第五單元四邊形第18講多邊形與平行四邊形考綱要求命題趨勢1了解多邊形的有關(guān)概念，掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算與證明2掌握平行四邊形的概念及有關(guān)性質(zhì)和判定，并能進(jìn)行計(jì)算和證明3了解鑲嵌的概念，會(huì)判斷幾種正多邊形能否進(jìn)行鑲嵌.中考命題多以選擇題、填空題和解答題的形式出現(xiàn)，主要考查多邊形的邊角關(guān)系、多邊形內(nèi)角和、平面鑲嵌及平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定另外，平行四邊形常和三角形、圓、函數(shù)結(jié)合起來命題，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力.知識(shí)梳理一、多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)1多邊形的概念定義：在平面內(nèi)，由一些不在同一直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形對(duì)角線：連接多邊形_的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線正多邊形：各個(gè)角都_，各條邊都_的多邊形叫做正多邊形2性質(zhì)n邊形過一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線有_條，共有_條對(duì)角線；n邊形的內(nèi)角和為_，外角和為360.二、平面圖形的密鋪(鑲嵌)1密鋪的定義用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱作平面圖形的_2平面圖形的密鋪正三角形、正方形、正六邊形都可以單獨(dú)使用密鋪平面，部分正多邊形的組合也可以密鋪平面三、平行四邊形的定義和性質(zhì)1定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形2性質(zhì)(1)平行四邊形的對(duì)邊_(2)平行四邊形的對(duì)角_(3)平行四邊形的對(duì)角線_(4)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形四、平行四邊形的判定1兩組對(duì)邊分別_的四邊形是平行四邊形2兩組對(duì)邊分別_的四邊形是平行四邊形3一組對(duì)邊_的四邊形是平行四邊形4對(duì)角線相互_的四邊形是平行四邊形5兩組對(duì)角分別_的四邊形是平行四邊形自主測試1正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為()A120 B135 C140 D1442一批相同的正六邊形地磚鋪滿地面的圖案中，每個(gè)頂點(diǎn)處的正六邊形的個(gè)數(shù)為()A2 B3 C4 D63已知ABCD的周長為32，AB4，則BC()A4 B12 C24 D284如圖，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且BEDF，若EBF45，則EDF的度數(shù)是_.5如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，要使四邊形ABCD為平行四邊形，則可添加的條件為_(填一個(gè)即可)6如圖所示，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)求證：(1)AFDCEB；(2)四邊形AECF是平行四邊形考點(diǎn)一、多邊形的內(nèi)角和與外角和【例1】某多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則此多邊形的邊數(shù)是()A5 B6 C7 D8解析：多邊形的外角和是360，不隨邊數(shù)的改變而改變設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是x，由題意，得(x2)1803360，解得x8.答案：D方法總結(jié) 要記住多邊形的內(nèi)角和公式，當(dāng)已知邊數(shù)時(shí)，可求內(nèi)角和；當(dāng)已知內(nèi)角和時(shí)，可求邊數(shù)特別地，正多邊形的每個(gè)外角等于.觸類旁通1 正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為135，則該多邊形的邊數(shù)為()A9 B8 C7 D4考點(diǎn)二、平面的密鋪【例2】下列多邊形中，不能夠單獨(dú)鋪滿地面的是()A正三角形 B正方形C正五邊形 D正六邊形解析：要解決這類問題，我們不妨設(shè)有n個(gè)同一種正多邊形圍繞一點(diǎn)密鋪，它的每一個(gè)內(nèi)角為，則有n360，所以n360，要使n為整數(shù)，只能取60，90，120.也就是說只有正三角形、正方形、正六邊形三種正多邊形可以單獨(dú)密鋪地面，其他的正多邊形是不可以密鋪地面的答案：C方法總結(jié) 判斷給定的某種正多邊形能否密鋪，關(guān)鍵在于分析能用于完整鋪平地面的正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn)，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起時(shí)，幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角觸類旁通2 按下面擺好的方式，并使用同一種圖形，只通過平移方式就能進(jìn)行平面鑲嵌(即平面密鋪)的有_(寫出所有正確答案的序號(hào))考點(diǎn)三、平行四邊形的性質(zhì)【例3】如圖，已知E，F(xiàn)是ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且BEAC，DFAC.(1)求證：ABECDF；(2)請(qǐng)寫出圖中除ABECDF外其余兩對(duì)全等三角形(不再添加輔助線)分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知對(duì)邊平行且相等，又BEAC，DFAC，可以利用“AAS”證明ABE與CDF全等；(2)圖中有三對(duì)全等三角形，寫出其他兩對(duì)即可證明：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABCD.BAEFCD.又BEAC，DFAC，AEBCFD90.ABECDF.(2)ABCCDA，BCEDAF.方法總結(jié) 1利用平行四邊形的性質(zhì)可證明線段或角相等，或求角的度數(shù)2利用平行四邊形的性質(zhì)常把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，通過證明三角形全等來解決觸類旁通3 如圖，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且AECF.求證：EBFFDE.考點(diǎn)四、平行四邊形的判定【例4】如圖，在ABCD中，DAB60，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AB的延長線上，且AEAD，CFCB.(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)若去掉已知條件的“DAB60”，上述的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由解：(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，DCAB，DCBDAB60，ADECBF60.AEAD，CFCB，AED，CFB是正三角形在ABCD中，ADBC，EDBF.EDDCBFAB，即ECAF.又DCAB，即ECAF，四邊形AFCE是平行四邊形(2)上述結(jié)論還成立證明：四邊形ABCD是平行四邊形，DCAB，DCBDAB，ADBC，DC綊AB.ADECBF.AEAD，CFCB，AEDADE，CFBCBF.AEDCFB.又ADBC，ADECBF.EDFB.DCAB，EDDCFBAB，即ECFA，EC綉AF.四邊形EAFC是平行四邊形方法總結(jié) 平行四邊形的判定方法：(1)如果已知一組對(duì)邊平行，?？紤]證另一組對(duì)邊平行或者證這組對(duì)邊相等；(2)如果已知一組對(duì)邊相等，常考慮證另一組對(duì)邊相等或者證這組對(duì)邊平行；(3)如果已知條件與對(duì)角線有關(guān)，常考慮證對(duì)角線互相平分觸類旁通4 如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)在AC上，G，H在BD上，AFCE，BHDG.求證：GFHE.1(2012江蘇無錫)若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1 080，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為()A6 B7 C8 D92(2012浙江杭州)已知ABCD中，B4A，則C()A18 B36 C72 D1443(2012四川巴中)不能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件是()A兩組對(duì)邊分別平行B一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等C一組對(duì)邊平行且相等D兩組對(duì)邊分別相等4(2012湖南懷化)如圖，在ABCD中，AD8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點(diǎn)，則EF_.5(2012四川廣安)如圖，四邊形ABCD中，若去掉一個(gè)60的角得到一個(gè)五邊形，則12_.6(2012貴州銅仁)一個(gè)多邊形每一個(gè)外角都等于40，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_7(2012廣東湛江)如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別在AD，BC邊上，且AECF.求證：(1)ABECDF；(2)四邊形BFDE是平行四邊形1如圖，小陳從O點(diǎn)出發(fā)，前進(jìn)5米后向右轉(zhuǎn)20，再前進(jìn)5米后又向右轉(zhuǎn)20，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)O時(shí)一共走了()A60米 B100米C90米 D120米2如圖，在周長為20 cm的ABCD中ABAD，AC，BD相交于點(diǎn)O，OEBD交AD于點(diǎn)E，則ABE的周長為()A4 cm B6 cmC8 cm D10 cm3如圖，ABCD中，ABC60，E，F(xiàn)分別在CD，BC的延長線上，AEBD，EFBC，DF2，則EF的長為()A2 B2C4 D44如圖，在ABCD中，AB6，AD9，BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，BGAE，垂足為G，BG4，則CEF的周長為()A8 B9.5 C10 D11.55如圖，一個(gè)等邊三角形紙片，剪去一個(gè)角后得到一個(gè)四邊形，則圖中的度數(shù)是()A180 B220C240 D3006如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，ADBC，AC，BD相交于點(diǎn)O.若AC6，則線段AO的長度等于_7如圖，觀察每一個(gè)圖中黑色正六邊形的排列規(guī)律，則第10個(gè)圖中黑色正六邊形有_個(gè)8如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是BC，AD上的點(diǎn)，12.求證：ABECDF.9已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BODO.求證：四邊形ABCD是平行四邊形參考答案導(dǎo)學(xué)必備知識(shí)自主測試1B2B3B4455ADBC(或ABCD)6證明：(1)在ABCD中，ADCB，ABCD，DB.又E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，DFCD，BEAB.DFBE.AFDCEB.(2)在ABCD中，ABCD，ABCD，由(1)得BEDF，AE綉CF.四邊形AECF是平行四邊形探究考點(diǎn)方法觸類旁通18觸類旁通2根據(jù)鑲嵌的條件可知單獨(dú)一種圖形，能夠進(jìn)行鑲嵌的有，而正三角形不能只通過平移來鑲嵌所以只通過平移方式就能進(jìn)行平面鑲嵌的只有.觸類旁通3證明：連接BD交AC于O點(diǎn)如圖所示四邊形ABCD是平行四邊形，OAOC，OBOD.又AECF，OEOF.四邊形BEDF是平行四邊形，EBFFDE.觸類旁通4分析：要證明GFHE，關(guān)鍵是說明四邊形EGFH是平行四邊形，本題出現(xiàn)了對(duì)角線，可利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形來證明證明：ABCD中，OAOC，AFCE，AFOACEOC，OFOE.同理得，OGOH.四邊形EGFH是平行四邊形GFHE.品鑒經(jīng)典考題1C設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意得：(n2)1801 080，所以n8.2B四邊形ABCD是平行四邊形，CA，BCAD，AB180.B4A，A36，CA36，故選B.3B因?yàn)橐唤M對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形也可能是等腰梯形，所以B項(xiàng)的條件不能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形44因?yàn)锳D8，所以BC8；點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點(diǎn)，則EF為CBD的中位線，則EFBC4.5240122180(18060)240.69因?yàn)?60409，所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9.7證明：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，AC.在ABE與CDF中，ABECDF(SAS)(2)四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC且ADBC.AECF，DEBF.又DEBF，四邊形BFDE是平行四邊形研習(xí)預(yù)測試題1C2D3B4A四邊形ABCD為平行四邊形，ADBC，BCAD9.DAFAEB.AF是BAD的平分線，BAFDAF.AEBBAF.BEAB6.EC3.在RtABG中，AG2，AE4.易證ABEFCE，得，EF2，可證CFEC3.CEF的周長為8.5C6371008證明：四邊形ABCD是平行四邊形，BD，ABDC.又12，ABECDF.9證明：ABCD，12.在ABO和CDO中，ABOCDO(ASA)，AOCO.BODO，四邊形ABCD是平行四邊形