第28章 銳角三角函數(shù) 專項(xiàng)訓(xùn)練 專訓(xùn)1　“化斜為直”構(gòu)造直角三角形的方法 名師點(diǎn)金： 銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的，解直角三角形的前提是在直角三角形中進(jìn)行，對(duì)于非直角三角形問題，要注意觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)作輔助線，將其轉(zhuǎn)化為直角三角形來解． 無直角、無等角的三角形作高 1．如圖，在△ABC中，已知BC＝1＋，∠B＝60，∠C＝45，求AB的長(zhǎng)． (第1題) 有直角、無三角形的圖形延長(zhǎng)某些邊 2．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60，∠D＝∠B＝90，求四邊形ABCD的面積． (第2題) 有三角函數(shù)值不能直接利用時(shí)作垂線 3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DC⊥AC，sin ∠BCD＝，求tan A的值． (第3題) 求非直角三角形中角的三角函數(shù)值時(shí)構(gòu)造直角三角形 4．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，求tan ∠BPC的值． (第4題) 專訓(xùn)2　巧用構(gòu)造法求幾種特殊角的三角函數(shù)值 名師點(diǎn)金： 對(duì)于30、45、60角的三角函數(shù)值，我們都可通過定義利用特殊直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；而在實(shí)際應(yīng)用中，我們常常碰到像15、22.5、67.5等一些特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，同樣我們也可以構(gòu)造相關(guān)圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行巧算． 巧構(gòu)造15與30角的關(guān)系的圖形計(jì)算15角的三角函數(shù)值 1．求sin 15，cos 15，tan 15的值． 巧構(gòu)造22.5與45角的關(guān)系的圖形計(jì)算22.5角的三角函數(shù)值 2．求tan 22.5的值． 巧用折疊法求67.5角的三角函數(shù)值 3．小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，還原后，再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，求出67.5角的正切值． (第3題) 巧用含36角的等腰三角形中的相似關(guān)系求18、72角的三角函數(shù)值 4．求sin 18，cos 72的值． 巧用75與30角的關(guān)系構(gòu)圖求75角的三角函數(shù)值 5．求sin 75，cos 75，tan 75的值． 專訓(xùn)3　應(yīng)用三角函數(shù)解實(shí)際問題的四種常見問題 名師點(diǎn)金： 在運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，要學(xué)會(huì)將千變?nèi)f化的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，要善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中的元素(邊、角)之間的關(guān)系，若不是直角三角形，應(yīng)嘗試添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形進(jìn)行解答，這樣才能更好地運(yùn)用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的應(yīng)用問題，方向角的應(yīng)用問題，坡度、坡角的應(yīng)用問題要熟練掌握其解題思路，把握解題關(guān)鍵． 定位問題 1．某校興趣小組從游輪拍攝海河兩岸美景．如圖，游輪出發(fā)點(diǎn)A與望海樓B的距離為300 m，在A處測(cè)得望海樓B位于A的北偏東30方向，游輪沿正北方向行駛一段時(shí)間后到達(dá)C，在C處測(cè)得望海樓B位于C的北偏東60方向，求此時(shí)游輪與望海樓之間的距離BC.(取1.73，結(jié)果保留整數(shù)) (第1題) 坡壩問題 2．如圖，水壩的橫斷面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45，壩高BE＝20米．汛期來臨，為加大水壩的防洪強(qiáng)度，將壩底從A處向后水平延伸到F處，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30，求AF的長(zhǎng)度 .(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732) (第2題) 測(cè)距問題 3．一條東西走向的高速公路上有兩個(gè)加油站A，B，在A的北偏東45方向上還有一個(gè)加油站C，C到高速公路的最短距離是30千米，B，C間的距離是60千米，想要經(jīng)過C修一條筆直的公路與高速公路相交，使兩路交叉口P到B，C的距離相等，請(qǐng)求出交叉口P到加油站A的距離．(結(jié)果保留根號(hào)) 測(cè)高問題 4．如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30，小紅在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60，在斜坡上的點(diǎn)D處測(cè)得樓頂B的仰角為45，其中點(diǎn)A，C，E在同一直線上． (1)求斜坡CD的高度DE； (2)求大樓AB的高度．(結(jié)果保留根號(hào)) (第4題) 專訓(xùn)4　利用三角函數(shù)解判斷說理問題 名師點(diǎn)金： 利用三角函數(shù)解答實(shí)際中的“判斷說理”問題：其關(guān)鍵是將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)來解決實(shí)際問題． 航行路線問題 1．如圖，某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60的方向上．該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)再測(cè)得該島在北偏東30的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁．若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險(xiǎn)？試說明理由． (第1題) 工程規(guī)劃問題 2．A，B兩市相距150千米，分別從A，B處測(cè)得國(guó)家級(jí)風(fēng)景區(qū)中心C處的方位角如圖所示，風(fēng)景區(qū)區(qū)域是以C為圓心、45千米為半徑的圓，tan α＝1.627，tan β＝1.373.為了開發(fā)旅游，有關(guān)部門設(shè)計(jì)修建連接A，B兩市的高速公路．問連接A，B兩市的高速公路會(huì)穿過風(fēng)景區(qū)嗎？請(qǐng)說明理由． (第2題) 攔截問題 3．如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1 000米到達(dá)C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到公路的距離．(結(jié)果不取近似值) (第3題) 臺(tái)風(fēng)影響問題 4．如圖所示，在某海濱城市O附近海面有一股強(qiáng)臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于該城市的南偏東20方向200 km的海面P處，并以20 km/h的速度向北偏西65的PQ方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍是一個(gè)圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km，且圓的半徑以10 km/h的速度不斷擴(kuò)大． (1)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)4 h時(shí)，受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到________km；當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)t(h)時(shí)，受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到____________km. (2)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到與城市O距離最近時(shí)，這股臺(tái)風(fēng)是否會(huì)侵襲這座海濱城市？請(qǐng)說明理由．(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73) (第4題) 專訓(xùn)5　三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合應(yīng)用 名師點(diǎn)金： 1.三角函數(shù)與其他函數(shù)的綜合應(yīng)用：此類問題常常利用函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，再結(jié)合銳角三角函數(shù)求線段的長(zhǎng)，最后可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)． 2．三角函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用：主要是與一元二次方程之間的聯(lián)系，利用方程根的情況，最終轉(zhuǎn)化為三角形三邊之間的關(guān)系求解． 3．三角函數(shù)與圓的綜合應(yīng)用：主要利用圓中的垂徑定理、直徑所對(duì)的圓周角是直角等，將圓中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為同一直角三角形的邊角關(guān)系求解． 4．三角函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用：此類問題常常是由相似得成比例線段，再轉(zhuǎn)化成所求銳角的三角函數(shù)． 三角函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用 1．如圖，直線y＝kx－1與x軸、y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，tan∠OCB＝. (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和k的值； (2)若點(diǎn)A(x，y)是直線y＝kx－1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(且在第一象限內(nèi))，在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式． (第1題) 三角函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)C，且對(duì)稱軸直線x＝1交x軸于點(diǎn)B，連接EC，AC，點(diǎn)P，Q為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒． (1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式； (第2題) (2)如圖，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為直角三角形？ 三角函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用 3．如圖，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象經(jīng)過線段OA的端點(diǎn)A，O為原點(diǎn)，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，tan ∠AOB＝. (1)求k的值； (2)將線段AB沿x軸正方向平移到線段DC的位置，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象恰好經(jīng)過DC的中點(diǎn)E，求直線AE對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式； (3)若直線AE與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，請(qǐng)你探索線段AN與線段ME的大小關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由． (第3題) 三角函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c.已知a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的兩個(gè)根，且9c＝25asin A. (1)試判斷△ABC的形狀； (2)△ABC的三邊長(zhǎng)分別是多少？ 5．已知關(guān)于x的方程5x2－10xcos α－7cos α＋6＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求邊長(zhǎng)為10 cm且兩邊所夾的銳角為α的菱形的面積． 三角函數(shù)與圓的綜合應(yīng)用 6．如圖，AD是△ABC的角平分線，以點(diǎn)C為圓心、CD為半徑作圓交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，且∠B＝∠CAE，EFFD＝43. (1)求證：點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)； (2)求cos ∠AED的值； (3)如果BD＝10，求半徑CD的長(zhǎng)． (第6題) 7．如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點(diǎn)D，AM⊥CD于點(diǎn)M，BN⊥CD于N. (1)求證：∠ADC＝∠ABD； (2)求證：AD2＝AMAB； (3)若AM＝，sin∠ABD＝，求線段BN的長(zhǎng)． (第7題) 三角函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用 8．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊AD上一點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接BF，BE，且BE⊥FG. (1)求證：BF＝BG； (2)若tan ∠BFG＝，S△CGE＝6，求AD的長(zhǎng)． (第8題) 專訓(xùn)6　全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用 名師點(diǎn)金： 本章主要學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義，銳角三角函數(shù)值，解直角三角形，以及解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，重點(diǎn)考查運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決一些幾何圖形中的應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用，是中考的必考內(nèi)容．其主要考點(diǎn)可概括為：2個(gè)概念，1個(gè)運(yùn)算，2個(gè)應(yīng)用，2個(gè)技巧． 2個(gè)概念 銳角三角函數(shù) 1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于點(diǎn)D，求∠BCD的三個(gè)三角函數(shù)值． (第1題) 解直角三角形 2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，sinB＝，D是BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，CD＝DE，AC＋CD＝9，求BE，CE的長(zhǎng)． (第2題) 1個(gè)運(yùn)算——特殊角的三角函數(shù)值與實(shí)數(shù)運(yùn)算 3．計(jì)算： (1)tan30sin60＋cos230－sin245tan45； (2)tan245＋－3cos230＋－. 2個(gè)應(yīng)用 解直角三角形在學(xué)科內(nèi)應(yīng)用 4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AP，交射線DC于點(diǎn)E，射線AE交射線BC于點(diǎn)F，設(shè)BP＝a. (1)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)B，C都不重合)，試用含a的代數(shù)式表示CE的長(zhǎng)； (2)當(dāng)a＝3時(shí)，連接DF，試判斷四邊形APFD的形狀，并說明理由； (3)當(dāng)tan∠PAE＝時(shí)，求a的值． (第4題) 解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用 5．如圖，自來水廠A和村莊B在小河l的兩側(cè)，現(xiàn)要在A，B間鋪設(shè)一條輸水管道．為了搞好工程預(yù)算，需測(cè)算出A，B間的距離．一小船在點(diǎn)P處測(cè)得A在正北方向，B位于南偏東24.5方向，前行1 200 m，到達(dá)點(diǎn)Q處，測(cè)得A位于北偏西49方向，B位于南偏西41方向． (1)線段BQ與PQ是否相等？請(qǐng)說明理由． (2)求A，B間的距離(參考數(shù)據(jù)cos41≈0.75)． (第5題) 6.如圖，為了測(cè)量山頂鐵塔AE的高，小明在27 m高的樓CD底部D測(cè)得塔頂A的仰角為45，在樓頂C測(cè)得塔頂A的仰角為3652′.已知山高BE為56 m，樓的底部D與山腳在同一水平線上，求該鐵塔的高AE.(參考數(shù)據(jù)：sin 3652′≈0.60，tan 3652′≈0.75) (第6題) 2個(gè)技巧 “化斜為直”構(gòu)造直角三角形解三角形的技巧 7．如圖，在△ABC中，∠A＝30，tan B＝，AC＝2，求AB的長(zhǎng)． (第7題) “割補(bǔ)法”構(gòu)造直角三角形求解的技巧 8．如圖所示，已知四邊形ABCD，∠ABC＝120，AD⊥AB，CD⊥BC，AB＝30，BC＝50，求四邊形ABCD的面積．(要求：用分割法和補(bǔ)形法兩種方法求解) (第8題) 答案 1．解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D. 設(shè)BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BDtan B＝xtan 60＝x. 在Rt△ACD中，∵∠C＝45， ∴∠CAD＝90－∠C＝45， ∴∠C＝∠CAD，∴CD＝AD＝x. ∵BC＝1＋，∴x＋x＝1＋， 解得x＝1，即BD＝1. 在Rt△ABD中，∵cos B＝， ∴AB＝＝＝2. (第1題) 　　 (第2題) 2．解：如圖，延長(zhǎng)BC，AD交于點(diǎn)E. ∵∠A＝60，∠B＝90，∴∠E＝30. 在Rt△ABE中，BE＝＝＝2， 在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2， ∴DE＝ECcos 30＝2＝. ∴S四邊形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝ABBE－CDED＝22－1＝. 點(diǎn)撥：本題看似是四邊形問題，但注意到∠B＝90，∠A＝60，不難想到延長(zhǎng)BC，AD交于點(diǎn)E，構(gòu)造出直角三角形，將所求問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決． 3．解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. ∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝DB. 又∵∠ACD＝∠BED＝90，∠ADC＝∠BDE， ∴△ACD≌△BED，∴CD＝DE，AC＝BE. 在Rt△CBE中，sin ∠BCE＝＝，∴BC＝3BE. ∴CE＝＝2BE， ∴CD＝CE＝BE＝AC. ∴tan A＝＝＝. 方法點(diǎn)撥：構(gòu)造直角三角形，把所要求的量與已知量建立關(guān)系是解題的關(guān)鍵． (第3題) 　　 (第4題) 4．解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E， ∵AB＝AC＝5， ∴BE＝BC＝8＝4，∠BAE＝∠BAC. ∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE. 在Rt△BAE中，由勾股定理得 AE＝＝＝3， ∴tan ∠BPC＝tan ∠BAE＝＝. 1．解：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝30，∠C＝90，延長(zhǎng)CA到D，使AD＝AB，則∠D＝15，設(shè)BC＝a，則AB＝2a，AC＝a，∴AD＝2a，CD＝(2＋)a. 在Rt△BCD中，BD＝＝＝(＋)a. ∴sin 15＝sin D＝＝＝； cos 15＝cos D＝＝＝； tan 15＝tan D＝＝＝2－. (第1題) 　　 (第2題) 2．解：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝BC，延長(zhǎng)CA到D，使DA＝AB，則∠D＝22.5，設(shè)AC＝BC＝a，則AB＝a，∴AD＝a，DC＝(＋1)a， ∴tan 22.5＝tan D＝＝＝－1. 3．解：∵將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45，還原后，再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處， ∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝452＝22.5， ∴∠FAB＝67.5. 設(shè)AB＝x，則AE＝EF＝x， ∴tan ∠FAB＝tan 67.5＝＝＝＋1. 4．解：如圖，作△ABC，使∠BAC＝36，AB＝AC，∠ABC的平分線BD交AC于D點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E點(diǎn)，設(shè)BC＝a，則BD＝AD＝a，易得△ABC∽△BCD，∴＝，∴＝， 即AB2－aAB－a2＝0，∴AB＝a(負(fù)根舍去)， ∴sin 18＝sin ∠BAE＝＝， cos 72＝cos ∠ABE＝＝. (第4題) 　　　　 (第5題) 5．解：方法1：利用第1題的圖形求解．易知∠CBD＝75， ∴sin75＝＝＝， cos75＝＝＝， tan75＝＝＝2＋. 方法2：如圖，作△ABD，使∠ADB＝90，∠DAB＝30，延長(zhǎng)BD到C，使DC＝DA，過B作BE⊥AC于E，則∠BAE＝75，設(shè)AD＝DC＝a，則AC＝a，BD＝a，AB＝a，∴BC＝BD＋CD＝a.則CE＝BE＝BCsin 45＝a，∴AE＝AC－CE＝a，∴sin 75＝sin ∠BAE＝＝＝， cos 75＝cos ∠BAE＝＝， tan 75＝tan ∠BAE＝＝2＋. (第1題) 1．解：根據(jù)題意可知AB＝300 m. 如圖所示，過點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.在Rt△ADB中，因?yàn)椤螧AD＝30，所以BD＝AB＝300＝150(m)．在Rt△CDB中，因?yàn)閟in∠DCB＝，所以BC＝＝＝≈173(m)． 答：此時(shí)游輪與望海樓之間的距離BC約為173 m. 點(diǎn)撥：本題也可過C作CD⊥AB于D，由已知得BC＝AC，則AD＝AB＝150 m，所以在Rt△ACD中，AC＝＝≈173(m)．所以BC＝AC≈173 m. 2．解：在Rt△ABE中，∠BEA＝90，∠BAE＝45，BE＝20米， ∴AE＝20米． 在Rt△BEF中，∠BEF＝90，∠F＝30，BE＝20米， ∴EF＝＝＝20(米)． ∴AF＝EF－AE＝20－20≈201.732－20＝14.64≈15(米)． AF的長(zhǎng)度約是15米． 3．解：分兩種情況： (1)如圖①，在Rt△BDC中，CD＝30千米，BC＝60千米． ∴sin B＝＝，∴∠B＝30. ∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30. ∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60， ∴DP＝＝＝10(千米)． 在Rt△ADC中，∵∠A＝ 45， ∴AD＝DC＝30千米． ∴AP＝AD＋DP＝(30＋10)千米． (第3題) (2)如圖②，同理可求得DP＝10千米，AD＝30千米． ∴AP＝AD－DP＝(30－10)千米． 故交叉口P到加油站A的距離為(3010)千米． 點(diǎn)撥：本題運(yùn)用了分類討論思想，針對(duì)P點(diǎn)位置分兩種情況討論，即P可能在線段AB上，也可能在BA的延長(zhǎng)線上． 4．解：(1)在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30，∠DEC＝90， ∴DE＝DC＝2米； (第4題) (2)如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AB，交AB于點(diǎn)F， 則∠BFD＝90，∠BDF＝45， ∴∠DBF＝45，即△BFD為等腰直角三角形， 設(shè)BF＝DF＝x米， ∵四邊形DEAF為矩形， ∴AF＝DE＝2米，即AB＝(x＋2)米， 在Rt△ABC中，∠ABC＝30， ∴BC＝＝＝＝(米)， ∵∠DCE＝30，∠ACB＝60， ∴∠DCB＝90， 在Rt△BCD中，BD＝BF＝x米，DC＝4米， 根據(jù)勾股定理得：2x2＝＋16， 解得：x＝4＋4或x＝4－4(舍去)， 則大樓AB的高度為(6＋4)米． 1．解：若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無觸礁危險(xiǎn)．理由如下： 如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AM于點(diǎn)D. 依題意，知AB＝24＝12(海里)， ∠CAB＝90－60＝30，∠CBD＝90－30＝60. 在Rt△DBC中，tan ∠CBD＝tan 60＝， ∴BD＝CD.在Rt△ADC中，tan ∠CAD＝tan 30＝， ∴AD＝CD. 又∵AD＝AB＋BD， ∴CD＝12＋CD，解得CD＝6海里． ∵6＞9， ∴若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無觸礁危險(xiǎn)． 技巧點(diǎn)撥：將這道航海問題抽象成數(shù)學(xué)問題，建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型．該貨船有無觸礁危險(xiǎn)取決于島C到航線AB的距離與9海里的大小關(guān)系，因此解決本題的關(guān)鍵在于求島C到航線AB的距離． (第1題) 　　 (第2題) 2．解：不會(huì)穿過風(fēng)景區(qū)．理由如下：如圖，過C作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)題意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，則在Rt△ACD中，AD＝CDtan α，在Rt△BCD中，BD＝CDtan β. ∵AD＋DB＝AB，∴CDtan α＋CDtan β＝AB， ∴CD＝＝＝＝50(千米)． ∵50＞45，∴連接A，B兩市的高速公路不會(huì)穿過風(fēng)景區(qū)． 3．解：如圖，過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)F，則∠E＝∠F＝90，攔截點(diǎn)D處到公路的距離DA＝BE＋CF. 在Rt△BCE中，∵∠E＝90，∠CBE＝60， ∴∠BCE＝30，∴BE＝BC＝1 000＝500(米)； 在Rt△CDF中，∵∠F＝90，∠DCF＝45，CD＝1 000米， ∴CF＝CD＝500(米)． ∴DA＝BE＋CF＝(500＋500)米， 即攔截點(diǎn)D處到公路的距離是(500＋500)米． (第3題) 　　 (第4題) 4．解：(1)100；(60＋10t) (2)不會(huì)，理由如下：過點(diǎn)O作OH⊥PQ于點(diǎn)H，如圖．在Rt△POH中，∠OHP＝90，∠OPH＝65－20＝45，OP＝200 km， ∴OH＝PH＝OPsin ∠OPH＝200sin 45＝100≈141(km)． 設(shè)經(jīng)過x h時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心從P移動(dòng)到H，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)速度為20 km/h， 則20x＝100，∴x＝5. 此時(shí)，受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑應(yīng)為60＋105≈130.5(km)． 臺(tái)風(fēng)中心在整個(gè)移動(dòng)過程中與城市O的最近距離OH≈141 km，而臺(tái)風(fēng)中心從P移動(dòng)到H時(shí)受侵襲的圓形區(qū)域半徑約為130.5 km，130.5 km＜141 km，因此，當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到與城市O距離最近時(shí)，城市O不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)侵襲． 1．解：(1)把x＝0代入y＝kx－1，得y＝－1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，－1)，∴OC＝1. 在Rt△OBC中，∵tan ∠OCB＝＝，∴OB＝. ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是. 把B的坐標(biāo)代入y＝kx－1，得k－1＝0.解得k＝2. (2)由(1)知直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x－1，所以△AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式是S＝OBy＝(2x－1)＝x－. 2．解：(1)∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，點(diǎn)A在DE上， ∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(1，4)， 設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝a(x－1)2＋4， 把C(3，0)的坐標(biāo)代入拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，可得a(3－1)2＋4＝0，解得a＝－1. 故拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3. (2)依題意有OC＝3，OE＝4， ∴CE＝＝＝5， 當(dāng)∠QPC＝90時(shí)，∵cos ∠QCP＝＝， ∴＝，解得t＝； 當(dāng)∠PQC＝90時(shí)，∵cos ∠QCP＝＝， ∴＝，解得t＝.∴當(dāng)t＝或t＝時(shí)，△PCQ為直角三角形． 3．解：(1)先求出A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3)，∴k＝6. (2)易知點(diǎn)E縱坐標(biāo)為，由點(diǎn)E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)，求出直線AE對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝－x＋. (3)結(jié)論：AN＝ME.理由：在解析式y(tǒng)＝－x＋中，令y＝0可得x＝6，令x＝0可得y＝. ∴點(diǎn)M(6，0)，N. (第3題) 方法一：如圖，延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，且AF＝2，OF＝3， ∴NF＝ON－OF＝.根據(jù)勾股定理可得AN＝. ∵CM＝6－4＝2，EC＝， ∴根據(jù)勾股定理可得EM＝， ∴AN＝ME. 方法二：如圖，連接OE，延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)F，則AF⊥ON，且AF＝2， ∵S△EOM＝OMEC＝6＝，S△AON＝ONAF＝2＝，∴S△EOM＝S△AON. ∵AN和ME邊上的高相等，∴AN＝ME. 4．解：(1)∵a，b是關(guān)于x的方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的兩個(gè)根，∴a＋b＝c＋4，ab＝4c＋8. ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝(c＋4)2－2(4c＋8)＝c2. ∴△ABC為直角三角形． 又∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab ＝(c＋4)2－4(4c＋8) ＝c2－8c－16， ∴不能確定(a－b)2的值是否為0，∴不能確定a是否等于b，∴△ABC的形狀為直角三角形． (2)∵△ABC是直角三角形，∠C＝90，∴sin A＝. 將其代入9c＝25asin A， 得9c＝25a，9c2＝25a2，3c＝5a. ∴c＝a.∴b＝＝＝a. 將b＝a，c＝a代入a＋b＝c＋4， 解得a＝6.∴b＝6＝8，c＝6＝10， 即△ABC的三邊長(zhǎng)分別是6，8，10. 5．解：∵一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， ∴(－10cos α)2－20(－7cos α＋6)＝0， 解得cos α＝－2(舍去)或cos α＝. 設(shè)在一內(nèi)角為α的直角三角形中，α的鄰邊長(zhǎng)為3k(k＞0)， ∴斜邊長(zhǎng)為5k，則α的對(duì)邊長(zhǎng)為＝4k， ∴sin α＝， 則菱形一邊上的高為10sin α＝8 cm，∴S菱形＝108＝80 cm2. 6．(1)證明：∵AD是△ABC的角平分線， ∴∠BAD＝∠DAC. ∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，∠DAE＝∠CAD＋∠CAE，且∠B＝∠CAE，∴∠ADE＝∠DAE， ∴ED＝EA. ∵ED為⊙O的直徑，∴∠DFE＝90，∴EF⊥AD，∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)． (2)解：如圖，連接DM，則DM⊥AE.設(shè)EF＝4k，DF＝3k， 則ED＝＝5k.∵ADEF＝AEDM， ∴DM＝＝＝k， ∴ME＝＝k，∴cos ∠AED＝＝. (3)解：∵∠CAE＝∠B，∠AEC為公共角，∴△AEC∽△BEA， ∴AEBE＝CEAE，∴AE2＝CEBE， ∴(5k)2＝k(10＋5k)．∵k＞0，∴k＝2，∴CD＝k＝5. (第6題) 　　　 (第7題) 7．(1)證明：如圖，連接OD，∵直線CD切⊙O于點(diǎn)D，∴∠CDO＝90，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90，∴∠1＝∠3，∵OB＝OD，∴∠3＝∠4， ∴∠ADC＝∠ABD. (2)證明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90，∵∠1＝∠4， ∴△ADM∽△ABD，∴＝，∴AD2＝AMAB. (3)解：∵sin ∠ABD＝，∴sin ∠1＝，∵AM＝，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝＝8，∵BN⊥CD，∴∠BND＝90，∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90，∴∠DBN＝∠1，∴sin ∠NBD＝，∴DN＝，∴BN＝＝. 8．(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCG＝90， ∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE. ∵∠DEF＝∠CEG，∴△EDF≌△ECG，∴EF＝EG. 又∵BE⊥FG，∴BE是FG的中垂線，∴BF＝BG. (2)解：∵BF＝BG，∴∠BFG＝∠G，∴tan ∠BFG＝tan G＝，設(shè)CG＝x，則CE＝x，∴S△CGE＝x2＝6，解得x＝2(負(fù)值舍去)， ∴CG＝2，CE＝6，又易通過三角形相似得出EC2＝BCCG，∴BC＝6，∴AD＝6. 1．思路導(dǎo)引：求∠BCD的三個(gè)三角函數(shù)值，關(guān)鍵要弄清它們的定義．由于∠BCD是Rt△BCD中的一個(gè)內(nèi)角，根據(jù)定義，僅一邊BC是已知的，此時(shí)有兩條路可走，一是設(shè)法求出BD或CD，二是把∠BCD轉(zhuǎn)化成∠A，顯然走第二條路較方便，因?yàn)樵赗t△ABC中，三邊均可得出，利用三角函數(shù)的定義即可求出答案． 解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90， ∴∠BCD＋∠ACD＝90. ∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90，∴∠BCD＝∠A. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝10， ∴sin ∠BCD＝sin A＝＝， cos ∠BCD＝cos A＝＝， tan ∠BCD＝tan A＝＝. 2．思路導(dǎo)引：由sin B＝＝＝，可設(shè)DE＝CD＝3k，則DB＝5k，求得BC＝8k，AC＝6k，AB＝10k.再由AC＋CD＝9，可列出以k為未知數(shù)的方程，進(jìn)而求出各邊的長(zhǎng)．在Rt△BDE中，由勾股定理求BE的長(zhǎng)，過C作CF⊥AB于點(diǎn)F，再用勾股定理求出CE的長(zhǎng)． 解：∵sin B＝，∠ACB＝90，DE⊥AB， ∴sin B＝＝＝. 設(shè)DE＝CD＝3k，則DB＝5k， ∴CB＝8k，AC＝6k，AB＝10k. ∵AC＋CD＝9，∴6k＋3k＝9，∴k＝1， ∴DE＝3，DB＝5，∴BE＝＝4. 過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，如圖，則CF∥DE， ∴＝＝＝，求得CF＝，BF＝， ∴EF＝. 在Rt△CEF中，CE＝＝. (第2題) 點(diǎn)撥：方程思想是一種重要的思想方法，運(yùn)用方程思想可以建立已知量和待求量之間的關(guān)系式，平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)該不斷積累用方程思想解題的方法． 3．解：(1)原式＝＋－1＝＋－＝. (2)原式＝12＋－3＋－1＝＋4－3＋2－1＝3. 4．解：設(shè)CE＝y(tǒng)，(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠BCD＝∠D＝90. ∵BP＝a，CE＝y(tǒng)，∴PC＝5－a，DE＝4－y，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90，∴∠APB＋∠CPE＝90， ∵∠APB＋∠BAP＝90，∴∠CPE＝∠BAP， ∴△ABP∽△PCE，∴＝， ∴y＝，即CE＝. (2)四邊形APFD是菱形，理由如下：當(dāng)a＝3時(shí)，y＝＝，即CE＝，∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BF，∴△AED∽△FEC，∴＝，∴CF＝3， 易求PC＝2，∴PF＝PC＋CF＝5. ∴PF＝AD，∴四邊形APFD是平行四邊形，在Rt△APB中，AB＝4，BP＝3，∠B＝90，∴AP＝5＝PF， ∴四邊形APFD是菱形． (3)根據(jù)tan ∠PAE＝可得＝2， 易得△ABP∽△PCE，∴＝＝＝2，得＝＝2或＝＝2，解得a＝3，y＝1.5或a＝7，y＝3.5.∴a＝3或7. 5．解：(1)相等．理由如下： 由已知條件易知，∠QPB＝90－24.5＝65.5，∠PQB＝90－41＝49， ∴∠PBQ＝180－65.5－49＝65.5. ∴∠PBQ＝∠BPQ.∴BQ＝PQ. (2)由(1)，得BQ＝PQ＝1 200 m. 由已知條件易知∠AQP＝90－49＝41. 在Rt△APQ中，AQ＝≈＝1 600(m)． 又∵∠AQB＝∠AQP＋∠PQB＝90， ∴在Rt△AQB中， AB＝≈＝2 000(m)． ∴A，B間的距離約是2 000 m. 點(diǎn)撥：證明線段相等常利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等或等角對(duì)等邊；計(jì)算線段的長(zhǎng)度常利用銳角三角函數(shù)或勾股定理． 6．解：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F. (第6題) 設(shè)鐵塔高AE＝x m， 由題意得EF＝BE－CD＝56－27＝29(m)， AF＝AE＋EF＝(x＋29)m. 在Rt△AFC中，∠ACF＝3652′，AF＝(x＋29)m， 則CF＝≈＝(m)， 在Rt△ABD中，∠ADB＝45，AB＝(x＋56)m， 則BD＝AB＝(x＋56)m， ∵CF＝BD，∴x＋56≈x＋， 解得x≈52. 答：該鐵塔的高AE約為52 m. 7．解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D. 在Rt△ACD中，∵AC＝2，∠A＝30， ∴CD＝AC＝，AD＝ACcos 30＝2＝3. 在Rt△BCD中，＝tan B＝，∴DB＝＝＝2， ∴AB＝AD＋DB＝3＋2＝5. (第7題) 方法總結(jié)：在不含直角三角形的圖形中，如果求與三角形有關(guān)的線段長(zhǎng)、非特殊角的某個(gè)三角函數(shù)、面積等問題，一般可通過分割圖形、作高等方法，把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形得以解決，引輔助線的技巧是解此類題的關(guān)鍵． 8．解法1：如圖①所示，過點(diǎn)B作BE∥AD交DC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥AB交AD于點(diǎn)F，則BE⊥AB，EF⊥AD.∴四邊形ABEF是矩形．∴EF＝AB，AF＝BE.∵∠ABC＝120，∴∠CBE＝120－90＝30，∠D＝180－120＝60. 在Rt△BCE中， BE＝＝＝＝100， EC＝BCtan ∠CBE＝50tan 30＝50＝50. 在Rt△DEF中， DF＝＝＝＝30. ∴AD＝AF＋DF＝BE＋DF＝100＋30＝130. ∴S四邊形ABCD＝S梯形ABED＋S△BCE＝(AD＋BE)AB＋BCEC＝(130＋100)30＋5050＝4 700. (第8題) 解法2：如圖②所示，延長(zhǎng)DA，CB交于點(diǎn)E， 則∠ABE＝180－∠ABC＝60，∠E＝90－∠ABE＝30. 在Rt△ABE中， AE＝ABtan 60＝30＝90， BE＝＝＝60. ∴CE＝BE＋BC＝60＋50＝110. 在Rt△DCE中，DC＝CEtan 30＝110＝110. ∴S四邊形ABCD＝S△DCE－S△ABE＝DCCE－ABAE＝110110－3090＝4 700.