第2講 概率,專題七 概率與統(tǒng)計,高考真題體驗,熱點分類突破,高考押題精練,欄目索引,高考真題體驗,1,2,3,4,1.(2015廣東)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球.從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為( ),B,1,2,3,4,2.(2015課標(biāo)全國)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 解析 3次投籃投中2次的概率為,投中3次的概率為P(k3)0.63，,1,2,3,4,所以通過測試的概率為P(k2)P(k3),答案 A,1,2,3,4,A.p1p2p3 B.p2p3p1 C.p3p1p2 D.p3p2p1,1,2,3,4,1,2,3,4,答案 B,1,2,3,4,4.(2015浙江)已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍球(m3，n3)，從乙盒中隨機抽取i(i1,2)個球放入甲盒中. (1)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為i(i1,2)； (2)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i1,2). 則( ) A.p1p2，E(1)E(2) C.p1p2，E(1)E(2) D.p1p2，E(1)E(2),1,2,3,4,解析 隨機變量1，2的分布列如下：,1,2,3,4,所以E(1)E(2).,1,2,3,4,答案 A,考情考向分析,1.以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型及相互獨立事件的概率； 2.二項分布、正態(tài)分布的應(yīng)用是考查的熱點； 3.以解答題形式考查離散型隨機變量的分布列，屬于中檔題目.,熱點一 古典概型和幾何概型,熱點分類突破,1.古典概型的概率,2.幾何概型的概率,例1 (1)(2015江蘇)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球， 則這2只球顏色不同的概率為_.,(2)(2015福建)如圖，點A的坐標(biāo)為(1,0)，點C的坐 標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)x2，若在矩形ABCD內(nèi)隨機取 一點，則此點取自陰影部分的概率等于_. 解析 由題意知，陰影部分的面積,思維升華,(1)解答有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識. (2)在求基本事件的個數(shù)時，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件個數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性. (3)當(dāng)構(gòu)成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解.,跟蹤演練1 (1)(2014廣東)從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是6的概率為_. 解析 從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個不同的數(shù)，,記事件“七個數(shù)的中位數(shù)為6”為事件A，,從區(qū)間1,5和2,4分別取一個數(shù)，記為a，b， 則對應(yīng)的點(a，b)在矩形ABCD內(nèi)部(含邊界)，作直線b2a， 矩形ABCD內(nèi)部滿足b2a的點在ABM內(nèi)部(不含線段AM)，,熱點二 相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗,1.條件概率 在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：,2.相互獨立事件同時發(fā)生的概率 P(AB)P(A)P(B).,3.獨立重復(fù)試驗、二項分布 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率為,解 設(shè)“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么,(2)求系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率. 解 設(shè)“系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)”為事件D. “系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中發(fā)生k次故障”為事件Dk. 則DD0D1，且D0、D1互斥.,思維升華,求相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗的概率的注意點： (1)求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，分析復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解. (2)注意辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征：在每次試驗中，試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.,跟蹤演練2 (1)從混有5張假鈔的20張一百元鈔票中任意抽取2張，將其中一張在驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔，則這兩張都是假鈔的概率為( ),解析 記“抽到的兩張中至少一張是假鈔”為事件A， 記“抽到的2張都是假鈔”為事件B，,A,(2)箱中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球.從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎.現(xiàn)有4人參與摸獎(每人一次)，則恰好有3人獲獎的概率是( ),解析 若摸出的兩球中含有4，必獲獎，有5種情形； 若摸出的兩球是2,6，也能獲獎.,現(xiàn)有4人參與摸獎，恰有3人獲獎的概率是,答案 B,熱點三 離散型隨機變量的分布列,1.設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi的概率為P(Xxi)pi，則稱下表：,為離散型隨機變量X的分布列.,2.E(X)x1p1x2p2xipixnpn為X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望). D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xiE(X)2pi(xnE(X)2pn叫做隨機變量X的方差.,例3 (2015天津)為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽. (1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；,(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解 隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.,所以隨機變量X的分布列為,思維升華,解答離散型隨機變量的分布列及相關(guān)問題的一般思路： (1)明確隨機變量可能取哪些值. (2)結(jié)合事件特點選取恰當(dāng)?shù)挠嬎惴椒?，并計算這些可能取值的概率值. (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解.,跟蹤演練3 (1)有三位同學(xué)過節(jié)日互贈禮物，每人準(zhǔn)備一件禮物，先將禮物集中在一個袋子中，每人從中隨機抽取一件禮物，設(shè)恰好抽到自己準(zhǔn)備的禮物的人數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望E()_.,1,隨機變量X的分布列為,高考押題精練,1,2,3,押題依據(jù) 正態(tài)分布多以實際問題為背景，有很強的應(yīng)用價值，應(yīng)引起考生關(guān)注.,1,2,3,解析 依題意得P(70110)0.6， P(110)0.30.50.8，P(110)0.2， 于是此次數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的考生約有 0.21 000200(人). 答案 A,1,2,3,押題依據(jù) 二項分布模型和獨立重復(fù)試驗是生活中常見概率問題的抽象和提煉，也是高考的熱點.,1,2,3,解析 由于質(zhì)點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，移動五次后位于點(2,3)， 所以質(zhì)點P必須向右移動兩次，向上移動三次，,1,2,3,(1)列出隨機變量的分布列； (2)求的數(shù)學(xué)期望E().,1,2,3,押題依據(jù) 利用隨機變量求解概率問題是高考的必考點，一般以解答題形式出現(xiàn)，考查離散型隨機變量的均值.,解 依題意知，的所有可能取值為2,4,6. 設(shè)每2局比賽為一輪，,若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)， 則甲、乙在該輪中必是各得1分，,1,2,3,此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響.,所以的分布列為,