等腰、直角三角形,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1等腰三角形： (1)性質(zhì)： 相等， 相等，底邊上的高線(xiàn)、中線(xiàn)、 頂角的角平分線(xiàn)“三線(xiàn)合一”； (2)判定：有兩邊相等、兩角相等或兩線(xiàn)合一的三角形是等腰 三角形 2等邊三角形： (1)性質(zhì)： 相等，三內(nèi)角都等于 ； (2)判定：三邊相等、三內(nèi)角相等或有一個(gè)角是60的等腰三 角形是等邊三角形,要點(diǎn)梳理,兩腰,兩底角,三邊,60,3直角三角形：在ABC中，C90. (1)性質(zhì)：邊與邊的關(guān)系：(勾股定理)a2b2 ； (2)角與角的關(guān)系：AB ； (3)邊與角的關(guān)系： 若A30，則ac，bc； 若ac，則A30； 若A45，則abc； 若ac，則A45； 斜邊上的中線(xiàn)mcR.其中R為三角形外接圓的半徑 (4)判定：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形 的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三 角形；如果三角形一條邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半，那么 這個(gè)三角形是直角三角形,c2,90,難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源 1等腰三角形的特殊性 “等邊對(duì)等角”是今后我們證明角相等的又一個(gè)重要依據(jù)“等 角對(duì)等邊”可以判定一個(gè)三角形是等腰三角形，同時(shí)也是今后證明 兩條線(xiàn)段相等的重要依據(jù) 等邊三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等邊三角 形，等邊三角形擁有等腰三角形的所有性質(zhì)，但不分頂角、底角、 腰、底邊因?yàn)榈冗吶切稳魏我粋€(gè)角都為60，任何一條邊都 可看做腰或底邊 解答等腰三角形的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常作輔助線(xiàn)，構(gòu)造出“三線(xiàn)合 一”的基本圖形在添加輔助線(xiàn)時(shí)，要根據(jù)具體情況而定，表達(dá)輔 助線(xiàn)的語(yǔ)句，不能限制條件過(guò)多，如一邊上的高并且要平分這條 邊；作一邊上的中線(xiàn)并且垂直平分這條邊；作一個(gè)角的平分線(xiàn)并 且垂直對(duì)邊等等，這些都是不正確的,基礎(chǔ)自測(cè),1(2011濟(jì)寧)如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5 cm和6 cm，那么此三角形的周長(zhǎng)是( ) A15 cm B16 cm C17 cm D16 cm或17 cm 答案 D 解析 這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是55616或66517.,2(2011銅仁)下列關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)敘述錯(cuò)誤的是( ) A等腰三角形兩底角相等 B等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)、頂角的平分線(xiàn)互 相重合 C等腰三角形是中心對(duì)稱(chēng)圖形 D等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形 答案 C 解析 等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形,3(2011蕪湖)如圖，已知ABC中，ABC45， F是高AD和BE的交點(diǎn)，CD4，則線(xiàn)段DF的長(zhǎng)度為( ) A2 B4 C3 D4 答案 B 解析 在RtABD中，ABD45，可得ADBD，易證BDFADC，所以DFCD4.,5(2011雞西)如圖，在RtABC中，ABCB，BOAC，把ABC折疊，使AB落在AC上，點(diǎn)B與AC上的點(diǎn)E重合，展開(kāi)后，折痕AD交BO于點(diǎn)F，連結(jié)DE、EF.下列結(jié)論： tanADB2； 圖中有4對(duì)全等三角形； 若將DEF沿EF折疊， 則點(diǎn)D不一定落在AC上； BDBF； S四邊形DFOESAOF， 上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是( ) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè),答案 C,題型分類(lèi) 深度剖析,【例 1】 (1)方程x29x180的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為( ) A12 B12或15 C15 D不能確定 答案 C 解析 解方程x29x180，得x13，x26，周長(zhǎng)為36615，應(yīng)選C. (2)如果等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是80，那么頂角是_度 答案 80或20 解析 頂角是80，或當(dāng)?shù)捉鞘?0時(shí)，頂角是18028020. 探究提高 在等腰三角形中，如果沒(méi)有明確底邊和腰，某一邊可以是底， 也可以是腰同樣，某一角可以是底角也可以是頂角，必須仔細(xì)分類(lèi)討 論,題型一 等腰三角形有關(guān)邊角的討論,知能遷移1 (1)(2011株洲)如圖， ABC中，ABAC，A36，AC的垂直平分線(xiàn)交AB于E，D為垂足，連接EC. 求ECD的度數(shù)； 若CE5，求BC長(zhǎng),解 解法一： DE垂直平分AC， CEAE，ECDA36. 解法二： DE垂直平分AC， ADCD，ADECDE90. 又DEDE，ADECDE，ECDA36.,解法一： ABAC，A36，BACB72. ECDA36， BCEACBECD36， BEC180367272B， BCEC5. 解法二： ABAC，A36， BACB72， BECAECD72， BECB， BCEC5.,(2)(2011煙臺(tái))等腰三角形的周長(zhǎng)為14，其一邊長(zhǎng)為4，那么，它的底邊為_(kāi) 答案 4或6 解析 等腰三角形的底邊為4；等腰三角形的兩腰為4時(shí)，則底邊等于14446.,題型二 等腰三角形的性質(zhì),【例 2】 如圖，在等腰RtABC中，BAC90，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且AEBF，試判斷DEF的形狀,解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！,解：連接AD，在等腰RtABC中， AD是中線(xiàn)， ADBC，DAEBAC45，ADBD. 又BC45， BDAE.2分 在BDF和ADE中， BDFADE(SAS)4分 DFDE，12. 又3190， 2390，即EDF90. DEF也是等腰直角三角形6分,探究提高 作等腰三角形的底邊中線(xiàn)，構(gòu)造等腰三角形“三線(xiàn)合一”的基本圖形，是常見(jiàn)的輔助線(xiàn)的作法之一,知能遷移2 已知：如圖，D是等腰ABC底邊BC上一點(diǎn)，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF.當(dāng)D點(diǎn)在什么位置時(shí)，DEDF？并加以證明,解 當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)時(shí)，DEDF. ABAC，BC. DEAB，DFAC， DEBDFC90. 點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)， BDCD， BDECDF(AAS)， DEDF.,題型三 等邊三角形,【例 3】 (1)已知：如圖，P、Q是ABC邊BC上兩點(diǎn)，且BPPQQCAPAQ，求BAC的度數(shù),解 APPQAQ，APQ是等邊三角形 PAQ60，APQ60. APBP，BBAP6030. 同理：CCAQ30， BAC306030120.,(2)(2012大興安嶺)如圖所示，已知ABC和DCE均是等邊 三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線(xiàn)上，AE與BD交于點(diǎn) O，AE與CD交于點(diǎn)G，AC與BD交于點(diǎn)F，連接OC、FG， 則下列結(jié)論： AEBD； AGBF； FGBE； BOCEOC. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)( ) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 答案 D,解析 由BCDACE， 可得AEBD成立； 由ACGBCF， 可得AGBF成立； ACGBCF， CGCF， 又ACD60， FCG是等邊三角形， CFG60ACB， FGBE成立； 過(guò)C畫(huà)CMBD，CNAE，垂足分別是M、N， BCDACE， CMCN， 點(diǎn)C在BOE的角平分線(xiàn)上，OC平分BOE， 即BOCEOC成立,探究提高 在解題的過(guò)程中要充分利用等邊三角形特有的性質(zhì)，每個(gè)角都相等，每條邊都相等，這可以讓我們輕松找到證明全等所需的條件,知能遷移3 如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，且BDAE，AD與CE交于點(diǎn)F. (1)求證：ADCE； (2)求DFC的度數(shù),解 (1)在等邊ABC中， ABAC，BACCBA60， 又BDAE， ABDCAE， ADCE. (2)ABDCAE， BADECA. DFC是AFC的外角， DFCECADAC BADDAC BAC60.,答題規(guī)范,考題再現(xiàn) 在ABC中，高AD和高BE相交于H，且BHAC，求ABC的度數(shù) 學(xué)生作答 解：如圖1， 在RtBHD和RtACD中， CCAD90， CHBD90， HBDCAD. 又BHAC，BHDACD， BDAD. ADB90，ABC45.,9三角形的高可能在形外,圖1,規(guī)范解答 解：這里的ABC有兩種情況，ABC是銳角(圖1)或 ABC是鈍角(圖2) 如圖2，在RtBHD和RtACD中， 易得DCADHB. 又ACBH， DHBDCA， ADDB， DBA45， ABC135. 綜上：ABC45或ABC135.,圖2,10易出錯(cuò)的等腰三角形問(wèn)題,考題再現(xiàn) 已知ABC是等腰三角形，由A所引BC邊上的高恰好等于BC邊長(zhǎng)的一半，試求BAC的度數(shù) 學(xué)生作答,圖3,規(guī)范解答 解：題目中并沒(méi)有指明BC是等腰ABC的底或腰 當(dāng)BC為底時(shí)，可求得BAC90； 當(dāng)BC為腰時(shí)，還應(yīng)對(duì)B的大小進(jìn)行討論：,圖4,圖5,