2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題10 圓錐曲線（含解析）橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)【背一背重點知識】1.橢圓的定義：（1）第一定義：平面內(nèi)到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡.（2）第二定義：平面內(nèi)與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（0<e<1）.2.圖形與方程（以一個為例）圖形標(biāo)準(zhǔn)方程：(>0)3. 幾何性質(zhì)：（1）范圍（2）中心坐標(biāo)原點（3）頂點（4）對稱軸軸，軸，長軸長，短軸長（5）焦點焦距，（）（6）離心率，（）（7）準(zhǔn)線（8）焦半徑（9）通徑（10）焦參數(shù)【講一講提高技能】1. 必備技能：（1）要能夠靈活應(yīng)用圓錐曲線的兩個定義（及其“括號”內(nèi)的限制條件）解決有關(guān)問題，如果涉及到其兩焦點(或兩相異定點)，那么優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到焦點三角形的問題，也要重視第一定義和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用，尤其注意圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運用。（2）橢圓的定義中應(yīng)注意常數(shù)大于|F1F2|.因為當(dāng)平面內(nèi)的動點與定點F1、F2的距離之和等于|F1F2|時，其動點軌跡就是線段F1F2；當(dāng)平面內(nèi)的動點與定點F1、F2的距離之和小于|F1F2|時，其軌跡不存在（3）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點位置，直接寫出橢圓方程待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在x軸還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（4）橢圓中有一個十分重要的OF1B2(如圖)，它的三邊長分別為.易見，且若記，則.（5）在掌握橢圓簡單幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能對橢圓性質(zhì)有更多的了解，如：與分別為橢圓上點到焦點距離的最大值和最小值；橢圓的通徑(過焦點垂直于長軸的弦)長，過橢圓焦點的直線被橢圓所截得的弦長的最小值（6）共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是 我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.2. 典型例題：例1已知橢圓C：的左右焦點為F1,F2離心率為，過F2的直線l交C與A,B兩點，若AF1B的周長為，則C的方程為（ ）A. B. C. D. 分析：直線過橢圓的焦點，因此可聯(lián)想橢圓的定義，確定長軸長、焦距，進(jìn)一步確定橢圓方程.例2設(shè)為橢圓的兩個焦點，為橢圓上的點，且，則橢圓的離心率為（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)，由得中利用三角函數(shù)的定義算出，利用勾股定理算出，進(jìn)而得到長軸，即可算出該橢圓的離心率，故選D【練一練提升能力】1.設(shè)，是橢圓：=1（0）的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的 等腰三角形，則的離心率為A B C D【答案】C【解析】2. 過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點，則橢圓的離心率為 .【答案】【解析】設(shè)，則由兩式相減變形得：即，從而 雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)【背一背重點知識】1.雙曲線的定義：（1）第一定義：平面內(nèi)到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點的軌跡.（2）第二定義：平面內(nèi)與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（）.2.圖形與方程（以一個為例）圖形標(biāo)準(zhǔn)方程：(a>0,b>0)3. 幾何性質(zhì)：（1）范圍（2）中心坐標(biāo)原點（3）頂點（4）對稱軸軸，軸，實軸長，虛軸長（5）焦點焦距，（）（6）離心率，（）（7）準(zhǔn)線（8）漸近線：（9）焦半徑（10）通徑（11）焦參數(shù)【講一講提高技能】1.必備技能：A求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法，根據(jù)題目的條件，判斷是否滿足雙曲線的定義，若滿足，求出相應(yīng)的a、b、c即可求得方程(2)待定系數(shù)法，其步驟是：定位：確定雙曲線的焦點在哪個坐標(biāo)軸上；設(shè)方程：根據(jù)焦點的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程；定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)B幾種特殊情況的標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法(1)與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為(2)漸近線為的雙曲線方程為(3)與雙曲線共焦點的雙曲線方程為(4)與橢圓有共同焦點的雙曲線方程為C雙曲線漸近線的斜率與離心率的互化漸近線的斜率為或，它與離心率可通過以下關(guān)系聯(lián)系起來：.D直線與雙曲線的位置關(guān)系問題，通常涉及雙曲線的性質(zhì)、最值、弦長、垂直、中點等問題解決的方法通常是把雙曲線方程C：與直線方程l：ykxm(m0)聯(lián)立消去y，可整理成的形式，當(dāng)，即時，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線l與雙曲線C只有一個交點，也就是說“直線l與雙曲線C有一個交點”是“直線與雙曲線相切”的必要而不充分條件當(dāng)，即時，再通過研究整理出來的一元二次方程去解決有關(guān)弦長、最值等問題2.典型例題：例1已知為雙曲線:的一個焦點，則點到的一條漸近線的距離為（ ）A. B. 3 C. D. 分析：要求點到的一條漸近線的距離，一是要明確漸近線的方程；二是明確的坐標(biāo)，而這些當(dāng)轉(zhuǎn)化得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，不難得到例2雙曲線的兩個頂點三等分焦距，則雙曲線的離心率為（ ）A4 B3 C2 D1【答案】B【解析】試題分析：因為雙曲線的兩個頂點三等分焦距，故選B【練一練提升能力】1. 已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個焦點在直線上，則雙曲線的方程為 （）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由已知得在方程中令，得所求雙曲線的方程為，故選A2.已知點是雙曲線右支上一點，分別是雙曲線的左、右焦點，為的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的離心率為（ ）A4 B C2 D【答案】C【解析】拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)【背一背重點知識】1. 拋物線的定義：平面內(nèi)與定點和直線的距離相等的點的軌跡. （e=1）2.圖形與方程（以一個為例）圖形標(biāo)準(zhǔn)方程： 3. 幾何性質(zhì)：（1）范圍經(jīng)，（2）中心無（3）頂點（4）對稱軸軸（5）焦點焦距無（6）離心率（7）準(zhǔn)線（8）焦半徑（9）通徑（10）焦參數(shù)【講一講提高技能】1必備技能：A對于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與，重點把握以下兩點：(1)是焦點到準(zhǔn)線的距離，恒為正數(shù)；(2)方程形式有四種，要搞清方程與圖形的對應(yīng)性，其規(guī)律是“對稱軸看一次項，符號決定開口方向”B拋物線的幾何性質(zhì)以考查焦點與準(zhǔn)線為主根據(jù)定義，拋物線上一點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，可得以下規(guī)律：(1)拋物線上一點到焦點的距離； (2)拋物線上一點到焦點F的距離；(3)拋物線上一點到焦點F的距離；(4)拋物線上一點到焦點F的距離.C直線與拋物線的位置關(guān)系類似于前面所講直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系特別地，已知拋物線，過其焦點的直線交拋物線于兩點，設(shè)則有以下結(jié)論：(1)，或 (為所在直線的傾斜角)；(2)；(3).過拋物線焦點且與對稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑，拋物線的通徑長為.2典型例題：例1設(shè)為拋物線的焦點，過且傾斜角為的直線交于,兩點，則 （ ）（A） （B） （C） （D）分析：要求，須將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，確定交點坐標(biāo)關(guān)系，以應(yīng)用焦半徑公式.例2直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于、兩點，若線段的長是6，的中點到軸的距離是1，則此拋物線方程是（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：直線經(jīng)過焦點，所以（為兩點的縱坐標(biāo)），故依題意中點的縱坐標(biāo)為，即，解得，所以此拋物線的方程為，故選B【練一練提升能力】1. 已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，準(zhǔn)線方程為，直線與拋物線相交于兩點若線段的中點為，則直線的方程為（ ）A B C D【答案】A【解析】2. 已知點在拋物線C：的準(zhǔn)線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為（ ）A B C D【答案】C【解析】由已知得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，且過點，故，則，則直線AF的斜率，選C （一） 選擇題（12*5=60分）1. 已知橢圓的焦點是，是橢圓上的一個動點，如果延長到，使得，那么動點的軌跡是（ ）A圓 B橢圓 C雙曲線的一支 D拋物線【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)橢圓的定義可知，因為，所以，即，根據(jù)圓的定義，點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，故選A2. 雙曲線的頂點到漸進(jìn)線的距離等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由于對稱性，我們不妨取頂點，取漸近線為，所以由點到直線的距離公式可得.3. 橢圓的一個焦點為，點在橢圓上如果線段的中點在軸上，那么點的縱坐標(biāo)是（ ）A B C D【答案】A【解析】4.橢圓的一個焦點為，點在橢圓上如果線段的中點在軸上，那么點的縱坐標(biāo)是（ ）A B C D【答案】A【解析】試題分析：設(shè)為橢圓的另一焦點，則由題易知軸，即為通徑的一半，所以，所以點的縱坐標(biāo)為，故選A5. 若實數(shù)滿足，則曲線與曲線的（ ）A.實半軸長相等 B.虛半軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等【答案】D6.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Fl,F2,以為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3,4),則此雙曲線的方程為（）ABCD【答案】C【解析】由題意可知，則，由條件得，在上，即，由得，雙曲線為.選C.7.設(shè)為坐標(biāo)原點，為拋物線的焦點，為拋物線上一點，若則點的坐標(biāo)為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】8.已知分別是雙曲線的左右焦點,若關(guān)于漸近線的對稱點為,且有,則此雙曲線的離心率為（）ABCD2【答案】D【解析】如圖，作出雙曲線的兩條漸近線，兩焦點為交漸近線于，則是的中點，而又是的中點，故有，從而，在中，則，于是，所以，從而9. 已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ）A. B. C.3 D.2【答案】A10.設(shè)拋物線的焦點為,點在上,若以為直徑的圓過點,則的方程為（ ）A或 B或C或 D或【答案】C【解析】試題分析：因為拋物線方程為，所以焦點，設(shè)，由拋物線性質(zhì)，可得，因為圓心是的中點，所以根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，圓心橫坐標(biāo)為，由已知圓半徑也為，據(jù)此可知該圓與軸相切于點，故圓心縱坐標(biāo)為，則點縱坐標(biāo)為，即，代入拋物線的方程得，所以或所以拋物線的方程為或11.已知斜率為2的直線雙曲線交兩點，若點是的中點，則的離心率等于（ ）（A) (B) 2 (C) (D) 【答案】D12. 已知點是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點為該拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，當(dāng)取最小值時，點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）A B C D【答案】C【解析】試題分析：如下圖所示，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足是，由對稱性，不妨令在第一象限，問題等價于求的最小值，而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，故選C（二） 填空題（4*5=20分）13. 在中，若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 【答案】【解析】14. 已知橢圓的中心在原點，一個焦點與拋物線的焦點重合，一個頂點的坐標(biāo)為，則此橢圓方程為 【答案】【解析】此橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的焦點為，說明橢圓的焦點在軸上，且，又頂點的坐標(biāo)為說明，從而，故橢圓方程為15.已知橢圓：的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點若，則_【答案】【解析】16.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點為，右準(zhǔn)線為，短軸的一個端點. 設(shè)原點到直線的距離為，點到的距離為. 若，則橢圓的離心率為 .【答案】 【解析】依題意，作于，則，又，解得，而橢圓準(zhǔn)線的方程為， ，設(shè)直線與軸交于，則點到直線的距離，整理的，兩邊平方，又，解得.