-4 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航1.能夠利用向量的方法證明正弦定理,并運用正弦定理解決兩類解三角形的基本問題.2.會求三角形的面積和外接圓的半徑.3.會利用正弦定理解決實際問題.-5 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航1.正 弦 定 理在 一 個 三 角 形 中 ,各 邊 和 它 所 對 角 的 正 弦 的 比 相 等 ,即 在 ABC中(1)正 弦 定 理 的 變 形 :-6 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航(2)正 弦 定 理 中 的 比 值 大 小 .設 ABC的 外 接 圓 的 半 徑 為 R,則 有-7 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航【 做 一 做 1-1】 有 下 列 有 關 正 弦 定 理 的 敘 述 : 正 弦 定 理 只 適 用 于 銳 角 三 角 形 ; 正 弦 定 理 不 適 用 于 鈍 角 三 角 形 ; 在 某 一 確 定 的 三 角 形 中 ,各 邊 與 它 的 對 角 的 正 弦 的 比 是 定 值 ; 在 ABC中 ,sin A sin B sin C=a b c.其 中 正 確 的 個 數 是 ( ).A.1 B.2 C.3 D.4解 析 :正弦定理適用于任意三角形,故 均不正確;由正弦定理可知,三角形一旦確定,則各邊與其所對角的正弦的比就確定了,故正確;由比例性質和正弦定理可推知正確.故選B.答 案 :B-8 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航答 案 :60 -9 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航2.三 角 形 的 常 用 面 積 公 式 【 做 一 做 2】 在 ABC中 ,若 a=10,b=8,C=30 ,則 ABC的 面 積S= .答 案 :20 -1 0 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航3.解 三 角 形一 般 地 ,把 三 角 形 的 三 個 角 和 它 們 的 對 邊 叫 作 三 角 形 的 元 素 .已知 三 角 形 的 幾 個 元 素 求 其 他 元 素 的 過 程 叫 作 解 三 角 形 .利 用 正 弦 定 理 可 以 解 兩 類 三 角 形 :(1)已 知 三 角 形 的 任 意 兩 個 角 與 一 邊 ,求 其 他 兩 邊 和 另 一 角 ;(2)已 知 三 角 形 的 兩 邊 與 其 中 一 邊 的 對 角 ,計 算 另 一 邊 的 對 角 ,進而 計 算 出 其 他 的 邊 和 角 .【 做 一 做 3-1】 在 ABC中 ,若 AB=3,B=75 ,C=60 ,則 BC= .-1 1 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航-1 2 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航題型一 題型二 題型三 題型四題 型 一 利 用 正 弦 定 理 解 三 角 形【 例 1】 在 ABC中 ,解 下 列 三 角 形 .(1)A=45 ,C=30 ,c=10;分 析 :(1)分清已知和所求,選擇一個與條件相吻合的正弦定理的式子進行求解;(2)已知兩邊及其中一邊的對角,由正弦定理先求出另一邊對角的正弦值,然后再求其他邊與角.-1 3 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航題型一 題型二 題型三 題型四-1 4 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航題型一 題型二 題型三 題型四反 思如果已知三角形的任意兩個角與一邊,由三角形的內角和定理,可以計算出三角形的另一角,再由正弦定理計算出三角形的另兩邊.已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形時,可先判斷解的情況.若有解,再求出另一邊的對角的正弦值,然后根據該正弦值求角,還需對角的情況加以討論,如果有解,是一解還是兩解,再由三角形的內角和定理求出第三個角,然后利用正弦定理求出第三邊.-1 5 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航題型一 題型二 題型三 題型四【 變 式 訓 練 1】 (1)在 ABC中 ,B=30 ,C=45 ,c=1,求 b的 邊 長及 三 角 形 外 接 圓 的 半 徑 .-1 6 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航題型一 題型二 題型三 題型四題 型 二 判 斷 三 角 形 的 形 狀 分 析 :三角形的形狀通常由三角形內角的關系確定,也可以由三角形三邊的關系確定.本題可考慮把邊化成角,尋找三角形角與角之間的關系,然后予以判定.-1 7 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航題型一 題型二 題型三 題型四反 思根據已知條件,通過恰當地恒等變形得出邊之間的關系或角之間的關系,從而判斷出三角形的形狀.-1 8 -1.1 正 弦 定 理 ZHISHISHULI知 識 梳 理 SUITANGYANLIAN隨 堂 演 練DIANLITOUXI典 例 透 析目 標 導 航題型一 題型二 題型三 題型四【 變 式 訓 練 2】 設 ABC的 內 角 A,B,C所 對 的 邊 分 別 為 a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則 ABC的 形 狀 為 ( ).A.直 角 三 角 形 B.銳 角 三 角 形C.鈍 角 三 角 形 D.不 確 定解 析 :由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A, sin(B+C)=sin2A, sin A=sin2A. 0Aa可得A為銳角,由正弦定理求出sin A,從而求出A,再由內角和定理求出B,最后用正弦定理求得b.