2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十 立體幾何（含解析）抓住3個(gè)高考重點(diǎn)重點(diǎn)1 三視圖與空間幾何體的表面積和體積1.三視圖的畫法三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線，畫幾何體的三視圖的要求是正視圖、俯視圖長對正，正視圖、側(cè)視圖高平齊，俯視圖、側(cè)視圖寬相等畫出的三視圖要檢驗(yàn)是否符合“長對正、高平齊、寬相等”的基本特征，對于簡單幾何體的組合體，首先要弄清它是由哪些簡單幾何體組成的，再畫出它的三視圖2.由三視圖還原直觀圖的方法（1）還原后的幾何體一般為較熟悉的柱、錐、臺(tái)、球的組合體（2）圖中實(shí)線和虛線實(shí)際是原幾何體中的可視線與被遮擋線（3）想象物體原形，畫出草圖后進(jìn)行三視圖還原，并與所給三視圖比較，再準(zhǔn)確畫出原幾何體3幾何體表面積的求解方法4.幾何體體積的求解方法高考?？冀嵌冉嵌? 在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()解析：由幾何體的正視圖和俯視圖可知，該幾何體應(yīng)為一個(gè)半圓錐和一個(gè)有一側(cè)面(與半圓錐的軸截面為同一三角形)垂直于底面的三棱錐的組合體，故其側(cè)視圖應(yīng)為D.角度2若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()解析：所給選項(xiàng)中，A、C選項(xiàng)的正視圖、俯視圖不符合，D選項(xiàng)的側(cè)視圖不符合，只有選項(xiàng)B符合角度3一個(gè)空間幾何體得三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( )A. B. C. D. 點(diǎn)評：考查三視圖的識(shí)別以及空間多面體表面積的求法.解析：三視圖可知幾何體是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底為2，下底為4，高為4，兩底面積和為，四個(gè)側(cè)面的面積為，所以幾何體的表面積為.故選C. 角度4一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：)則該幾何體的體積為_.解析：由三視圖可知該幾何體是組合體，下面是長方體，長、寬、高分別為3、2、1，上面是一個(gè)圓錐，底面圓半徑為1，高為3，所以該幾何體的體積為()答案 角度5已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的 ，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為 .點(diǎn)評：本題考查球內(nèi)接圓錐問題，屬于較難的題目。解析：作圖分析，由圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的得 所以，從而小圓錐的高為大圓錐的高為，所以比值為角度6如圖，四棱錐中，底面，點(diǎn)在線段上，且（）求證：平面；（）若，求四棱錐的體積點(diǎn)評：本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、抽象根據(jù)能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分12分。解析：因?yàn)榈酌?，平面，所以因?yàn)椋杂?，所以平面（）由（），在中，又因?yàn)椋瑒t，又，所以四邊形為矩形四邊形為梯形因?yàn)?，所以，重點(diǎn)2 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系1.證明直線與平面平行垂直的判定與證明4.面面垂直的判定與證明的常用方法2.證明面面平行的常用方法3.直線與平面5.合理選擇適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行證明，求解異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角、點(diǎn)到平面的距離.高考?？冀嵌冉嵌?已知，是空間中三條不同的直線，則下列命題正確的是（ ）A. ， B. ，C. ，共面 D. ，共點(diǎn)，共面解析：在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯(cuò)；兩平行線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯(cuò)；共點(diǎn)的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯(cuò)故選B角度2下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）A如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C如果平面平面，平面平面那么平面D如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面解析：對于D，若平面平面，則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面，甚至可能平行于平面，其余選項(xiàng)均是正確的 故選D角度3如圖，在四棱錐中，平面平面，分別是的中點(diǎn)求證：（1）直線平面；（2）平面平面.解析：（1）如圖，在PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EFPD.又因?yàn)槠矫鍼CD，PD平面PCD，所以直線EF平面PCD.（2）連接BD.因?yàn)锳BAD，BAD60，所以ABD為正三角形因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BFAD.因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD. 又因?yàn)锽F平面BEF，所以平面BEF平面PAD.角度4如圖，在中，是上的高，沿把折起，使.（1）證明：平面平面；（2）若，求三棱錐的表面積解析：（1）證明：折起前AD是BC邊上的高，當(dāng)ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD，AD平面BDC.AD平面ABD，平面ABD平面BDC.（2）由(1)知，DADB，DCDA，DBDADC1，DBDC， ABBCCA.從而SDABSDBCSDCA11， SABCsin60，三棱錐的表面積角度5如圖，在四面體中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)（）求證：DE平面BCP；（）求證：四邊形DEFG為矩形；（）是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由解析：（）證明：因?yàn)镈，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，所以DEPC.又因?yàn)槠矫鍮CP， 所以DE平面BCP.（）證明：因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)，所以DEPCFG，DGABEF.所以四邊形DEFG為平行四邊形又因?yàn)镻CAB，所以DEDG.所以四邊形DEFG為矩形（）存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)由（）知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG.分別取PC，AB的中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN.與（）同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且QMQNEG，所以Q為滿足條件的點(diǎn)重點(diǎn)3 空間角的求解1.角的范圍：異面直線所成的角的范圍是，直線與平面所成的角的范圍是，二面角的范圍是2.角的求解（1）異面直線所成的角：（綜合法）將異面直線平移到一個(gè)平面，通過解三角形求解；（向量法）若異面直線的方向向量分別為，設(shè)異面直線所成的角為，則（2）直線與平面所成的角：（綜合法）通過垂線找射影及角，再通過解三角形求解；（向量法）求出平面的法向量，直線的方向向量，設(shè)線面所成的角為，則.（3）二面角的大?。海ňC合法）通過線面關(guān)系找出二面角的平面角，再通過解三角形求解；（向量法）求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量，設(shè)二面角大小為，若為銳角，則.若為鈍角，則.高考?？冀嵌冉嵌?如圖，在長方體中，、分別是棱、上的點(diǎn)，,（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）證明平面（3）求二面角的正弦值。解析：本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，滿分12分。（綜合法）（1）設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=如圖，連結(jié)B1C，BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1DB1C，由,可知.故是異面直線與所成的角，易知,所以 ,所以異面直線與所成角的余弦值為（2）證明：連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N，因?yàn)?，所以，從而，又由?所以，故,又因?yàn)榍遥云矫?，從?連接，同理可證平面,從而,所以，因?yàn)?，所以平面?）連接，由（2）可知平面,又平面, 平面，所以, 故為二面角的平面角易知，所以， 又 所以，在，在中，連結(jié)，在， 所以所以二面角的正弦值為（向量法）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),依題意得,（1）解：易得,于是 所以異面直線與所成角的余弦值為（2）證明：已知, , 于是，因此，,又 所以平面（3）解：設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由,令，則， 由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量。于是，從而所以二面角的正弦值為.角度2如圖，四棱錐中，,，側(cè)面為等邊三角形，.（）證明：平面（）求與平面所成角的大小.（綜合法）解析：（）方法一：計(jì)算, 于是，利用勾股定理，可知 同理，可證 又因此，平面方法二：取的中點(diǎn)，連接，則四邊形為矩形，.連接，則.又，故，所以，即.由，得平面，所以. 又所以平面（）由平面知，平面ABCD平面SDE.作，垂足為，則平面ABCD，.作FGBC，垂足為G，則FGDC1.連接SG，則SGBC.又BCFG，SGFGG，故BC平面SFG，平面SBC平面SFG.作FHSG，H為垂足，則FH平面SBC.FH，即F到平面SBC的距離為.由于EDBC，所以ED平面SBC，E到平面SBC的距離d也為.設(shè)AB與平面SBC所成的角為，則sin.點(diǎn)評：求與平面所成角，如果要找出在平面上的射影，有點(diǎn)難。（向量法）解析：方法一：取中點(diǎn)為，連結(jié)，則故平面，平面平面，交線為過作，則平面，作交于建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以SD平面SAB. 又 ，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由，令則，所以與平面所成角為方法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系C-xyz,則，又設(shè)，則.（） 由得由得，又由得， 即，故。于是 故，又所以平面（）設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量，則又故 取得，又， 所以與平面所成角為突破3個(gè)高考難點(diǎn)難點(diǎn)1 探究與球有關(guān)的組合體問題與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接，解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑，球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心、“切點(diǎn)”或“接點(diǎn)”作出截面圖.典例1 四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_解析： 如圖所示，根據(jù)對稱性，只要在四棱錐的高線SE上找到一個(gè)點(diǎn)使得，則四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)就在同一個(gè)球面上在中，故設(shè)球的半徑為，則中，即點(diǎn)E即為球心，故這個(gè)球的體積典例2 如圖所示，在等腰梯形中，為的中點(diǎn)，將與分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱錐的外接球的體積解析：平面圖形中，所以折疊后得到一個(gè)正四面體方法一：如圖，作平面，垂足為三棱錐是正四面體， F即為DEC的中心，且外接球的球心在線段AF上取EC的中點(diǎn)G，連接DG、AG，過球心作OH上平面AEC，則垂足為AEC的外心 又AEC為等邊三角形， 點(diǎn)H在線段AG上，且外接球半徑可利用求得 故 外接球體積為方法二：如圖所示，把正四面體放在正方體中，顯然，正四面體的外接球就是正方體的外接球，正四面體的棱長為1，正方體的棱長為，故外接球直徑，所以外接球體積為難點(diǎn)2 平面圖形翻折問題的求解 將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起，使其成為空間圖形，這類問題稱之為平面圖形翻折問題平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生了變化，有的沒有發(fā)生變化，弄清它們是解決問題的關(guān)鍵，一般地，翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)可能會(huì)發(fā)生變化，解決這類問題就是要據(jù)此研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和幾何量的度量值，這是解決翻折問題的主要方法典例 如圖，在中，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn),現(xiàn)將沿翻折至使平面平面（1）當(dāng)棱錐的體積最大時(shí)，求的長；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)評：本題考查的空間里的翻折問題，考查空間思維能力，考查空間幾何體的體積計(jì)算、考查空間直線的位置關(guān)系的證明，考查函數(shù)與方程的思想、考查數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)等。解析：（1）設(shè)， 為等腰直角三角形， 令 ， 則的變化如下表：極大值由上表易知：當(dāng)時(shí)，有取最大值。（2）證明：如圖，取F為AB的中點(diǎn)，連接PF，F(xiàn)E.則有EFBC，PDBC，所以四邊形PDEF為平行四邊形所以DEPF.又APPB，所以PFAB.故DEAB.難點(diǎn)3 立體幾何中的探索問題立體幾何中的探索性問題的主要類型有：(1)探索條件，即探索能使結(jié)論成立的條件是什么；(2)探索結(jié)論，即在給定的條件下，命題的結(jié)論是什么 方法一 綜合法 方法二 空間向量法典例1如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面，垂足落在線段上已知（）證明：；（）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角為直二面角？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由解析：（綜合法）（）由AB =AC，D是BC的中點(diǎn)，得ADBC 由PO平面ABC，得POBC 因?yàn)?，所以BC平面PAD， 故BCPA ()如圖，在平面PAB內(nèi)作BMPA 與于M，連接CM 由（）知APBC，因?yàn)椋蔄P平面BMC又AP平面APC，所以平面BMC平面APC.在中，在中，在中，在中，又 ,從而綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，（向量法）（）證明：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以射線OP為z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則，由此可得，所以，即.（）假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)，設(shè)則，設(shè)平面BMC的法向量(x1，y1，z1)，平面APC的法向量(x2，y2，z2)由 得即可取(0,1，)由 即得可取(5,4，3)由，得430，解得，故.綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，.規(guī)避4個(gè)易失分點(diǎn)易失分點(diǎn)1 共面條件理解有誤典例 設(shè)分別是正方體的棱、的中點(diǎn)，試作出平面與正方體的截面易失分提示：本題易出現(xiàn)的問題是誤認(rèn)為即為所求截面解析：取的中點(diǎn)G，G的中點(diǎn)F，連接AG、NF，延長交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則五邊形即為所求截面，如圖所示 下面證五點(diǎn)共面， 易證 在ADG中，AN=ND，GF=FD，F(xiàn)N AG又，故與確定平面平面故五點(diǎn)共面易失分點(diǎn)2 異面直線所成的角理解錯(cuò)誤典例 已知在空間四邊形ABCD中，AB=CD =3，點(diǎn)E、F分別是邊BC和AD上的點(diǎn)，并且，求異面直線與所成角的大小易失分提示：對異面直線所成角的概念和范圍不熟悉，誤認(rèn)為依據(jù)題意作出的(點(diǎn)G為線段BD上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn))的大小就是所求異面直線與所成角的大小.解析：在BD上取靠近B的三等分點(diǎn)G，連接FG、GE，如圖所示 在中，同理，在中， 就是異面直線AB與CD所成的角或其補(bǔ)角在中，由在中，由在中，由，故因此異面直線與所成角的大小為易失分點(diǎn)3 空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系不清典例 已知是三個(gè)互不重合的平面，是一條直線，給出下列四個(gè)命題： 若，則； 若，則；若上有兩個(gè)點(diǎn)到的距離相等，則；若則 其中正確命題的序號(hào)是_（填上所有正確命題的序號(hào)）易失分提示： 解本題可能出現(xiàn)的問題就是對空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理掌握不清導(dǎo)致誤判如：命題中，可能對線面平行關(guān)系認(rèn)識(shí)不清，誤以為直線在平面內(nèi)也算平行，認(rèn)為命題正確；命題中，對點(diǎn)到平面的距離相等，考慮不到點(diǎn)可能在平面兩側(cè)，認(rèn)為命題正確 答案 解析： 中有的可能；，使得，故正確；中包含兩個(gè)點(diǎn)在平面兩側(cè)的情況；容易得，故正確易失分點(diǎn)4 線面位置關(guān)系定理使用不當(dāng)?shù)淅?如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，分別為、的中點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求證：平面平面.易失分提示：若不注意選取AC與BD的交點(diǎn)，難以找到本題的解題入口，對于（1），易出現(xiàn)表達(dá)上的漏洞，如得到與即下結(jié)論平面FGH平面BDE；對于（2），易缺少轉(zhuǎn)換考慮，直接證，從而不能順利得到結(jié)論解析：（1）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)，連接OE、OH，由得,為平行四邊形，平面，平面，平面分別為的中點(diǎn)，平面BDE，平面BDE，平面又，所以 平面平面（2）四邊形ABCD為正方形，, 又平面，又又 是的中點(diǎn)，平面，又平面，而因此 平面平面.