2019-2020年高考數(shù)學(xué) 考點32 二面角試題解讀與變式【考綱要求】1.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題.2.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.【命題規(guī)律】二面角的知識是高考的熱點問題，選擇、填空、解答題都有可能進行考查.預(yù)計xx年的高考對本知識的考查空間向量的應(yīng)用，仍然是以簡單幾何體為載體解決線線問題【典型高考試題變式】（一）常規(guī)法求二面角的平面角例1.【xx安徽卷（理）】如圖，四棱柱中，底面.四邊形為梯形，,且.過三點的平面記為，與的交點為.（1）證明：為的中點；（2）求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比；（3）若，梯形的面積為6，求平面與底面所成二面角大小.【解析】試題分析：（1）利用面面平行來證明線線平行，則出現(xiàn)相似三角形，于是根據(jù)三角形相似即可得出，即為的中點.（2）連接.設(shè)，梯形的高為，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為和，則.先表示出和，就可求出，從而.（3）常規(guī)法，作出二面角.在中，作，垂足為，連接.又且，所以平面，于是.所以為平面與底面所成二面角的平面角.（1）證：因為，,，所以平面平面.從而平面與這兩個平面的交線相互平行，即.故與的對應(yīng)邊相互平行，于是.所以，即為的中點.（2）解：如圖，連接.設(shè)，梯形的高為，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為和，則.，所以，又所以，故.【方法技巧歸納】證明線面平行有兩種思路：第一尋求線線平行，利用線面平行的判定定理.第二尋求面面平行，本題借助平行四邊形和三角形中位線定理可以得到線線平行，進而證明線面平行；求二面角一是傳統(tǒng)方法，“一作，二證，三求”，如本題的解析，二是建立空間直角坐標系，借助空間向量，求法向量，利用公式求角.求二面角的常見方法有：1、利用定義找到二面角的平面角，根據(jù)平面幾何知識求解；2、利用公式 ，求出二面角的余弦，從而求得二面角的大??；3、利用空間相夾角余弦公式【變式1】【改編例題中條件】【xx屆安徽省馬鞍山市中加學(xué)校三模】如圖，三棱柱中，四邊形是菱形， ， ,二面角為， .（）求證：平面平面;（）求二面角的余弦值.【解析】試題分析：（1）由菱形可得，由棱柱和可得，由直線與平面垂直判定定理，可得,可證。（2）過交點作,垂足為,連則為二面角的平面角。由二面角為， ，可求得各線段長，即可算出二面角的平面角。（2）由題意得為正三角形，取得中點為D，連CD,BD,則,又易得,則為二面角的平面角，因, =,所以,所以過交點作,垂足為,連則為二面角的平面角， 又 得所以 【變式2】【改編例題中條件】【xx湖南卷（理）】如圖6,四棱柱的所有棱長都相等,四邊形和四邊形為矩形.(1)證明:底面;(2)若,求二面角的余弦值.【解析】試題分析:(1)要證明線面垂直,只需要在面內(nèi)找到兩條相交的線段與之垂直即可,即證明與垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面為菱形,進而得到均為中點,得到三者相互平行,四邊形均為矩形與平行相結(jié)合即可得到與垂直,進而證明線面垂直.(2)要求二面角,此問可以以以為坐標原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立三維直角坐標系,利用空間向量的方法得到二面角的余弦值,在此說明第一種方法,做出二面角的平面角, 過作的垂線交于點,連接.利用(1)得到,在利用四邊形為菱形,對角線相互垂直,兩個垂直關(guān)系即可得到垂直于平面,進而得到,結(jié)合得到線面垂直,說明角即為哦所求二面角的平面角,設(shè)四棱柱各邊長為,利用勾股定理求出相應(yīng)邊長即可得到角的余弦值,進而得到二面角的余弦值.(1)證明:四棱柱的所有棱長都相等四邊形和四邊形均為菱形分別為中點四邊形和四邊形為矩形且又且底面底面.又且,面面又面又且,面面為二面角的平面角,則且四邊形為菱形,則再由的勾股定理可得,則,所以二面角的余弦值為.（二）向量法求二面角的平面角例2.【xx全國1卷（理）】如圖所示，在四棱錐中，且(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.【解析】（1）證明：因為，所以，.又因為，所以，又因為，、平面所以平面，又平面，所以平面平面（2）取中點，中點，聯(lián)結(jié)，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以.由（1）知，平面，所以平面，又、平面，所以，.又因為，所以，所以、兩兩垂直，所以以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)，所以，所以，設(shè)為平面的法向量，由，得.令，則，可得平面的一個法向量.因為，所以，又知平面，平面，所以，又，所以平面，即是平面的一個法向量，所以.由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為.【方法技巧歸納】1.利用向量計算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小2利用法向量求二面角時的兩個注意點(1)對于某些平面的法向量要注意題中條件隱含著，不用單獨求(2)注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結(jié)合圖形進行，以防結(jié)論錯誤.【變式1】【改編例題條件】【xx全國2卷（理）】如圖所示，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面， 是的中點.（1）證明：直線平面；（2）點在棱上，且直線與底面所成銳角為，求二面角的余弦值. （2）以中點為原點，如圖建立空間直角坐標系設(shè)，則，在底面上的投影為，所以因為，所以為等腰直角三角形因為為直角三角形，所以設(shè)，所以所以所以，設(shè)平面的法向量，所以，設(shè)平面的法向量為，所以所以二面角的余弦值為【變式2】【改編函數(shù)條件和問法】【xx全國3卷（理）】如圖所示，四面體中，是正三角形，是直角三角形，（1）證明：平面平面；（2）過的平面交于點，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值【解析】取中點為，聯(lián)結(jié)，；因為為等邊三角形，所以，所以.，.所以，即為等腰直角三角形，為直角又為底邊中點，所以.令，則，易得：，所以，由勾股定理的逆定理可得，即.，所以平面.又因為平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面.由題意可知，即，到平面的距離相等，即為中點.以為原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，設(shè)，建立空間直角坐標系，則，易得：，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，解得，解得.若二面角為，易知為銳角，則.【數(shù)學(xué)思想】1.轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法，數(shù)學(xué)中一切問題的解決(當然包括解題)都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，以上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn)。各種變換方法、分析法、反證法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段。所以說，轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂.2. 轉(zhuǎn)化包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化，非等價轉(zhuǎn)化又分為強化轉(zhuǎn)化和弱化轉(zhuǎn)化等價轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化過程中的前因后果既是充分的又是必要的，這樣的轉(zhuǎn)化能保證轉(zhuǎn)化的結(jié)果仍為原問題所需要的結(jié)果，非等價轉(zhuǎn)化其過程則是充分的或必要的，這樣的轉(zhuǎn)化能給人帶來思維的啟迪，找到解決問題的突破口，非等價變形要對所得結(jié)論進行必要的修改.非等價轉(zhuǎn)化（強化轉(zhuǎn)化和弱化轉(zhuǎn)化）在思維上帶有跳躍性，是難點，在壓軸題的解答中常常用到，一定要特別重視！3.轉(zhuǎn)化與化歸的原則（1）熟悉化原則：將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的或已經(jīng)解決的問題；（2）直觀化原則：將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題；（3）簡單化原則：將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊的問題；將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，使問題便與解決.（4）正難則反原則：若過正面問題難以解決，可考慮問題的反面，從問題的反面尋求突破的途徑；（5）低維度原則：將高維度問題轉(zhuǎn)化成低維度問題.4.轉(zhuǎn)化與化歸的基本類型（1） 正與反、一般與特殊的轉(zhuǎn)化；（2） 常量與變量的轉(zhuǎn)化；（3） 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；（4） 數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化；（5） 相等與不相等之間的轉(zhuǎn)化；（6） 實際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化.5常見的轉(zhuǎn)化方法（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；（2）換元法：運用“換元”把非標準形式的方程、不等式、函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易解決的基本問題；（3）參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化；（4）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題；（5）坐標法：以坐標系為工具，用代數(shù)方法解決解析幾何問題，是轉(zhuǎn)化方法的一種重要途徑；（6）類比法：運用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化的途徑；（7）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題；（8）一般化方法：若原問題是某個一般化形式問題的特殊形式且有較難解決，可將問題通過一般化的途徑進行轉(zhuǎn)化；（9）等價問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達到轉(zhuǎn)化目的；（10）補集法：（正難則反）若過正面問題難以解決，可將問題的結(jié)果看作集合A，而把包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補集獲得原問題的解決.立體幾何中的轉(zhuǎn)化與化歸，主要利用直接轉(zhuǎn)化法或坐標法，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題、將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題加以解決.【空間角的范圍處理錯誤注意點】解決此類問題，要注意各種空間角的給定范圍，容易在范圍上出現(xiàn)問題.【典例試題演練】1【xx屆湖北省武漢市部分學(xué)校新高三起點調(diào)研】設(shè)點是棱長為2的正方體的棱的中點，點在面所在的平面內(nèi)，若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，則點到點的最短距離是（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】A2【xx屆甘肅省張掖市民樂縣第一中學(xué)高三10月月考】如圖所示，已知二面角的平面角為， 為垂足， 且， ，設(shè)到棱的距離分別為，當變化時，點的軌跡是下列圖形中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】在平面內(nèi)過作，垂足為，連結(jié)， ，同理， ，即，又的軌跡是雙曲線在第一象限內(nèi)的部分，故選D.3【xx屆浙江省溫州市高三9月高考適應(yīng)性測試】如圖，正四面體中，、在棱、上，且，分別記二面角，的平面角為、，在（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】是正四面體，、在棱、上，且，可得為鈍角，為銳角，設(shè)到的距離為，到的距離為，到的距離為，到的距離為，設(shè)正四面體的高為 ,可得，由余弦定理可得 ，由三角形面積相等可得到，所以可以推出所以 ，故選D.4【xx屆廣西桂林市、崇左市、百色市高三下學(xué)期一?！吭诹庑沃校?，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，三棱錐的外接球球心為， 的中點為，則A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B【解析】因為在菱形 中， 的中點為,所以 ,則 ,所以 為二面角的平面角, ,由于,所以 為等邊三角形,若外接圓的圓心為,則平面,在等邊中, ,可以證明,所以,又,所以 ,在中, ,選B.5【xx屆重慶市第一中學(xué)高三下學(xué)期第二次月考】已知正三棱錐的側(cè)棱長為，若二面角的余弦值為，則三棱錐的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如圖，設(shè)正底面三角形的邊長為，則，故，又，故，即，所以三棱錐的體積，應(yīng)選答案A。6【xx屆河北省石家莊市高三第二次質(zhì)量檢測】設(shè)二面角的大小為，點在平面內(nèi)，點在上，且，則與平面所成的角的大小為_【答案】30【解析】如圖，作平面于點，在平面內(nèi)過作于點，連接，由三垂線定理得，所以為二面角的平面角，所以，又，所以連接，則為與平面的所成角設(shè)，則，所以，所以7【xx屆廣西南寧三中、柳鐵一中、玉林高中高三9月聯(lián)考】如圖，已知正四棱柱中，底面邊長，側(cè)棱 的長為4，過點作的垂線交側(cè)棱于點，交于點（1）求證： 平面；（2）求二面角的余弦值?！窘馕觥吭囶}分析：（1）因為是正四棱柱，所以可證得，同理可得，即得證平面（2）以DA、DC、分別為軸，建立直角坐標系，由，找出兩個面的法向量，代入公式即得解.試題解析：（1）連接AC，因為是正四棱柱，所以 同理可得又因為,所以平面 （2）解法一：以DA、DC、分別為軸，建立直角坐標系，設(shè)則，由設(shè)面DBE的法向量為.由由 令得： 設(shè)平面的法向量為.由，由令得： 設(shè)與所成的角為，則值由題意：二面角為銳角， 二面角的余弦值為 8【xx屆四川省成都市第七中學(xué)高三上學(xué)期半期考試】如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形， ，側(cè)棱，點分別為棱的中點， 的重心為，直線垂直于平面.（1）求證：直線平面；（2）求二面角的余弦.【解析】試題分析：（1）證線面平行，直接找線線平行即可，構(gòu)造平行四邊形，證明平行于DE，即可得到線線平行，進而得到線面平行。（2）建系，分別求出兩個半平面的法向量，根據(jù)公式得到法向量的夾角，從而得到二面角的大小。(1) 連結(jié) ，則在三角形中為中位線，于是， 因為為中點，所以平行且等于. 所以在平行四邊形中， 平行于因為在平面 上，所以平行于平面（2）分別以為軸建立空間直角坐標系設(shè)，則因為垂直于平面，所以有，解得，所以面的法向量，面的法向量為所以結(jié)合圖形知，二面角的平面角的余弦值為.9【xx屆河北省邢臺市高三上學(xué)期第二次月考】如圖，三棱柱的所有棱長均為2，底面?zhèn)让妫?， 為的中點， .（1）證明： .（2）若是棱上一點，滿足，求二面角的余弦值.【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，易證為平行四邊形，從而 .由底面?zhèn)让?，可得?cè)面，即，又側(cè)面為菱形，所以，從而平面，可證得AB1A1P（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.利用向量法求解試題解析;（1）取的中點，連接，易證為平行四邊形，從而 .由底面?zhèn)让?，底面?zhèn)让妫?， 底面，所以側(cè)面，即側(cè)面，又側(cè)面，所以，又側(cè)面為菱形，所以，從而平面，因為平面，所以.（2）由（1）知， ， ， ，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為側(cè)面是邊長為2的菱形，且，所以， ， ， ， ， ，得.設(shè)，得，所以，所以.而 .所以，解得.所以， ， .設(shè)平面的法向量，由得，取.而側(cè)面的一個法向量.設(shè)二面角的大小為.則 10【xx屆山西實驗中學(xué)、南海桂城中學(xué)高三上學(xué)期聯(lián)考】如圖所示，在中，斜邊，將沿直線旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)二面角的大小為.（1）取的中點，過點的平面與分別交于點，當平面平面時，求的長（2）當時，求二面角的余弦值.【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩個面平行的性質(zhì)，可以得出交線平行，利用中位線的性質(zhì)可得；（2）過點作交于點，可證明平面，建立以點為坐標原點建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角可求出二面角的余弦值.試題解析：（1）因為平面平面,平面平面，平面平面，所以.因為為的中點，所以為的中點.同理可證： 為的中點.所以.在中，斜邊,可知： ,即,所以.（2）過點作交于點,連接,則.因為，所以平面平面.因為平面平面， 平面，所以平面.以點為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系.在中， ，所以.所以.所以.設(shè)平面的一個法向量為，則可得令可得.易知： 平面.所以.所以二面角的余弦值為.11【xx屆云南省昆明一中高三第一次摸底測試】如圖，在直三棱柱中， ， ，點分別為的中點. （1）證明： 平面；（2）若，求二面角的余弦值.【解析】試題分析：（1）連接， ，點， 分別為， 的中點，可得為 的一條中位線， ，由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）先利用勾股定理證明，由題意以點 為坐標原點， 為軸， 為 軸， 為 軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果；試題解析：（1）證明：連接，點，分別為， 的中點，所以為的一條中位線， ，平面， 平面， 所以平面. （2）設(shè)，則， ，由，得，解得，由題意以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系.可得，故， ， ，設(shè)為平面的一個法向量，則，得，同理可得平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，所以，二面角的余弦值為.12【xx屆江西師大附屬中學(xué)10月高三月考】如圖所示的幾何體是由棱臺 和棱錐拼接而成的組合體，其底面四邊形是邊長為 的菱形，且 ， 平面 ， （1）求證：平面 平面 ；（2）求二面角的余弦值【解析】試題分析：（1）要證明平面平面，由面面垂直的判定定理知，需在某個平面上找到某條直線垂直于另一個平面，通過觀察分析，平面內(nèi)直線平面.要證明平面，又轉(zhuǎn)化為線面垂直問題， 平面，菱形中， ，又平面 .（2）連接、交于點，以為坐標原點，以為軸，以為 軸，如圖建立空間直角坐標系. ，同理,設(shè)平面的法向量，則 設(shè)平面DFC的法向量，則 設(shè)二面角為，