1.4 角平分線,第一章 三角形的證明,第1課時 角平分線,1.會敘述角平分線的性質(zhì)及判定;（重點） 2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)定理，理解和掌握角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，能應(yīng)用這兩個性質(zhì)解決一些簡單的實際問題;（難點） 3.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力,學習目標,情境引入,如圖，要在S區(qū)建一個貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處？ （比例尺為120000）,D,C,S,解：作夾角的角平分線OC，,截取OD=2.5cm ,D即為所求.,O,導(dǎo)入新課,1. 操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作 PDOA，PE OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將 三次數(shù)據(jù)填入下表：,2. 觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)：_,C,O,B,A,PD=PE,實驗：OC是AOB的平分線，點P是射線OC上的 任意一點,猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.,講授新課,驗證猜想,已知：如圖， AOC= BOC,點P在OC上，PDOA,PEOB,垂足分別為D,E. 求證：PD=PE.,證明：, PDOA,PEOB，, PDO= PEO=90 .,在PDO和PEO中，,PDO= PEO，,AOC= BOC，,OP= OP，, PDO PEO(AAS).,PD=PE.,角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等,性質(zhì)定理： 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.,應(yīng)用所具備的條件：,定理的作用：,證明線段相等.,應(yīng)用格式：,OP 是AOB的平分線，,PD = PE,（在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.,推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.,PDOA,PEOB，,判一判：（1） 如下左圖，AD平分BAC（已知），, = ，( ),在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等,BD CD,(2) 如上右圖， DCAC，DBAB （已知）., = , ( ),在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等,BD CD,例1：已知：如圖，在ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD, DEAB, DFAC.垂足分別為E,F. 求證：EB=FC.,證明： AD是BAC的角平分線， DEAB, DFAC，, DE=DF, DEB=DFC=90 .,在RtBDE 和 RtCDF中，, RtBDE RtCDF(HL)., EB=FC.,例2:如圖，AM是BAC的平分線，點P在AM上，PDAB，PEAC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=_cm.,4,溫馨提示：存在兩條垂線段直接應(yīng)用,變式：如 圖，在RtABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC交BC于點P，若PC4, AB=14. （1）則點P到AB的距離為_.,4,溫馨提示：存在一條垂線段構(gòu)造應(yīng)用,變式：如圖，在Rt ABC中，AC=BC,C900，AP平分BAC交BC于點P，若PC4，AB=14. （2）求APB的面積.,（3）求PDB的周長.,ABPD=28.,由垂直平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，,1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：,存在角平分線,涉及距離問題,2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：,面積,周長,條件,知識與方法,利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解,角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上,思考：交換角的平分線性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個新結(jié)論正確嗎？,角平分線的性質(zhì)：,角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.,思考：這個結(jié)論正確嗎？,逆 命 題,已知：如圖，PDOA，PEOB，垂足分別是D、E，PD=PE. 求證：點P在AOB的角平分線上.,證明：,作射線OP，,點P在AOB 角的平分線上.,在RtPDO和RtPEO 中，,（全等三角形的對應(yīng)角相等）.,OP=OP（公共邊），,PD= PE（已知 ），,PDOA,PEOB.,PDO=PEO=90，,RtPDORtPEO（ HL）.,AOP=BOP,證明猜想,判定定理： 角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.,應(yīng)用所具備的條件：,定理的作用：判斷點是否在角平分線上.,應(yīng)用格式：, PDOA,PEOB，PD=PE.,點P 在AOB的平分線上.,知識總結(jié),例3:如圖，已知CBD和BCE的平分線相交于點F， 求證：點F在DAE的平分線上,證明：,過點F作FGAE于G，F(xiàn)HAD于H，F(xiàn)MBC于M.,點F在BCE的平分線上， FGAE， FMBC.,FGFM.,又點F在CBD的平分線上， FHAD， FMBC，,FMFH，,FGFH.,點F在DAE的平分線上.,G,H,M,A,B,C,F,E,D,例4 如圖，某地有兩所大學和兩條交叉的公路圖中點M，N表示大學，OA，OB表示公路，現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設(shè)計(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡),方法總結(jié)：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，到兩點距離相等的點在兩點連線的垂直平分線上.,解：如圖所示：,歸納總結(jié),OP平分AOB,PDOA于D,PEOB于E,PD=PE,OP平分AOB,PD=PE,PDOA于D,PEOB于E,角的平分線的判定,角的平分線的性質(zhì),當堂練習,2.ABC中, C=90,AD平分CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是 .,3,E,1. 如圖，DEAB，DFBG，垂足分別是E，F(xiàn)， DE =DF， EDB= 60，則 EBF= 度，BE= .,60,BF,3.已知用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知AOB的兩邊上，分別取OM=ON,再分別過點M,N作OA,OB的垂線，交點為P，畫射線OP,則OP平分AOB.為什么？,A,O,B,M,N,P,解：在RTMOP和RTNOP中， OM=ON， OP=OP， RTMOPRTNOP（HL）. MOP=NOP，即OP平分AOB.,課堂小結(jié),角平分線,性質(zhì)定理,一個點：角平分線上的點； 二距離：點到角兩邊的距離； 兩相等：兩條垂線段相等,輔助線 添加,過角平分線上一點向兩邊作垂線段,判定定理,在一個角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上,