第第3節(jié)變量的相關(guān)節(jié)變量的相關(guān)性性最新考綱1.會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系；2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶)；3.了解獨立性檢驗(只要求22列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用；4.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.知知 識識 梳梳 理理1.變量間的相關(guān)關(guān)系(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是 ；與函數(shù)關(guān)系不同， 是一種非確定性關(guān)系.(2)從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為 ，點散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為 .相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系正相關(guān)負(fù)相關(guān)2.回歸分析相關(guān)關(guān)系回歸直線方程一條直線中心(3)相關(guān)系數(shù)計算相關(guān)系數(shù)r，r有以下性質(zhì)：|r|_1，并且|r|越接近1，線性相關(guān)程度_；|r|越接近0，線性相關(guān)程度_；_，表明有95%的把握認(rèn)為變量x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，回歸直線方程有意義；否則尋找回歸直線方程毫無意義越強越弱|r|r0.053獨立性檢驗 (1)22列聯(lián)表其中n1n11n12，n2n21n22，n1_，n2_，n_.n11n21n12n22n11n21n12n22(2)2統(tǒng)計量2_.(3)兩個臨界值：3.841與6.635當(dāng)_時，有95%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)_時，有99%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)_時，認(rèn)為事件A與B是無關(guān)的23.84126.63523.841答案(1)(2)(3)(4)診診 斷斷 自自 測測2.(教材例題改編)某研究機構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，所得數(shù)據(jù)如表：x681012y2356答案C3.兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是()A.模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98B.模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80C.模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50D.模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25解析在兩個變量y與x的回歸模型中，它們的相關(guān)指數(shù)R2越近于1，模擬效果越好，在四個選項中A的相關(guān)指數(shù)最大，所以擬合效果最好的是模型1.答案A4.(2015全國卷)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論不正確的是()A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)解析對于A選項，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確.對于B選項，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確.對于C選項，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確.由圖知2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D不正確.答案D5.為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生，得到如下22列聯(lián)表：理科文科男1310女720解析24.8443.841，有95%的把握認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系.答案95%考點一相關(guān)關(guān)系的判斷考點一相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】 (1)已知變量x和y近似滿足關(guān)系式y(tǒng)0.1x1，變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是()A.x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C.x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D.x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)(2)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表：則哪位同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103解析(1)由y0.1x1，知x與y負(fù)相關(guān)，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關(guān)，所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負(fù)相關(guān).(2)在驗證兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系時，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，相關(guān)性越強，在四個選項中只有丁的相關(guān)系數(shù)最大；殘差平方和越小，相關(guān)性越強，只有丁的殘差平方和最小，綜上可知丁的試驗結(jié)果體現(xiàn)了A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性.答案(1)C(2)D【訓(xùn)練1】 (1)某公司在2018年上半年的收入x(單位：萬元)與月支出y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示：月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份收入x 12.314.515.017.019.820.6支出y 5.635.755.825.896.116.18根據(jù)統(tǒng)計資料，則()A.月收入的中位數(shù)是15，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系B.月收入的中位數(shù)是17，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系C.月收入的中位數(shù)是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系D.月收入的中位數(shù)是16，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系(2)x和y的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為_.答案(1)C(2)考點二線性回歸方程及應(yīng)用考點二線性回歸方程及應(yīng)用【例2】 (2015全國卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i1，2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.【訓(xùn)練2】 (2018日照調(diào)研)某地隨著經(jīng)濟的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額)，如下表1：年份x20132014201520162017儲蓄存款y(千億元)567810表1為了研究計算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進行了處理，tx2 012，zy5得到下表2：表2(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程；(2)通過(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；(3)用所求回歸方程預(yù)測到2022年年底，該地儲蓄存款額可達(dá)多少？時間代號t12345z01235考點三考點三獨立性檢驗獨立性檢驗【例3】 某高校共有學(xué)生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人.為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集了300位學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時).(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：0，2，(2，4，(4，6，(6，8，(8，10，(10，12.估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間超過4小時的概率；(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”.又因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的，所以每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表如下：男生女生總計每周平均體育運動時間不超過4小時453075每周平均體育運動時間超過4小時16560225總計21090300【訓(xùn)練3】 (2018濰坊質(zhì)檢)某校在高一年級學(xué)生中，對自然科學(xué)類、社會科學(xué)類校本選修課程的選課意向進行調(diào)查. 現(xiàn)從高一年級學(xué)生中隨機抽取180名學(xué)生，其中男生105名；在這180名學(xué)生中選擇社會科學(xué)類的男生、女生均為45名.(1)試問：從高一年級學(xué)生中隨機抽取1人，抽到男生的概率約為多少？(2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，完成下面的22列聯(lián)表.并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)？選擇自然科學(xué)類選擇社會科學(xué)類 合計男生 女生 合計 選擇自然科學(xué)類 選擇社會科學(xué)類合計男生6045105女生304575合計9090180