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經(jīng)典粒子被限制在箱中運(yùn)動(dòng)與一個(gè)微觀粒子被限制一個(gè)微觀尺度的箱中運(yùn)動(dòng)對(duì)比,在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用 Schrodinger 方程來處理一類簡(jiǎn)單的問題——一維定態(tài)問題。其好處有四： （1）有助于具體理解已學(xué)過的基本原理； （2）有助于進(jìn)一步闡明其他基本原理； （3）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單，從而能對(duì)結(jié)果進(jìn)行細(xì)致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現(xiàn)出來； （4）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。,7.1箱中粒子的哈密頓,以一維定態(tài)為例，求解已知?jiǎng)輬?chǎng)的定態(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定定態(tài)的能量E，從而看出能量量子化是薛定諤方程的自然結(jié)果。,已知粒子所處的勢(shì)場(chǎng)為：,粒子在勢(shì)阱內(nèi)受力為零，勢(shì)能為零。 在阱外勢(shì)能為無(wú)窮大，在阱壁上受 極大的斥力。稱為一維無(wú)限深勢(shì)阱。,其定態(tài)薛定諤方程：,7.2 求解一維定態(tài)薛定諤方程,在阱內(nèi)粒子勢(shì)能為零，滿足：,在阱外粒子勢(shì)能為無(wú)窮大，滿足：,方程的解必處處為零：,根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件，在邊界上,所以，粒子被束縛在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。,在阱內(nèi)的薛定諤 方程可寫為：,類似于簡(jiǎn)諧振子的方程，其通解：,代入邊界條件得：,所以，,n不能取零，否則無(wú)意義。,因?yàn)?結(jié)果說明粒子被束縛在勢(shì)阱中，能量只能 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。,結(jié)論,由歸一化條件,,一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子其波函數(shù)：,稱 為量子數(shù)； 為本征態(tài)； 為本征能量。,討論,1、零點(diǎn)能的存在 稱為基態(tài)能量。,2、 能量是量子化的。是由標(biāo)準(zhǔn)化條件而來。 能級(jí)間隔：,當(dāng) 能級(jí)分布可視為連續(xù)的。,在某些極限的條件下，量子規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律 .,勢(shì)阱中相鄰能級(jí)之差,能量,能級(jí)相對(duì)間隔,當(dāng) 時(shí)， ，能量視為連續(xù)變化.,例1：電子在 的勢(shì)阱中 .,（近似于連續(xù)）,當(dāng) 時(shí), （能量分立）,當(dāng) 很大時(shí)， ，量子效應(yīng)不明顯，能量可視為連續(xù)變化，此即為經(jīng)典對(duì)應(yīng) .,一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能級(jí)、波函數(shù)和概率密度,1,n不能取零，否則無(wú)意義。簡(jiǎn)并、宇稱。,7.3 箱中粒子的一些性質(zhì),2.正交歸一關(guān)系,3.在定態(tài)或疊加態(tài)時(shí)的測(cè)量結(jié)果問題,4.能量的期望值,5.粒子位置的期望值,6.動(dòng)量的概率分布,它的逆變換,例2、已知粒子處于寬度為a的一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的 波函數(shù)為 ， n = 1, 2, 3, … 試計(jì)算n = 1時(shí)，在 x1 = a/4 →x2 = 3a/4 區(qū)間找到粒子的概率．,解：找到粒子的概率為,＝0.818,例3、已知描述單粒子一維束縛狀態(tài)的兩個(gè)本征函數(shù)分別為波函數(shù)為 試求這兩個(gè)狀態(tài)的能級(jí)間隔。,解：兩個(gè)波函數(shù)都滿足定態(tài)薛定諤方程,例4、一粒子被限制在相距為l的兩個(gè)不可穿透的壁之間，如圖所示．描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)為 ，其中c為待定常量．求在 0 ~ 區(qū)間發(fā)現(xiàn)該粒子的概率．,解：由波函數(shù)的性質(zhì)得 即 ， 由此解得 ， 設(shè)在0 - l/3區(qū)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)該粒子的概率為P，則,2、 勢(shì)壘貫穿（隧道效應(yīng)）,在經(jīng)典力學(xué)中,若 ,粒子的動(dòng)能 為正, 它只能在 I 區(qū)中運(yùn)動(dòng)。,定態(tài)薛定諤方程 的解又如何呢？,令：,三個(gè)區(qū)間的薛定諤方程化為：,若考慮粒子是從 I 區(qū)入射，在 I 區(qū)中有入射波反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過II區(qū)穿過勢(shì)壘到III 區(qū)，在III區(qū)只有透射波。粒子在 處的概率要大于在 處出現(xiàn)的概率。,其解為：,根據(jù)邊界條件：,求出解的形式畫于圖中。,量子力學(xué)結(jié)果分析：,（1）EV0情況,在經(jīng)典力學(xué)中，該情況的粒子 可以越過勢(shì)壘運(yùn)動(dòng)到xa區(qū)域，而 在量子力學(xué)中有一部分被反彈回去， 即粒子具有波動(dòng)性的具體體現(xiàn)。,（2）EV0情況,在經(jīng)典力學(xué)中，該情況的粒子將完全被勢(shì)壘擋回， 在x0的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)；而在量子力學(xué)中結(jié)果卻完全不同 ，此時(shí)，雖然粒子被勢(shì)壘反射回來，但它們?nèi)杂辛Ｗ哟?透勢(shì)壘運(yùn)動(dòng)到勢(shì)壘里面去，所以我們將這種量子力學(xué)特 有的現(xiàn)象稱“隧道效應(yīng)”。,隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM,1981年在IBM公司瑞士蘇黎士實(shí)驗(yàn)室工作的賓尼希和 羅雷爾利用針尖與表面間的隧道電流隨間距變化的性質(zhì) 來探測(cè)表面的結(jié)構(gòu)，獲得了實(shí)空間的原子級(jí)分辨圖象， 為此獲得1986年諾貝爾物理獎(jiǎng)。,由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限 于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱悖?而是在表面以外呈指數(shù)形式衰減，衰減長(zhǎng)度越為1nm。,只要將原子線度的極細(xì)探針以及被研究物質(zhì)的表面作為兩個(gè)電極，當(dāng)樣品與針尖的距離非常接近時(shí)，它們的表面電子云就可能重疊。,若在樣品與針尖之間加一微小電壓Ub電子就會(huì)穿過電極間的勢(shì)壘形成隧道電流。,隧道電流對(duì)針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化就能反映樣品表面的起伏。,因?yàn)樗淼离娏鲗?duì)針尖與樣品 間的距離十分敏感?？刂漆樇飧?度不變，通過隧道電流的變化可 得到表面態(tài)密度的分布；,利用STM可以分辨表面上原子的臺(tái)階、平臺(tái)和原子陣列。可以直接繪出表面的三維圖象,使人類第一次能夠?qū)崟r(shí)地觀測(cè)到單個(gè)原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關(guān)的性質(zhì)。在表面科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用前景。,利用光學(xué)中的受抑全反射理論，研制成功光子掃描隧道顯微鏡（PSTM)。1989年提出成象技術(shù)。 它可用于不導(dǎo)電樣品的觀察。,STM樣品必須具有一定程度的導(dǎo)電性；在恒流工作模式下有時(shí)對(duì)表面某些溝槽不能準(zhǔn)確探測(cè)。任何一種技術(shù)都有其局限性。,下面是用掃描隧道顯微鏡觀察到的一些結(jié)果,這是用掃描隧道顯微鏡搬動(dòng)48個(gè)Fe原 子到Cu表面上構(gòu)成的量子圍欄。,1991年IBM公司的“拼字”科研小組創(chuàng)造出了“分子繪畫”藝術(shù)。這是他們利用STM把一氧化碳分子豎立在鉑表面上、分子間距約0.5納米的“分子人”。這個(gè)“分子人”從頭到腳只有5納米，堪稱世界上最小的人形圖案。,1994年初，中國(guó)科學(xué)院真空物理實(shí) 驗(yàn)室的研究人員成功地利用一種新 的表面原子操縱方法，通過STM在 硅單晶表面上直接提走硅原子，形 成平均寬度為2納米(3至4個(gè)原子)的 線條。從STM獲得的照片上可以清 晰地看到由這些線條形成的“100”字 樣和硅原子晶格整齊排列的背景。,用掃描隧道顯微鏡觀察 到砷化鎵表面砷原子的 排列圖如下,用掃描隧道顯微鏡觀察到,硅表面77重構(gòu)圖 硅表面硅原子排列,