,習(xí)題課,一、 求不定積分的基本方法,二、幾種特殊類型的積分,不定積分的計(jì)算方法,第四章,1,一、 求不定積分的基本方法,1. 直接積分法,通過簡單變形, 利用基本積分公式和運(yùn)算法則 求不定積分的方法 .,2. 換元積分法,注意常見的換元積分類型, 如掌握 P205～P206 公式(16) ~(24)的推導(dǎo)方法,(代換: ),2,3. 分部積分法,使用原則:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般經(jīng)驗(yàn): 按“反, 對, 冪, 指 , 三” 的順序,,排前者取為 u ,,排后者取為,計(jì)算格式: 列表計(jì)算,3,多次分部積分的 規(guī) 律,,,,快速計(jì)算表格:,,,,,,,,特別: 當(dāng) u 為 n 次多項(xiàng)式時,,計(jì)算大為簡便 .,4,例1. 求,解:,原式,,5,例2. 求,解:,原式,,分析:,,6,,例3. 求,解 :,原式,分部積分,7,例4. 設(shè),解:,令,求積分,即,,而,8,例5. 求,解:,9,例6. 求,解: 取,,,,,,,說明: 此法特別適用于,如下類型的積分:,10,例7. 證明遞推公式,證:,注:,或,11,例8. 求,解:,設(shè),則,因,連續(xù) ,,得,得,,,,,,利用,,,,12,例9.,設(shè),解:,為,的原函數(shù),,且,求,由題設(shè),則,故,即,, 因此,故,又,13,二、幾種特殊類型的積分,1. 一般積分方法,有理函數(shù),,分解,多項(xiàng)式及 部分分式之和,指數(shù)函數(shù)有理式,,指數(shù)代換,三角函數(shù)有理式,,萬能代換,簡單無理函數(shù),,三角代換,,根式代換,14,2. 需要注意的問題,(1) 一般方法不一定是最簡便的方法,,(2) 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù) ,,要注意綜合,使用各種基本積分法, 簡便計(jì)算 .,因此不一,定都能積出.,例如 ,,15,例10. 求,解: 令,則,原式,16,例11. 求,解: 令,比較同類項(xiàng)系數(shù),,, 故,∴ 原式,說明: 此技巧適用于形為,的積分.,,,17,例12.,解：,因?yàn)?及,,,,18,例13.,求不定積分,解:,原式,,,,19,例14.,解:,I =,20,,例15. 求,解:,( n 為自然數(shù)),令,則,,,21,