第第3節(jié)變量間的相關關系與統(tǒng)計案例節(jié)變量間的相關關系與統(tǒng)計案例最新考綱1.會作兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系；2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶)；3.了解獨立性檢驗(只要求22列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應用；4.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.1.相關關系與回歸分析回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法；判斷相關性的常用統(tǒng)計圖是：；統(tǒng)計量有相關系數(shù)與相關指數(shù).(1)在散點圖中，點散布在從到的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關.(2)在散點圖中，點散布在從到的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關.(3)如果散點圖中點的分布從整體上看大致在 附近，稱兩個變量具有線性相關關系.知知 識識 梳梳 理理散點圖左下角右上角左上角右下角一條直線2.線性回歸方程距離的平方和斜率3.回歸分析(1)定義：對具有的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法.(2)樣本點的中心：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中稱為樣本點的中心.相關關系(3)相關系數(shù)當r0時，表明兩個變量；當r0時，表明兩個變量.r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性.r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系.通常|r|大于時，認為兩個變量有很強的線性相關性.(4)相關指數(shù)：R2.其中 是殘差平方和，其值越小，則R2越大(接近1)，模型的擬合效果越好.正相關負相關越強0.754.獨立性檢驗(1)利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量”的方法稱為獨立性檢驗.(2)列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(22列聯(lián)表)為則隨機變量K2 ，其中n為樣本容量. y1y2總計x1abx2cdcd總計 acabcd有關系a+bb+dabcd1.思考辨析(在括號內打“”或“”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關關系.()(2)通過回歸直線方程 可以估計預報變量的取值和變化趨勢.()(3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗.()(4)事件X，Y關系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越大.()答案(1)(2)(3)(4)診診 斷斷 自自 測測2.(必修3P90例題改編)某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，所得數(shù)據(jù)如表：答案Cx68 10 12y23563.兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是()A.模型1的相關指數(shù)R2為0.98B.模型2的相關指數(shù)R2為0.80C.模型3的相關指數(shù)R2為0.50D.模型4的相關指數(shù)R2為0.25解析在兩個變量y與x的回歸模型中，它們的相關指數(shù)R2越近于1，模擬效果越好，在四個選項中A的相關指數(shù)最大，所以擬合效果最好的是模型1.答案A4.(2015全國卷)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結論不正確的是()A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關解析對于A選項，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確.對于B選項，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確.對于C選項，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確.由圖知2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關，D不正確.答案D5.為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如下22列聯(lián)表： 理科 文科男1310女720解析K2的觀測值k4.844，這表明小概率事件發(fā)生.根據(jù)假設檢驗的基本原理，應該斷定“是否選修文科與性別之間有關系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為5%.答案5%考點一相關關系的判斷考點一相關關系的判斷【例1】 (1)已知變量x和y近似滿足關系式y(tǒng)0.1x1，變量y與z正相關.下列結論中正確的是()A.x與y正相關，x與z負相關B.x與y正相關，x與z正相關C.x與y負相關，x與z負相關D.x與y負相關，x與z正相關(2)甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量的線性相關性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數(shù)r與殘差平方和m如下表：則哪位同學的試驗結果體現(xiàn)A，B兩變量有更強的線性相關性()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 甲乙丙丁r0.82 0.78 0.69 0.85m106115124103解析(1)由y0.1x1，知x與y負相關，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關，所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負相關.(2)在驗證兩個變量之間的線性相關關系時，相關系數(shù)的絕對值越接近于1，相關性越強，在四個選項中只有丁的相關系數(shù)最大；殘差平方和越小，相關性越強，只有丁的殘差平方和最小，綜上可知丁的試驗結果體現(xiàn)了A，B兩變量有更強的線性相關性.答案(1)C(2)D【訓練1】 (1)某公司在2018年上半年的收入x(單位：萬元)與月支出y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示：根據(jù)統(tǒng)計資料，則()A.月收入的中位數(shù)是15，x與y有正線性相關關系B.月收入的中位數(shù)是17，x與y有負線性相關關系C.月收入的中位數(shù)是16，x與y有正線性相關關系D.月收入的中位數(shù)是16，x與y有負線性相關關系月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出y5.635.755.825.896.116.18(2)x和y的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為_.答案(1)C(2)考點二線性回歸方程及應用考點二線性回歸方程及應用【例2】 (2015全國卷)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i1，2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大.【訓練2】 (2018日照調研)某地隨著經(jīng)濟的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額)，如下表1：為了研究計算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進行了處理，tx2 012，zy5得到下表2：年份x20132014201520162017儲蓄存款y(千億元)567810表1時間代號t12345z01235表2所以預測到2022年年底，該地儲蓄存款額可達15.6千億元.考點三獨立性檢驗考點三獨立性檢驗【例3】 (2017全國卷)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”，估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關；(3)根據(jù)箱產量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.附： 箱產量6.635，故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關. 箱產量50 kg箱產量50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466(3)箱產量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度高.因此，可以認為新養(yǎng)殖法的箱產量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.【訓練3】 (2018合肥質檢)某校在高一年級學生中，對自然科學類、社會科學類校本選修課程的選課意向進行調查. 現(xiàn)從高一年級學生中隨機抽取180名學生，其中男生105名；在這180名學生中選擇社會科學類的男生、女生均為45名.(1)試問：從高一年級學生中隨機抽取1人，抽到男生的概率約為多少？(2)根據(jù)抽取的180名學生的調查結果，完成下面的22列聯(lián)表.并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關？ 選擇自然科學類選擇社會科學類合計男生 女生 合計 P(K2k0)0.5000.4000.250 0.150 0.100 0.0500.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.323 2.072 2.706 3.8415.0246.6357.87910.828(2)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可得22列聯(lián)表如下：所以能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關. 選擇自然科學類選擇社會科學類合計男生6045105女生304575合計9090180