2016北京一模二模導(dǎo)數(shù)大題 （2017屆北京市高三入學(xué)定位考試?yán)恚┮阎瘮?shù).()若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)(0,1),求實(shí)數(shù)的值;()求證:當(dāng)時,函數(shù)至多有一個極值點(diǎn);()是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在定義域上的極小值大于極大值?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由. （2017屆北京市高三入學(xué)定位考試?yán)恚┮阎瘮?shù).()當(dāng)時,求證:函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱;()當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間. （2016年北京高考（理）設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為,(1)求,的值;(2)求的單調(diào)區(qū)間. （2016年北京市海淀區(qū)高三二模理）已知函數(shù). ()當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()若關(guān)于的不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;()若曲線存在兩條互相垂直的切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(只需直接寫出結(jié)果) （2016年北京市西城區(qū)高三二模理）設(shè),函數(shù).()若函數(shù)在處的切線與直線平行,求a的值;()若對于定義域內(nèi)的任意,總存在使得,求a的取值范圍. （2016年北京市東城區(qū)高三二模理）已知,.()求的單調(diào)區(qū)間;()當(dāng)時,求證:對于,恒成立;()若存在,使得當(dāng)時,恒有成立,試求的取值范圍. （2016年北京市朝陽區(qū)高三二模理）已知函數(shù),.()當(dāng)時,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;()當(dāng)時,若曲線上的點(diǎn)都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi),試求的取值范圍. （2016年北京市豐臺區(qū)高三二模理）設(shè)函數(shù).()當(dāng)時,求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值;()若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍. （2016年北京市房山區(qū)高三二模理）已知函數(shù).()當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()設(shè),若在區(qū)間上有兩個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2016年北京市昌平區(qū)高三二模理）已知函數(shù),且曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線. 設(shè).(I)求的值,及的關(guān)系式;(II)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(III)設(shè),若對于任意,都有,求的取值范圍.（2016年北京市順義區(qū)高三一模理）已知函數(shù). ()求曲線在點(diǎn)處的切線方程;()設(shè),若函數(shù)在上(這里)恰有兩個不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2016年北京市石景山區(qū)高三一模理）已知函數(shù).()求曲線在點(diǎn)處的切線方程;()求證:當(dāng)時,;()若對恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.（2016年北京市豐臺區(qū)高三一模理）已知函數(shù).()求曲線在點(diǎn)處的切線方程;()求證:;()若在區(qū)間上恒成立,求的最小值.（2016年北京市朝陽區(qū)高三一模理）已知函數(shù).()求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()當(dāng)時,都有成立,求的取值范圍;()試問過點(diǎn)可作多少條直線與曲線相切?并說明理由.（2016年北京市海淀區(qū)高三一模理）已知函數(shù),()求函數(shù)的最小值;()求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()求證:直線不是曲線的切線.（2016年北京市西城區(qū)高三一模理）已知函數(shù),且.()求的值及的單調(diào)區(qū)間;()若關(guān)于x的方程存在兩不相等個正實(shí)數(shù)根,證明:.（2016年北京市東城區(qū)高三一模理）設(shè)函數(shù),.()當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;()當(dāng)時,恒成立,求的取值范圍;()求證:當(dāng)時,.單元檢測卷設(shè)置參考答案 ()解: ()證明:當(dāng)時, 當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,無極值; 當(dāng)時,令,則. 由得,則 當(dāng),即時,在上單調(diào)遞減, 所以在上至多有一個零點(diǎn),即在上至多有一個零點(diǎn). 所以函數(shù)在上至多有一個極值點(diǎn). 當(dāng),即時,及隨的變化情況如下表: 因?yàn)? 所以在上至多有一個零點(diǎn),即在上至多有一個零點(diǎn). 所以函數(shù)在上至多有一個極值點(diǎn). 綜上,當(dāng)時,函數(shù)在定義域上至多有一個極值點(diǎn) ()存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在定義域上的極小值大于極大值. 的取值范圍是. 由()可知當(dāng)時,函數(shù)至多有一個極值點(diǎn),不可能同時存在極大值與極小值. 當(dāng)時,無極值; 當(dāng)時,及隨的變化情況如下表: 下面研究在上的極值情況: 因?yàn)? 所以存在實(shí)數(shù),使得, 且時,即,在上遞減; 時,在上遞增; 所以在上的極小值為,無極大值. 下面考查在上的極值情況: 當(dāng)時,; 當(dāng)時, 令,則,令, 因?yàn)樵谏线f減, 所以,即. 綜上,因?yàn)? 所以存在實(shí)數(shù), 且時,即,在上遞減; 時,在上遞增; 所以在上的極大值為,無極小值. 又因?yàn)?且, 所以, 所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,函數(shù)在定義域上的極小值大于極大值 ()證明:當(dāng)時,. 將函數(shù)的圖像向左平移個單位,得到函數(shù)的圖像. 因?yàn)閷θ我?且, 所以函數(shù)是奇函數(shù). 所以函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱. 所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱 ()解:由,得 當(dāng)時,. 所以的遞減區(qū)間是. 當(dāng)時,及隨的變化情況如下表: 所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,. 當(dāng)時,及隨的變化情況如下表: 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是, 解: ()函數(shù)的定義域?yàn)? 當(dāng)時, 當(dāng)變化時,的變化情況如下表:極大值極小值 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為, 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ()解:因?yàn)樵趨^(qū)間上有解, 所以在區(qū)間上的最小值小于等于. 因?yàn)? 令,得 當(dāng)時,即時, 因?yàn)閷Τ闪?所以在上單調(diào)遞增, 此時在上的最小值為 所以, 解得,所以此種情形不成立, 當(dāng),即時, 若, 則對成立,所以在上單調(diào)遞增, 此時在上的最小值為所以, 解得,所以 若, 若,則對成立,對成立. 則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 此時在上的最小值為 所以有,解得, 當(dāng)時,注意到,而, 此時結(jié)論成立 綜上,的取值范圍是 法二:因?yàn)樵趨^(qū)間上有解, 所以在區(qū)間上的最小值小于等于, 當(dāng)時,顯然,而成立, 當(dāng)時,對成立,所以在上單調(diào)遞增, 此時在上的最小值為, 所以有, 解得,所以 綜上, ()的取值范圍是 ()證明:函數(shù)的定義域, 由題意,有意義,所以. 求導(dǎo),得 由題意,得,解得. 驗(yàn)證知符合題意 ()“對于定義域內(nèi)的任意,總存在使得”等價于“不存在最小值” 當(dāng)時, 由,得無最小值,符合題意 當(dāng)時, 令,得 或 隨著x的變化時,與的變化情況如下: 不存在0不存在極大 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為. 因?yàn)楫?dāng)時,當(dāng)時, 所以只要考慮,且即可. 當(dāng)時, 由在上單調(diào)遞減,且, 得, 所以存在,使得,符合題意; 同理,當(dāng)時,令, 得,也符合題意; 故當(dāng)時,對于定義域內(nèi)的任意,總存在使得成立 當(dāng)時, 隨著x的變化時,與的變化情況如下表:0不存在極小 不存在 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為. 因?yàn)楫?dāng)時,當(dāng)時, 所以. 所以當(dāng)時,不存在使得. 綜上所述,a的取值范圍為 解:()所以 單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為 () 設(shè), 當(dāng)時,由題意,當(dāng)時,恒成立. , 當(dāng)時,恒成立,單調(diào)遞減. 又, 當(dāng)時,恒成立,即. 對于,恒成立 () 因?yàn)?. 由(II)知,當(dāng)k = 2時,f (x) < g (x)恒成立, 即對于"x > 1,2 ln (x + 2) (x + 1)2 < 2 (x + 1),不存在滿足條件的x0; 當(dāng)k > 2時,對于"x > 1,x + 1 > 0,此時2 (x + 1) < k (x + 1). 2 ln (x + 2) (x + 1)2 < 2 (x + 1) < k (x + 1),即f (x) < g (x)恒成立, 不存在滿足條件的x0; 當(dāng)k < 2時,令t (x) = 2x2 (k + 6)x (2k + 2),可知t (x)與h (x)符號相同, 當(dāng)x (x0 , +)時,t (x) < 0,h (x) < 0,h (x)單調(diào)遞減. 當(dāng)x (1 , x0)時,h (x) > h (1) = 0,即f (x) g (x) > 0恒成立. 綜上,k的取值范圍為( , 2) 解:() . ()依題意當(dāng)時,曲線上的點(diǎn)都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi),等價于當(dāng)時,恒成立. 設(shè),. 所以. (1)當(dāng),即時,當(dāng)時,為單調(diào)減函數(shù), 所以. 依題意應(yīng)有 解得所以. (2)若 ,即時,當(dāng),為單調(diào)增函 數(shù), 當(dāng),為單調(diào)減函數(shù). 由于,所以不合題意. (3)當(dāng),即時,注意到,顯然不合題意. 綜上所述, 解: ()當(dāng)時, 與、之間的關(guān)系如下表:1+0-增函數(shù)極大值減函數(shù) 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極大值點(diǎn),所以這個極值點(diǎn)也是最大值點(diǎn), 最大值 ()(1)當(dāng)時,顯然在區(qū)間內(nèi)沒有兩個零點(diǎn),不合題意. (2)當(dāng)時, 當(dāng)且時,函數(shù)區(qū)間上是增函數(shù),所以函 數(shù) 區(qū)間上不可能有兩個零點(diǎn),所以不合題意; 當(dāng)時,在區(qū)間上與、之間的關(guān)系如下表:+0-增函數(shù)極大值減函數(shù) 因?yàn)?若函數(shù)區(qū)間上有兩個零點(diǎn), 則,所以,化簡 因?yàn)? , 所以. 綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點(diǎn). 解:()當(dāng)時, 令 得 變化情況2+-+增減增所以 函數(shù)增區(qū)間為,減區(qū)間為 ()方法一: 當(dāng)時, 若在上有兩個極值點(diǎn),在上至少有兩零點(diǎn), 即方程在上至少有兩個不等實(shí)根, 即方程在上至少有兩個不等實(shí)根 設(shè), 解的 在上單增,在上單減 所以 在上的最大值為 又 所以 要使方程有兩個不等實(shí)根,的取值范圍為 設(shè), 解得 當(dāng)時, 且在單調(diào)遞減;在單調(diào)遞增. 設(shè)為方程的兩個不等實(shí)根, 則在上,在上,在上 所以在上,在上,在上 即為的兩個極值點(diǎn) 綜上所述, 在內(nèi)存在兩個極值點(diǎn)時,的取值范圍為. 方法二: (), 因?yàn)樵谏嫌袃蓚€極值點(diǎn),所以在上至少有兩零點(diǎn), 所以方程,即方程在上至少有兩個不等實(shí)根, 所以直線與曲線在上有兩個不同的交點(diǎn) 因?yàn)?所以過點(diǎn)和的直線的斜率 設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn) 因?yàn)?所以直線的斜率 所以直線的方程為 因?yàn)橹本€過點(diǎn),所以,所以 因?yàn)橹本€與曲線在上有兩個不同的交點(diǎn) 所以,即 設(shè)為直線與曲線在上兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo),顯然在上,在上,在上 所以在上,在上,在上 即為的兩個極值點(diǎn) 所以當(dāng)在內(nèi)有兩個極值點(diǎn)時,的取值范圍為. 方法三: 當(dāng)時,在區(qū)間上, 所以 從而在區(qū)間上是增函數(shù),故在區(qū)間上無極值點(diǎn); 當(dāng)時,設(shè), 若在上有兩個極值點(diǎn),在上至少有兩零點(diǎn), 即在上至少有兩零點(diǎn) 令得 當(dāng) 即時, 所以在單調(diào)遞增, 故在內(nèi)不存在兩個極值點(diǎn). 當(dāng)即時, , 所以在單調(diào)遞減, 所以 在上只有一個零點(diǎn) , 所以,單調(diào)增,單調(diào)減 所以在上只有一個極值點(diǎn)(在內(nèi)不存在兩個極值點(diǎn)) 當(dāng)即時, 時, 所以 時,函數(shù)單調(diào)遞減; ,函數(shù)單調(diào)遞增. 所以函數(shù)的最小值為. 函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點(diǎn) 當(dāng)且僅當(dāng) 解得. 綜上所述,函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點(diǎn)時,的取值范圍為. 解:(I)因?yàn)楹瘮?shù),所以函數(shù),.又因?yàn)榍€與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線,所以,即 (II)由已知,.所以.設(shè),所以,R,所以在上為單調(diào)遞增函數(shù) 由(I)得,所以,即0是的零點(diǎn).所以,函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)0 所以及符號變化如下,-+極小值 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為 (III)由(II)知當(dāng) 時,是增函數(shù).對于任意,都有等價于,等價于當(dāng)時,因?yàn)?所以在上是增函數(shù),又,所以 解:()函數(shù)定義域?yàn)?, 又,所求切線方程為,即 ()函數(shù)在上恰有兩個不同的零點(diǎn), 等價于在上恰有兩個不同的實(shí)根, 等價于在上恰有兩個不同的實(shí)根, 令則 當(dāng)時,在遞減; 當(dāng)時,在遞增. 故,又. , 即 解: (),.所以切線方程為 ()令,則, 當(dāng)時,設(shè),則,所以在單調(diào)遞減,即, 所以 所以在上單調(diào)遞減,所以, 所以 ()原題等價于對恒成立,即對恒成立, 令,則 易知,即在單調(diào)遞增, 所以,所以, 故在單調(diào)遞減,所以.綜上所述,的最大值為 解:()設(shè)切線的斜率為 因?yàn)?切點(diǎn)為. 切線方程為,化簡得: ()要證: 只需證明:在恒成立, 當(dāng)時,在上單調(diào)遞減; 當(dāng)時,在上單調(diào)遞增; 當(dāng)時 在恒成立 所以 ()要使:在區(qū)間在恒成立, 等價于:在恒成立, 等價于:在恒成立 因?yàn)? 當(dāng)時,不滿足題意 當(dāng)時,令,則或(舍). 所以時,在上單調(diào)遞減; 時,在上單調(diào)遞增; 當(dāng)時 當(dāng)時,滿足題意 所以,得到的最小值為 解:()函數(shù)的定義域?yàn)? (1)當(dāng)時,恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞增; (2)當(dāng)時, 令,得. 當(dāng)時,函數(shù)為減函數(shù); 當(dāng)時,函數(shù)為增函數(shù). 綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為. ()由()可知, (1)當(dāng)時,即時,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù), 所以在區(qū)間上,顯然函數(shù)在區(qū)間上恒大于零; (2)當(dāng)時,即時,函數(shù)在上為減函數(shù),在 上為增函數(shù),所以. 依題意有,解得,所以. (3)當(dāng)時,即時,在區(qū)間上為減函數(shù), 所以. 依題意有,解得,所以. 綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上恒大于零 ()設(shè)切點(diǎn)為,則切線斜率, 切線方程為. 因?yàn)榍芯€過點(diǎn),則. 即. 令 ,則 . (1)當(dāng)時,在區(qū)間上, 單調(diào)遞增; 在區(qū)間上,單調(diào)遞減, 所以函數(shù)的最大值為. 故方程無解,即不存在滿足式. 因此當(dāng)時,切線的條數(shù)為. (2)當(dāng)時, 在區(qū)間上,單調(diào)遞減, 在區(qū)間上,單調(diào)遞增, 所以函數(shù)的最小值為. 取,則. 故在上存在唯一零點(diǎn). 取,則. 設(shè),則. 當(dāng)時,恒成立. 所以在單調(diào)遞增,恒成立.所以. 故在上存在唯一零點(diǎn). 因此當(dāng)時,過點(diǎn)P存在兩條切線. (3)當(dāng)時,顯然不存在過點(diǎn)P的切線. 綜上所述,當(dāng)時,過點(diǎn)P存在兩條切線; 當(dāng)時,不存在過點(diǎn)P的切線 解: ()函數(shù)的定義域?yàn)? 當(dāng)變化時,的變化情況如下表:極小值 函數(shù)在上的極小值為, 所以的最小值為 ()解:函數(shù)的定義域?yàn)? 由()得,所以 所以的單調(diào)增區(qū)間是,無單調(diào)減區(qū)間 ()證明:假設(shè)直線是曲線的切線 設(shè)切點(diǎn)為,則,即 又,則 所以, 得,與 矛盾 所以假設(shè)不成立,直線不是曲線的切線 ()解:對求導(dǎo),得, 所以,解得 故,. 令,得. 當(dāng)變化時,與的變化情況如下表所示:00所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為 ()解:方程,即為, 設(shè)函數(shù) 求導(dǎo),得. 由,解得,或 所以當(dāng)變化時,與的變化情況如下表所示:0所以函數(shù)在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 由,得. 又因?yàn)? 所以. 不妨設(shè)(其中為的兩個正實(shí)數(shù)根), 因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減,且, 所以 同理根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,且, 可得, 所以, 即 解:()當(dāng)時,則, 則. 令得-+ 所以 當(dāng)時,在上單調(diào)遞減; 當(dāng)時,在上單調(diào)遞增; 當(dāng)時, ()因?yàn)? 所以恒成立,等價于恒成立. 設(shè), 得, 當(dāng)時, 所以 在上單調(diào)遞減, 所以 時,. 因?yàn)楹愠闪? 所以 ()當(dāng)時,等價于. 設(shè),. 求導(dǎo),得. 由()可知,時, 恒成立. 所以時,有. 所以 . 所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,. 因此當(dāng)時, 第22頁，共22頁