第一章 隨機(jī)事件及其概率1 事件的關(guān)系與運(yùn)算必然事件：隨機(jī)試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的集合。不可能事件： 一般事件A：若A、B為兩事件 若，則其蘊(yùn)含：“A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生”。若，這表示A發(fā)生時，B必不發(fā)生，反之亦然。若 A-B=A，則AB=；若 AB=A，則；若ABA，則BA。若為n個事件，由它們的運(yùn)算可產(chǎn)生諸多新事件，如等等。例1 事件發(fā)生等于“至少有1個發(fā)生”。2常用概率公式（1），（2）若，則（3）；當(dāng)，則（4）（5）（6）若兩兩互不相容，則（7）若相互獨(dú)立，則例2 設(shè)則 3古典概型古典概型：當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為有限個且諸結(jié)果等可能發(fā)生時，任一事件A的概率為例3 從五個球（其中兩個白球、三個紅球）中任取兩球，設(shè)A：取到兩個白球；B：一白一紅球，求（1）無放回抽樣：（2）有放回抽樣：每次有放回的取一球，連取兩次注：若設(shè)X為兩次有放回取球中取到白球數(shù)，則，從而4條件概率（1）若，則，其中A為任一事件。（2）乘法公式： （其中）例4 箱中有兩白球、三紅球，表第次取到白球，則P（“前兩次取到白球”）P（“第一次取到白球，第二次取到紅球”）（3）全概率公式：設(shè)是一完備事件組（或的一個劃分），即：，（即諸互不相容）且，則對任一事件A有（4）Bayes公式 例5 某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100個為一批，在進(jìn)行抽樣檢查時，只從每批中抽取10個來檢查，如果發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品是不合格的，設(shè)每批產(chǎn)品中的次品最多不超過4個，并且恰有個次品的概率如下（1）求各批產(chǎn)品通過的概率；（2）求通過檢查的各批產(chǎn)品中恰有i個次品的概率。解：（1）設(shè)事件是恰有個次品的一批產(chǎn)品，則由題設(shè)設(shè)事件A是這批產(chǎn)品通過檢查，即抽樣檢查的10個產(chǎn)品都是合格品，則我們有由全概率公式，即得（2）由Bayes公式，所求概率分別為5事件的獨(dú)立性（1）定義：A、B相互獨(dú)立等價于（2）若相互獨(dú)立，則有（3）有放回抽樣中的諸事件是相互獨(dú)立的。例6 袋中有3白球，2個紅球，今有放回的抽取3次，求先后抽到（白、紅、白）的概率解：設(shè)表第次抽到的白球，則所求為（4）在n重貝努利（Bernoulli）試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為，即，則事件A發(fā)生K次的概率為例7 一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立射擊4次，每次射擊的命中率為0.8，求：（1）恰好命中兩次的概率；（2）至少命中一次的概率。解：由于每次射擊相互獨(dú)立，故本題可視為的貝努利試驗(yàn)，其中（1）設(shè)：“4次射擊恰命中兩次”，則（2）設(shè)B：“4次射擊中至少命中一次”，表“4次皆未命中”，則第二章 隨機(jī)變量及其概率分布1 離散型隨機(jī)變量例1 設(shè)，則2常見離散型隨機(jī)變量（1）01分布：設(shè)，則應(yīng)用背景：一次抽樣中，某事件A發(fā)生的次數(shù)，其中例2 設(shè)某射手的命中率為p，X為其一次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X（2）二項(xiàng)分布：設(shè)X，則應(yīng)用背景：n次獨(dú)立重復(fù)抽樣中某事件A發(fā)生的次數(shù)X，其中為事件A在一次抽樣中發(fā)生的概率。例某射手的命中率為0.8，X為其5次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)，則X取的可能值為，即X記?。喝鬤，則,（3）泊松（Poisson）分布若則稱X服從參數(shù)的泊松分布，且，記X，應(yīng)用背景：偶然性事件發(fā)生的次數(shù)X一般服從某個參數(shù)的泊松分布，如某地的降雨的次數(shù)，車禍發(fā)生的次數(shù)等等。另外，當(dāng)Y，且n很大，P很小時，令，則例4 一個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的次品率0.005，任取1000件，計算解：設(shè)X表任取的1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X，由于n很大，p很小，令則（1）（2）3隨機(jī)變量的分布函數(shù)：X的分布函數(shù)為，的性質(zhì)：若，則，例5 設(shè)X的分布函數(shù)，其中，則b=_.解：由知（因?yàn)椋┯?，及題設(shè)時，故綜上有，即例6 設(shè)X的分布函數(shù)求解：4 連續(xù)型隨機(jī)變量若，其中任意，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。此時，；其中 為X的概率密度，滿足（注意與分布律的性質(zhì)：相對照）例7 設(shè)X的概率密度為，則c=_解：由知，故5常見連續(xù)型隨機(jī)變量（1）均勻分布：設(shè)X，則，例8 設(shè)X，且，則a=_解：易知且，即 解得（2）指數(shù)分布設(shè)，則，應(yīng)用背景：描述電子元件，某類動物的壽命，或服務(wù)時間等。例9設(shè)X為某類電子元件的壽命，求這類元件已經(jīng)使用t時，仍能正常工作的概率（設(shè)X）解：由題意所求為（3）正態(tài)分布，設(shè)，則，特別，當(dāng)時，稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)記為分布函數(shù)記為常用公式：若，則， *若，則6.簡單隨機(jī)變量函婁的概率分布例10 設(shè) ，求的概率分布。解：由題設(shè)，X的可能值為，故的可能值為而故例11 設(shè)X，求的分布密度函數(shù)解：先求Y的分布函數(shù)：，當(dāng)；當(dāng)時再求Y的分布密度函數(shù) 故第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布1 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)X的分布函數(shù)Y的分布函數(shù)2 離散型的分布律 （與比較）例設(shè)的分布律為求（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）由知解得（2）（3）（4） （5）3 連續(xù)型的分布密度設(shè)D為平面上的區(qū)域，為的分布密度，則其滿足：特別，若X，Y相互獨(dú)立，則有，其中分別為X的邊緣分布函數(shù)和分布密度，分別為Y的邊緣分布函數(shù)和分布密度。4常見二維連續(xù)型分布（1）平面區(qū)域D上的均勻分布：設(shè)D的面積為，服從D的均勻分布，則的分布密度為例2 設(shè)，即D為xy平面上的單位園域，則，設(shè)服從D上的均勻分布，則其 *解：設(shè)具有D上的均勻分布，A為平面上的某一區(qū)域，則，其中表示A與D公共部分的面積。例3 （續(xù)例2）求解：（2）二維正態(tài)分布 *，設(shè)具有該分布，則其概率密度為*此時X的邊緣密度，即 故Y的邊緣密度，即Y，故，P為X，Y的相關(guān)系數(shù)，可知當(dāng)時，即X，Y相互獨(dú)立，這是一個重要結(jié)論：在正態(tài)分布的場合：不相關(guān)等價于相互獨(dú)立。另外，可知 *例4 設(shè)X，Y，兩者相互獨(dú)立，求的分布密度解：由相互獨(dú)立知 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 單個隨機(jī)變量的期望例1 設(shè) ，則例2 設(shè)X的分布密度為，則2 單個隨機(jī)變量函數(shù)的期望設(shè)X為隨機(jī)變量，是普通函數(shù)，則是隨機(jī)變量，且 *例3 設(shè)X的分布如例1，求的期望解：例4 設(shè)X的分布密度如例2，求的期望解：當(dāng)（其中）時，即為X的方差例4 設(shè)則 ，（方差大者，取值分散）注：是重要常用公式例5 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度，求DX解：因是分段函數(shù)，故求時也要隨之分段積分于是3函數(shù)的期望設(shè)是普通函數(shù)，則是隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望EZ等于例6 設(shè)分布律為 ，則例 設(shè)的分布密度，則 當(dāng)時，其中，則是X，Y的協(xié)方差，即 （重點(diǎn)）當(dāng)時，其中 *為X，Y的相關(guān)系數(shù)期望的重要性質(zhì)（1） （常數(shù)）（2）（3） 推廣：（4）若X，Y相互獨(dú)立，則方差的重要性質(zhì)（1），其中c為常數(shù)（2）特別（3）若X，Y相互獨(dú)立，則 （4）例 設(shè)X，Y相互獨(dú)立，且，則協(xié)方差的運(yùn)算性質(zhì)：（1）（2），其中a，b為常數(shù)（3）（4）若X，Y相互獨(dú)立，則，從而，即X與Y不相關(guān)注：一般地，若X，Y獨(dú)立，則X，Y必不相關(guān)（即）；反之不真，即X，Y不相關(guān)推不出X，Y獨(dú)立。重要特例是：若為正態(tài)分布，則X，Y獨(dú)立等價于X，Y不相關(guān)（即）例 設(shè)的分布律為 ，求解：易知 故，, ， *例 設(shè)，則 *例 設(shè)為連續(xù)型，則X與Y不相關(guān)的充分必要條件是_（選擇題）（A）X，Y獨(dú)立 （B） （C）（D）解法1（排除法）：排除（A），因X，Y獨(dú)立不相關(guān)（故非充要條件）；排除（B），這一等式成立不需任何條件；排除（D），由服從正態(tài)分布及知X，Y獨(dú)立，從而不相關(guān)，但并非正態(tài)場合才有這一結(jié)論故選（C）解法2（直接證明）：當(dāng)時，故X，Y不相關(guān)；反之亦然。 第五章 大數(shù)定律與中心極限定理1 貝努利大數(shù)定律貝努利大數(shù)定律：設(shè)，為A在n次觀測中發(fā)生的頻率，則對任給的正數(shù)有2 中心極限定理設(shè)相互獨(dú)立，同分布，從而它們有相同的期望和相同的方差，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)注：中心極限定理的含義是：大量隨機(jī)變量的和近似正態(tài)分布，即當(dāng)n很大時近似某正態(tài)分布，為了便于查表近似計算，將標(biāo)準(zhǔn)化（從而標(biāo)準(zhǔn)化后其近似分布）故上述隨機(jī)變量的分布函數(shù)，即在應(yīng)用中心極限定理，大多用上式的形式更進(jìn)一步的特別場合為：若相互獨(dú)立同分布時，上式化為這一式子在應(yīng)用也較為常用例1 計算機(jī)進(jìn)行加法計算時，設(shè)所取整誤差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從，求300個數(shù)相加的誤差總和的絕對值小于10的概率。解：易知第i個加數(shù)的誤差滿足：，故故所第六章 統(tǒng)計量及其抽樣分布1設(shè)總體則其樣本相互獨(dú)立，同分布，n為樣本容量從而 例1 設(shè)總體X，則從而其樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為2常見統(tǒng)計量常見統(tǒng)計量：設(shè)總體為X，為其樣本，不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量（1）樣本均值，這結(jié)論對任何總體都成立。進(jìn)一步的，若總體X，則，從而（2）樣本方差，（3）若總體X，則有與相互獨(dú)立，且 *（4）若總體X與總體Y相互獨(dú)立，與分別為其樣本，X，Y，其中，則進(jìn)一步的，若，則有其中3.關(guān)于分布的密度曲線及分位數(shù)（1）分布若，則，從而而F分布的密度曲線與上圖相似。（2）分布若，則t分布的密度曲線關(guān)于y軸對稱，故有例 設(shè)總體，是容量n的樣本均值，求解：由總體，知，故 ，例 設(shè)總體X，為其樣本，則證明：即 第七章 參數(shù)估計1矩法估計：矩估計的實(shí)質(zhì)是用樣本矩作為總體相應(yīng)矩的估計量設(shè)X為總體，為其樣本則的矩估計 的矩估計 例1 設(shè)總體，其中皆未知，為其樣本，求的矩估計解：因?yàn)?，?，故例2 設(shè)總體，未知，求的矩估計解：因?yàn)?，故（矩法方程），由此解得，即為的矩估計? 設(shè)總體，其中，未知為其樣本，求P的矩估計解：由，故P的矩估計2極大似然估計設(shè)總體X，具有概率密度函數(shù)， 其中為未知參數(shù)，其變化范圍為，為其樣本，則似然函數(shù)為若存在使，則稱為的極大似然估計一般求法：由題設(shè)，求出的表達(dá)式取對數(shù)： *求導(dǎo)并令其等于0，建立似然方程 *解之即得的極大似然估計例4 設(shè)是總體X的樣本，總體概率密度為求 的矩估計和極大似然估計解：（1）由 解得為之矩估計（2）似然函數(shù) * 解得的極大似然估計例5 設(shè)總體X，為其樣本，求的極大似然估計解： 由于按常規(guī)方法建立的似然方程無解，故用極大似然估計的定義解之設(shè)欲使似然函數(shù)達(dá)最大，取即可注3估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)（1）無偏性：若，則為的無偏估計（2）有效性：若、皆為之無偏估計，且D，則稱較有效（3）相合性：若的估計量滿足，則稱為之相合估計4參數(shù)的區(qū)間估計設(shè)總體，為其樣本則的置信度的區(qū)間估計為（1）已知時；（2）未知時；（見書中P.162表）例6 設(shè)總體，且，則的0.95置信區(qū)間為注請查看教材中正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計一覽表第八章 假設(shè)檢驗(yàn)1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想：小概率事件在一次抽樣中是幾乎不可能發(fā)生的例1 設(shè)總體，其中未知，為其樣本試在顯著性水平下檢驗(yàn)假設(shè)；這里，即為小概率事件的概率，當(dāng)真時，則 即事件即為小概率事件，當(dāng)它發(fā)生時，即認(rèn)為原假設(shè)不真，從而接受對立假設(shè)2 兩類錯誤以例1為例，上述的取值完全由樣本所決定，由于樣本的隨機(jī)性，假設(shè)檢驗(yàn)可能犯以下兩類錯誤：第一類錯誤：（拒真），也即檢驗(yàn)的顯著性水平第二類錯誤：（接受不真）（接受真）在樣本容量n固定時，相互制約，當(dāng)減小時，的值會增大，反之亦然。3正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（1）首先要會判斷所討論問題是否為假設(shè)檢驗(yàn)問題例2 從一批燈泡中隨機(jī)抽取50個，分別測得其壽命，算得其平均值（小時），樣本標(biāo)準(zhǔn)差（小時），問可否認(rèn)為這批燈泡的平均壽命（）為2000小時。分析：本題中雖然沒說總體（壽命）服從什么分布，但由于樣本容量，可按正態(tài)總體處理，“可否認(rèn)為平均壽命為2000小時”等價于作檢驗(yàn)（2）檢驗(yàn)問題主要是對提出的假設(shè)檢驗(yàn)確定出檢驗(yàn)的拒絕域，這可參考指定教材第八章正態(tài)總體檢驗(yàn)一覽表。第九章 回歸分析本章只是簡述了一元線性回歸分析若因變量Y與可控變量x具有線性關(guān)系，即回歸分析的目的之一就是要通獨(dú)立樣本求出的點(diǎn)估計，以建立關(guān)于Y與x的線性回歸方程由最小二乘法，可得的點(diǎn)估計為可以證明，它們都是未知參數(shù)的無偏估計更詳細(xì)的例子請參考例91