華師大教育 祈福分校電話：020-34774470 鐘老師高中數(shù)學(xué)必修5數(shù)列題目精選精編【典型例題】（一）研究等差等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)1. 研究通項的性質(zhì)例題1. 已知數(shù)列滿足. （1）求；（2）證明：.解：（1）. （2）證明：由已知，故， 所以證得. 例題2. 數(shù)列的前項和記為（）求的通項公式；（）等差數(shù)列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數(shù)列，求. 解：（）由可得，兩式相減得：，又 故是首項為1，公比為3的等比數(shù)列 （）設(shè)的公比為，由得，可得，可得故可設(shè)，又，由題意可得，解得等差數(shù)列的各項為正， 例題3. 已知數(shù)列的前三項與數(shù)列的前三項對應(yīng)相同，且對任意的都成立，數(shù)列是等差數(shù)列. 求數(shù)列與的通項公式；是否存在，使得，請說明理由. 點撥：（1）左邊相當(dāng)于是數(shù)列前n項和的形式，可以聯(lián)想到已知求的方法，當(dāng)時，. （2）把看作一個函數(shù)，利用函數(shù)的思想方法來研究的取值情況. 解：（1）已知）時，）得，求得，在中令，可得得，所以N*）. 由題意，所以，數(shù)列的公差為，）. （2），當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，所以時， 又，所以，不存在，使得. 例題4. 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an和bn滿足：an、bn、an+1成等差數(shù)列，bn、an+1、bn+1成等比數(shù)列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通項an，bn 解： 依題意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 a2n+1 = bnbn+1 an、bn為正數(shù)， 由得， 代入并同除以得： ， 為等差數(shù)列 b1 = 2 ， a2 = 3 ， ， ，當(dāng)n2時，又a1 = 1，當(dāng)n = 1時成立， 2. 研究前n項和的性質(zhì)例題5. 已知等比數(shù)列的前項和為，且. （1）求、的值及數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）時，.而為等比數(shù)列，得，又，得，從而.又.（2）， ） ，得，.例題6. 數(shù)列是首項為1000，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足 ，（1）求數(shù)列的前項和的最大值；（2）求數(shù)列的前項和. 解：（1）由題意：，數(shù)列是首項為3，公差為的等差數(shù)列，由，得，數(shù)列的前項和的最大值為. （2）由（1）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，. 例題7. 已知遞增的等比數(shù)列滿足，且是，的等差中項. （1）求的通項公式；（2）若，求使成立的的最小值. 解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q1），由 a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）an=22（n1）=2n（2） ，Sn=（12+222+323+n2n）2Sn=（122+223+n2n+1），Sn=2+22+23+2nn2n+1=（n1）2n+12，若Sn+n 2n+130成立，則2n+132，故n4，n的最小值為5. 例題8. 已知數(shù)列的前n項和為Sn，且成等差數(shù)列，. 函數(shù). （I）求數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項和為Tn，試比較的大小. 解：（I）成等差數(shù)列， 當(dāng)時，. 得：，當(dāng)n=1時，由得， 又是以1為首項3為公比的等比數(shù)列，（II）， ，比較的大小，只需比較與312的大小即可. 當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，. 3. 研究生成數(shù)列的性質(zhì)例題9. （I） 已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)；（II） 設(shè)、是公比不相等的兩個等比數(shù)列，證明數(shù)列不是等比數(shù)列. 解：（）因為cn+1pcn是等比數(shù)列，故有（cn+1pcn）2=（ cn+2pcn+1）（cnpcn1），將cn=2n3n代入上式，得2n1+3n1p（2n3n）2=2n2+3n2p（2n+13n+1）2n+3np（2n13n1）， 即（2p）2n+（3p）3n2=（2p）2n+1+（3p）3n+1 （2p）2n1+（3p）3n1，整理得（2p）（3p）2n3n=0，解得p=2或p=3. （）設(shè)an、bn的公比分別為p、q，pq，cn=an+bn. 為證cn不是等比數(shù)列只需證c1c3. 事實上，=（a1pb1q）2=p2q22a1b1pq，c1c3=（a1b1）（a1 p2b1q2）= p2q2a1b1（p2q2）. 由于pq，p2q2>2pq，又a1、b1不為零，因此c1c3，故cn不是等比數(shù)列. 例題10. n2（ n4）個正數(shù)排成n行n列：其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等已知a24=1，求S=a11 + a22 + a33 + + ann 解： 設(shè)數(shù)列的公差為d， 數(shù)列（i=1，2，3，n）的公比為q則= a11 + （k1）d ， akk = a11 + （k1）dqk1依題意得：，解得：a11 = d = q = 又n2個數(shù)都是正數(shù)， a11 = d = q = ， akk = ，兩式相減得：例題11. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，記（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，若，求的最小值；（3）求使不等式對一切均成立的最大實數(shù).解：（1）由題意得，解得， （2）由（1）得， 得. ，設(shè)，則由得隨的增大而減小時，又恒成立， （3）由題意得恒成立 記，則是隨的增大而增大 的最小值為，即.（二）證明等差與等比數(shù)列1. 轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列.例題12. 數(shù)列中，且滿足，.求數(shù)列的通項公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若，時，故 （3），若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7. 即存在最大整數(shù)使對任意，均有例題13. 已知等比數(shù)列與數(shù)列滿足N*. （1）判斷是何種數(shù)列，并給出證明；（2）若. 解：（1）設(shè)的公比為q，。所以是以為公差的等差數(shù)列. （2）所以由等差數(shù)列性質(zhì)可得2. 由簡單遞推關(guān)系證明等差等比數(shù)列例題14. 已知數(shù)列和滿足：，（），且是以為公比的等比數(shù)列. （I）證明：；（II）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（III）求和：. 解法1：（I）證：由，有，. （II）證：，. 是首項為5，公比為的等比數(shù)列. （III）解：由（II）得，于是. 當(dāng)時，. 當(dāng)時，. 故解法2：（I）同解法1（I）. （II）證： ，又，是首項為5，公比為的等比數(shù)列. （III）由解法1中（II）的類似方法得，. . 例題15. 設(shè)數(shù)列（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，bn=f （bn1）（nN*，n2），求數(shù)列的通項公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的前n項和n. （1）證明：由相減得：數(shù)列是等比數(shù)列（2）解：是首項為，公差為1的等差數(shù)列，. . （3）解：時 得：所以：. 例題16. 的各個頂點分別為，設(shè)為線段的中點，為線段OC的中點，為線段的中點. 對每一個正整數(shù)為線段的中點. 令的坐標(biāo)為，. （1）求及；（2）證明：（3）記，證明：是等比數(shù)列. （1）解：因為y1=y2=y4=1， y3=，y5=，所以 得a1=a2=a3=2. 又由，對任意的正整數(shù)n有an+1=an 恒成立，且a1=2， 所以an為常數(shù)數(shù)列， an=2，（n為正整數(shù)）（2）證明：根據(jù)， 及=an=2， 易證得yn+4=1（3）證明：因為bn+1=（1）（1）=，又由b1=1y4=， 所以bn是首項為，公比為的等比數(shù)列. 【模擬試題】一、填空題1. 在等差數(shù)列a中，已知a=2，a+a=13，則a+a+a等于= . 2. 已知數(shù)列的通項，則其前項和 . 3. 首項為24的等差數(shù)列，從第10項開始為正，則公差的取值范圍是 . 4. 在等比數(shù)列中，和 是二次方程 的兩個根，則的值為 . 5. 等差數(shù)列an中，a1=1，a3+a5=14，其前n項和Sn=100，則n= . 6. 等差數(shù)列an的前m項和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和為_ 7. 已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，= ，若為正整數(shù)，n的取值個數(shù)為_。8. 已知數(shù)列對于任意，有，若，則. 9. 記數(shù)列所有項的和為，第二項及以后各項的和為，第三項及以后各項的和為 ，第項及以后各項的和為，若，則等于 . 10. 等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)項之和為319，偶數(shù)項之和為290，則其中間項為_.11. 等差數(shù)列中，若且，則的值為 .12. 設(shè)為等差數(shù)列的前項和. 已知，則等于 . 13. 已知函數(shù)定義在正整數(shù)集上，且對于任意的正整數(shù)，都有，且，則_ _. 14. 三個數(shù)成等比數(shù)列，且，則b的取值范圍是 . 15. 等差數(shù)列中，前項和為，首項. （1）若，求（2） 設(shè)，求使不等式的最小正整數(shù)的值. 點撥：在等差數(shù)列中知道其中三個就可以求出另外一個，由已知可以求出首項與公差，把分別用首項與公差，表示即可. 對于求和公式，采用哪一個都可以，但是很多題目要視具體情況確定采用哪一個可能更簡單一些. 例如：已知判斷的正負. 問題2在思考時要注意加了絕對值時負項變正時，新的數(shù)列首項是多少，一共有多少項. 16. 等差數(shù)列的前項和為，. （I）求數(shù)列的通項與前項和為；（II）設(shè)（），求證：數(shù)列中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列. 17. 在直角坐標(biāo)平面上有一點列，對一切正整數(shù)n，點位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列. 求點的坐標(biāo)；設(shè)拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，設(shè)與拋物線相切于的直線的斜率為，求：. 設(shè)，等差數(shù)列的任一項，其中是中的最大數(shù)，求的通項公式. 18. 已知數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足（nN*），證明：是等差數(shù)列.【試題答案】1. 422. 3. 4. 5. 106. 2107. 8.5；5個解法一：點撥 利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)“若，則”解析：=解法2： 點撥 利用“若為等差數(shù)列，那么”這個結(jié)論，根據(jù)條件找出和的通項. 解析：可設(shè)，則，則=由上面的解法2可知=，顯然只需使為正整數(shù)即可，故，共5個. 點評：對等差數(shù)列的求和公式的幾種形式要熟練掌握，根據(jù)具體的情況能夠靈活應(yīng)用. 反思：解法2中，若是填空題，比例常數(shù)k可以直接設(shè)為1. 8. 49. 解：. 10. 解：依題意，中間項為，于是有解得.11. 解：由題設(shè)得，而，又，. 12. 解：， ，. 。13. 解：由知函數(shù)當(dāng)從小到大依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值組成一個等差數(shù)列，形成一個首項為2，公差為4的等差數(shù)列，. 14. 解：設(shè)，則有. 當(dāng)時，而，；當(dāng)時，即，而，則，故. 15. 解：（1）由，得：，又由. 即，得到. （2）由若5，則，不合題意故>5，即，所以15，使不等式成立的最小正整數(shù)的值為1516. 解答：（I）由已知得，故. （）由（）得. 假設(shè)數(shù)列中存在三項（互不相等）成等比數(shù)列，則. 即. ，. 與矛盾. 17. 解：（1）（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點為. 設(shè)的方程為：把代入上式，得，的方程為：. ，=.（3），T 中最大數(shù). 設(shè)公差為，則，由此得18. （1）解：是以為首項，2為公比的等比數(shù)列. 即 .（2）證： ，得即 ，得 即 是等差數(shù)列. 15