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壓桿受臨界力Fcr作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定平衡時，橫截面上的壓應力可按 ? = F/A 計算.,,一、臨界應力和柔度,歐拉公式臨界應力,按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面 上的應力為,i 為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑.,? 稱為壓桿的柔度（長細比），集中地反映了壓桿的長度l和桿端約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應力的影響. ? 越大，相應的 ?cr 越小，壓桿越容易失穩(wěn).,令,,令,則,則,若壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時的支承約束條件不同，應分別計算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時的柔度?，并按較大者計算壓桿的臨界應力 ?cr 。,二、 歐拉公式的應用范圍,只有在 ?cr ≤ ?p 的范圍內(nèi)，才可以用歐拉公式計算壓桿的臨界壓力 Fcr（臨界應力 ?cr ）.,即l ≥ ?p（大柔度壓桿或細長壓桿），為歐拉公式的適用范圍.,?p 的大小取決于壓桿材料的力學性能. 例如，對于Q235鋼， 可取 E=206GPa，?p=200MPa，得,三. 中、小柔度桿的臨界應力,式中：a 和 b是與材料有關的常數(shù)，可查表得出.,直線公式,或,令,,四、壓桿的分類及臨界應力總圖,1.壓桿的分類,（1）大柔度桿,（2）中柔度桿,（3）小柔度桿,2.臨界應力總圖,,例題1 壓桿截面如圖所示. 兩端為柱形鉸鏈約束，若繞 y 軸失 穩(wěn)可視為兩端固定，若繞 z 軸失穩(wěn)可視為兩端鉸支. 已知，桿長 l=1m ，材料的彈性模量E=200GPa，?p=200MPa. 求壓桿的臨界 應力.,解：,因為 ?z ?y ，所以壓桿繞 z 軸先失穩(wěn)，且 ?z =115 ?p，用歐拉公式計算臨界力.,,例題2 外徑 D = 50 mm，內(nèi)徑 d = 40 mm 的鋼管，兩端鉸支，材料為 Q235鋼，承受軸向壓力 F. 試求,（1）能用歐拉公式時壓桿的最小長度；,（2）當壓桿長度為上述最小長度的 3/4 時，壓桿的臨界應力.,已知： E = 200 GPa， ?p= 200 MPa ， ?s = 240 MPa ，用直 線公式時，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.,,解：（1）能用歐拉公式時壓桿的最小長度,壓桿 ? = 1,（2）當 l = 3/4 lmin 時，F(xiàn)cr=?,用直線公式計算,