2019-2020年高三下學(xué)期第一次模擬考試 數(shù)學(xué)理 含答案一、選擇題（每小題5分，共50分）1. 設(shè)則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件2. 設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合，如果，那么等于（ ）A. B. C. D. 3. 設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（ ）A. 4B. C. 2D. 4. 展開式中的常數(shù)項為（ ）A. 1B. 4246C. 4245D. 465. 如圖，正四面體ABCD的頂點(diǎn)A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線上，則在下列命題中，錯誤的為（ ）A. O-ABC是正三棱B. 直線OB平面ACDC. 直線AD與OB所成的角是45D. 二面角D-OB-A為456. 某同學(xué)在電腦上進(jìn)行數(shù)學(xué)測試，共10道題，答完第n題（n1，2，3，10）電腦都會自動顯示前n題的正確率，則下列關(guān)系不可能成立的是（ ）A. B. 且C. D. 7. 已知，對以下不等式 ，其中成立的是（ ）A. B. C. D. 8. 已知函數(shù)（a、b為常數(shù)，）在處取得最小值，則函數(shù)是（ ）A. 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B. 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C. 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D. 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱9. 過雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交拋物線于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 10. 如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動（說明：“正方形PABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負(fù)方向滾動。沿x軸正方向滾動指的是先以頂點(diǎn)A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在x軸上時，再以頂點(diǎn)B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)。類似地，正方形PABC可以沿x軸負(fù)方向滾動。向右為順時針，向左為逆時針）。設(shè)頂點(diǎn)p（x，y）的軌跡方程是yf（x），則關(guān)于f（x）的最小正周期T及yf（x）在其兩個相鄰零點(diǎn)間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積S的正確結(jié)論是 （ ）A. B. C. D. 二、填空題（每小題5分，共25分）11. 方程的根，則k_。12. 在ABC中，O為中線AM上一個動點(diǎn)，若AM2，則的最小值是_。13. 向平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在曲線下方的概率為_。14. 已知數(shù)組（）是1，2，3，4，5五個數(shù)的一個排列，如數(shù)組（1，4，3，5，2）是符合題意的一個排列。規(guī)定每一個排列只對應(yīng)一個數(shù)組，且在每個數(shù)組中有且僅有一個i使，則所有不同的數(shù)組中的各數(shù)字之和為_。15. （極坐標(biāo)與參數(shù)方程選講選做題）已知點(diǎn)，參數(shù)，點(diǎn)Q在曲線C：上，則點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間距離的最小值為_。（不等式選講選做題）若不等式，對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。三、解答題16. （12分）已知，其中，若函數(shù)，且的對稱中心到對稱軸的最近距離不小于。（）求的取值范圍；（）在ABC中，分別是角A，B，C的對邊，且，當(dāng)取最大值時，求ABC的面積。17. （12分）QQ先生的魚缸中有7條魚，其中6條青魚和1條黑魚，計劃從當(dāng)天開始，每天中午從該魚缸中抓出1條魚（每條魚被抓到的概率相同）并吃掉。若黑魚未被抓出，則它每晚要吃掉1條青魚（規(guī)定青魚不吃魚）。（1）求這7條魚中至少有5條被QQ先生吃掉的概率；（2）以表示這7條魚中被QQ先生吃掉的魚的條數(shù)，求。18. （12分）已知長方體中，棱，棱，連接，過B點(diǎn)作的垂線交于E，交于F。（1）求證：平面EBD；（2）求點(diǎn)A到平面的距離；（3）求平面與直線DE所成角的正弦值。19. （12分）數(shù)列的通項，其前n項和為。（1）求；（2），求數(shù)列的前n項和。20. （13分）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為原點(diǎn)），如圖，若拋物線與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過點(diǎn)。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，N為拋物線C2上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線的切線交橢圓與P，Q兩點(diǎn)，求MPQ面積的最大值。21. （14分）已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值。（）求實(shí)數(shù)m的值；（）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且，則存在，使得。試用這個結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對任意，都有；（）已知正數(shù)，滿足，求證：當(dāng)時，對任意大于1，且互不相等的實(shí)數(shù)，都有 三、解答題16. 解：（）（2分）函數(shù)的周期，由題意知，即，又。故的取值范圍是（6分）（）由（）知的最大值為1，。，。而。（9分）由余弦定理可知：，又。聯(lián)立解得：。（12分）17. 解：（1）QQ先生能吃到的魚的條數(shù)可取4，5，6，7，最壞的情況是只能吃到4條魚：前3天各吃掉1條青魚，其余3條青魚被黑魚吃掉，第4天QQ先生吃掉黑魚，其概率為故QQ先生至少吃掉5條魚的概率是。（2）與（1）相仿地可得，（6分）故，故所求期望值為5。（12分）18. 解：（1）證：以A為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、（0，0，2）、（1，0，2）、（1，1，2）、（0，1，2），設(shè)，則： 0，又平面EBD。（4分）（2）連接到平面的距離，即三棱錐的高，設(shè)為h，由得：，點(diǎn)A到平面的距離是。（8分）（3）連接DF，平面是DE在平面上的射影，EDF是DE與平面所成的角，設(shè)，那么 由、得，在RtFDE中，。sinEDF，因此，DE與平面所成的角的正弦值是。（幾何方法略）（12分）19. 解：（1）由于，故，故 （6分）（2），兩式相減得，故。（12分）20. （）解：由題意可知B（0，1），則A（0，2），故。令得即，則，故。所以，于是橢圓C1的方程為：（）設(shè)，由知直線PQ的方程為：。即。代入橢圓方程整理得：，故設(shè)點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，則所以，MPQ的面積當(dāng)時取到“”，經(jīng)檢驗此時，滿足題意。綜上所知，MPQ的面積的最大值為。21. 解：（）。由，得，此時。當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間（1，0）上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減。函數(shù)在處取得極大值，故（）令，則。函數(shù)在上可導(dǎo)，存在，使得。又當(dāng)時，單調(diào)遞增，；當(dāng)時，單調(diào)遞減，；故對任意，都有（）用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)時，且，由（）得，即，當(dāng)時，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即當(dāng)時，。當(dāng)時，設(shè)正數(shù)，滿足，令，則，且。當(dāng)時，結(jié)論也成立。綜上由，對任意，結(jié)論恒成立。