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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)32 二面角試題解讀與變式 【考綱要求】 1.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題. 2.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用. 【命題規(guī)律】 二面角的知識(shí)是高考的熱點(diǎn)問題，選擇、填空、解答題都有可能進(jìn)行考查.預(yù)計(jì)xx年的高考對(duì)本知識(shí)的考查空間向量的應(yīng)用，仍然是以簡單幾何體為載體解決線線問題．【典型高考試題變式】 （一）常規(guī)法求二面角的平面角 例1.【xx安徽卷（理）】如圖，四棱柱中，底面.四邊形為梯形，,且.過三點(diǎn)的平面記為，與的交點(diǎn)為. （1）證明：為的中點(diǎn)； （2）求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比； （3）若，，梯形的面積為6，求平面與底面所成二面角大小. 【解析】 試題分析：（1）利用面面平行來證明線線平行∥，則出現(xiàn)相似三角形，于是根據(jù)三角形相似即可得出，即為的中點(diǎn).（2）連接.設(shè)，梯形的高為，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為和，，則.先表示出和，就可求出，從而.（3）常規(guī)法，作出二面角.在中，作，垂足為，連接.又且，所以平面，于是.所以為平面與底面所成二面角的平面角.（1）證：因?yàn)椤?，?， 所以平面∥平面.從而平面與這兩個(gè)平面的交線相互平行，即∥. 故與的對(duì)應(yīng)邊相互平行，于是. 所以，即為的中點(diǎn). （2）解：如圖，連接.設(shè)，梯形的高為，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為和，，則. ， ， 所以， 又 所以， 故. 【方法技巧歸納】證明線面平行有兩種思路：第一尋求線線平行，利用線面平行的判定定理.第二尋求面面平行，本題借助平行四邊形和三角形中位線定理可以得到線線平行，進(jìn)而證明線面平行；求二面角一是傳統(tǒng)方法，“一作，二證，三求”，如本題的解析，二是建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量，求法向量，利用公式求角. 求二面角的常見方法有：1、利用定義找到二面角的平面角，根據(jù)平面幾何知識(shí)求解；2、利用公式 ，求出二面角的余弦，從而求得二面角的大小；3、利用空間相夾角余弦公式． 【變式1】【改編例題中條件】【xx屆安徽省馬鞍山市中加學(xué)校三?！咳鐖D，三棱柱中，四邊形是菱形， ， ,二面角為， . （Ⅰ）求證：平面平面; （Ⅱ）求二面角的余弦值. 【解析】試題分析：（1）由菱形可得，由棱柱和可得，由直線與平面垂直判定定理，可得,可證。（2）過交點(diǎn)作,垂足為,連則為二面角的平面角。由二面角為， ，可求得各線段長，即可算出二面角的平面角。 （2）由題意得為正三角形， 取得中點(diǎn)為D，連CD,BD, 則,又 易得,則為二面角的平面角， 因, =,所以, 所以 過交點(diǎn)作,垂足為,連 則為二面角的平面角， 又 得 所以 【變式2】【改編例題中條件】【xx湖南卷（理）】如圖6,四棱柱的所有棱長都相等,,四邊形和四邊形為矩形. (1)證明:底面; (2)若,求二面角的余弦值. 【解析】 試題分析:(1)要證明線面垂直,只需要在面內(nèi)找到兩條相交的線段與之垂直即可,即證明與垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面為菱形,進(jìn)而得到均為中點(diǎn),得到三者相互平行,四邊形均為矩形與平行相結(jié)合即可得到與垂直,進(jìn)而證明線面垂直. (2)要求二面角,此問可以以以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立三維直角坐標(biāo)系,利用空間向量的方法得到二面角的余弦值,在此說明第一種方法,做出二面角的平面角, 過作的垂線交于點(diǎn),連接.利用(1)得到,在利用四邊形為菱形,對(duì)角線相互垂直,兩個(gè)垂直關(guān)系即可得到垂直于平面,進(jìn)而得到,結(jié)合得到線面垂直,說明角即為哦所求二面角的平面角,設(shè)四棱柱各邊長為,利用勾股定理求出相應(yīng)邊長即可得到角的余弦值,進(jìn)而得到二面角的余弦值. (1)證明:四棱柱的所有棱長都相等 四邊形和四邊形均為菱形 分別為中點(diǎn) 四邊形和四邊形為矩形 且 又且底面 底面. 又且,面 面 又面 又且,面 面 為二面角的平面角,則 且四邊形為菱形 ,, 則 再由的勾股定理可得, 則,所以二面角的余弦值為. （二）向量法求二面角的平面角 例2.【xx全國1卷（理）】如圖所示，在四棱錐中，，且 (1)證明：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 【解析】（1）證明：因?yàn)?，所以? 又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?、平? 所以平面，又平面，所以平面平面 （2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，， 因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所? 由（1）知，平面，所以平面， 又、平面，所以，. 又因?yàn)?，所以，所以、、兩兩垂直? 所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 設(shè)，所以，，，， 所以，， 設(shè)為平面的法向量， 由，得. 令，則，，可得平面的一個(gè)法向量. 因?yàn)?，所以，又知平面，平面? 所以，又，所以平面， 即是平面的一個(gè)法向量， 所以. 由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為. 【方法技巧歸納】1.利用向量計(jì)算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大?。? (2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大?。? 2．利用法向量求二面角時(shí)的兩個(gè)注意點(diǎn) (1)對(duì)于某些平面的法向量要注意題中條件隱含著，不用單獨(dú)求． (2)注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結(jié)合圖形進(jìn)行，以防結(jié)論錯(cuò)誤. 【變式1】【改編例題條件】【xx全國2卷（理）】如圖所示，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，， 是的中點(diǎn). （1）證明：直線平面； （2）點(diǎn)在棱上，且直線與底面所成銳角為，求二面角的余弦值. （2）以中點(diǎn)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)，則，，，，， ．在底面上的投影為，所以．因?yàn)椋? 所以為等腰直角三角形． 因?yàn)闉橹苯侨切?，，所以? 設(shè)，，．所以． ．所以． 所以，，，． 設(shè)平面的法向量．，所以， ，．設(shè)平面的法向量為， ．所以． 所以二面角的余弦值為． 【變式2】【改編函數(shù)條件和問法】【xx全國3卷（理）】如圖所示，四面體中，是正三角形，是直角三角形， ，． （1）證明：平面平面； （2）過的平面交于點(diǎn)，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值． 【解析】⑴取中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，； 因?yàn)闉榈冗吶切危?，所? ，.所以，即為等腰直角三角形， 為直角又為底邊中點(diǎn)，所以. 令，則，易得：， 所以，由勾股定理的逆定理可得，即. ，所以平面. 又因?yàn)槠矫?，由面面垂直的判定定理可得平面平? ⑵由題意可知，即，到平面的距離相等，即為中點(diǎn). 以為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，， 易得：，，， 設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為， 則，解得，，解得. 若二面角為，易知為銳角，則. 【數(shù)學(xué)思想】 1.轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法，數(shù)學(xué)中一切問題的解決(當(dāng)然包括解題)都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，以上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn)。各種變換方法、分析法、反證法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段。所以說，轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂. 2. 轉(zhuǎn)化包括等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化，非等價(jià)轉(zhuǎn)化又分為強(qiáng)化轉(zhuǎn)化和弱化轉(zhuǎn)化 等價(jià)轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化過程中的前因后果既是充分的又是必要的，這樣的轉(zhuǎn)化能保證轉(zhuǎn)化的結(jié)果仍為原問題所需要的結(jié)果，非等價(jià)轉(zhuǎn)化其過程則是充分的或必要的，這樣的轉(zhuǎn)化能給人帶來思維的啟迪，找到解決問題的突破口，非等價(jià)變形要對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行必要的修改. 非等價(jià)轉(zhuǎn)化（強(qiáng)化轉(zhuǎn)化和弱化轉(zhuǎn)化）在思維上帶有跳躍性，是難點(diǎn)，在壓軸題的解答中常常用到，一定要特別重視！ 3.轉(zhuǎn)化與化歸的原則 （1）熟悉化原則：將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的或已經(jīng)解決的問題； （2）直觀化原則：將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題； （3）簡單化原則：將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊的問題；將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，使問題便與解決. （4）正難則反原則：若過正面問題難以解決，可考慮問題的反面，從問題的反面尋求突破的途徑； （5）低維度原則：將高維度問題轉(zhuǎn)化成低維度問題. 4.轉(zhuǎn)化與化歸的基本類型 （1） 正與反、一般與特殊的轉(zhuǎn)化； （2） 常量與變量的轉(zhuǎn)化； （3） 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化； （4） 數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化； （5） 相等與不相等之間的轉(zhuǎn)化； （6） 實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化. 5．常見的轉(zhuǎn)化方法 （1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題； （2）換元法：運(yùn)用“換元”把非標(biāo)準(zhǔn)形式的方程、不等式、函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易解決的基本問題； （3）參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化； （4）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題； （5）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用代數(shù)方法解決解析幾何問題，是轉(zhuǎn)化方法的一種重要途徑； （6）類比法：運(yùn)用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化的途徑； （7）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題； （8）一般化方法：若原問題是某個(gè)一般化形式問題的特殊形式且有較難解決，可將問題通過一般化的途徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化； （9）等價(jià)問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的； （10）補(bǔ)集法：（正難則反）若過正面問題難以解決，可將問題的結(jié)果看作集合A，而把包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補(bǔ)集獲得原問題的解決. 立體幾何中的轉(zhuǎn)化與化歸，主要利用直接轉(zhuǎn)化法或坐標(biāo)法，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題、將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題加以解決. 【空間角的范圍處理錯(cuò)誤注意點(diǎn)】 解決此類問題，要注意各種空間角的給定范圍，容易在范圍上出現(xiàn)問題. 【典例試題演練】 1．【xx屆湖北省武漢市部分學(xué)校新高三起點(diǎn)調(diào)研】設(shè)點(diǎn)是棱長為2的正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在面所在的平面內(nèi)，若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，則點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 2．【xx屆甘肅省張掖市民樂縣第一中學(xué)高三10月月考】如圖所示，已知二面角的平面角為， 為垂足， 且， ，設(shè)到棱的距離分別為，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)的軌跡是下列圖形中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 在平面內(nèi)過作，垂足為，連結(jié)， ，同理， ，即，又的軌跡是雙曲線在第一象限內(nèi)的部分，故選D. 3．【xx屆浙江省溫州市高三9月高考適應(yīng)性測試】如圖，正四面體中，、、在棱、、上，且，，分別記二面角，，的平面角為、、，在（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】是正四面體，、、在棱、、上，且，，可得為鈍角，為銳角，設(shè)到的距離為，到的距離為，到的距離為，到的距離為，設(shè)正四面體的高為 ,可得，由余弦定理可得 ，由三角形面積相等可得到，所以可以推出所以 ，故選D. 4．【xx屆廣西桂林市、崇左市、百色市高三下學(xué)期一?！吭诹庑沃?， ，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，三棱錐的外接球球心為， 的中點(diǎn)為，則 A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】因?yàn)樵诹庑?中， 的中點(diǎn)為,所以 ,則 ,所以 為二面角的平面角, ,由于,所以 為等邊三角形,若外接圓的圓心為,則平面,在等邊中, ,可以證明,所以,又,所以 ,在中, ,選B. 5．【xx屆重慶市第一中學(xué)高三下學(xué)期第二次月考】已知正三棱錐的側(cè)棱長為，若二面角的余弦值為，則三棱錐的體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 如圖，設(shè)正底面三角形的邊長為，則，故，又，故，即，所以三棱錐的體積，應(yīng)選答案A。 6．【xx屆河北省石家莊市高三第二次質(zhì)量檢測】設(shè)二面角的大小為，點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)在上，且，則與平面所成的角的大小為__________． 【答案】30 【解析】如圖，作平面于點(diǎn)，在平面內(nèi)過作于點(diǎn)，連接，由三垂線定理得，所以為二面角的平面角，所以，又，所以．連接，則為與平面的所成角．設(shè)，則，，，，所以，所以． 7．【xx屆廣西南寧三中、柳鐵一中、玉林高中高三9月聯(lián)考】如圖，已知正四棱柱中，底面邊長，側(cè)棱 的長為4，過點(diǎn)作的垂線交側(cè)棱于點(diǎn)，交于點(diǎn)． （1）求證： ⊥平面； （2）求二面角的余弦值。 【解析】試題分析：（1）因?yàn)槭钦睦庵钥勺C得，同理可得，即得證平面 （2）以DA、DC、分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，由，找出兩個(gè)面的法向量，代入公式即得解. 試題解析： （1）連接AC，因?yàn)槭钦睦庵? 所以 同理可得 又因?yàn)?所以平面． （2）解法一：以DA、DC、分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)則 ，由 設(shè)面DBE的法向量為.由 由 令得： 設(shè)平面的法向量為.由，由 令得： 設(shè)與所成的角為， 則值 由題意：二面角為銳角， 二面角的余弦值為 8．【xx屆四川省成都市第七中學(xué)高三上學(xué)期半期考試】如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形， ，側(cè)棱，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)， 的重心為，直線垂直于平面. （1）求證：直線平面； （2）求二面角的余弦. 【解析】試題分析：（1）證線面平行，直接找線線平行即可，構(gòu)造平行四邊形，證明平行于DE，即可得到線線平行，進(jìn)而得到線面平行。（2）建系，分別求出兩個(gè)半平面的法向量，根據(jù)公式得到法向量的夾角，從而得到二面角的大小。 (1) 連結(jié) ，則在三角形中為中位線，于是， 因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以平行且等于. 所以在平行四邊形中， 平行于 因?yàn)樵谄矫?上，所以平行于平面 （2）分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)，則 因?yàn)榇怪庇谄矫?，所以有? 解得，所以 面的法向量，面的法向量為 所以 結(jié)合圖形知，二面角的平面角的余弦值為. 9．【xx屆河北省邢臺(tái)市高三上學(xué)期第二次月考】如圖，三棱柱的所有棱長均為2，底面?zhèn)让妫?， 為的中點(diǎn)， . （1）證明： . （2）若是棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值. 【解析】試題分析：（1））取的中點(diǎn)，連接，易證為平行四邊形，從而 .由底面?zhèn)让?，可得?cè)面，即，又側(cè)面為菱形，所以，從而平面，可證得AB1⊥A1P． （2）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.利用向量法求解． 試題解析;（1）取的中點(diǎn)，連接，易證為平行四邊形，從而 .由底面?zhèn)让?，底面?zhèn)让妫?， 底面，所以側(cè)面，即側(cè)面，又側(cè)面，所以，又側(cè)面為菱形，所以，從而平面，因?yàn)槠矫妫? （2）由（1）知， ， ， ，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 因?yàn)閭?cè)面是邊長為2的菱形，且，所以， ， ， ， ， ，得.設(shè)，得，所以，所以.而 .所以，解得.所以， ， .設(shè)平面的法向量，由得，取.而側(cè)面的一個(gè)法向量.設(shè)二面角的大小為.則 10．【xx屆山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)、南海桂城中學(xué)高三上學(xué)期聯(lián)考】如圖所示，在中，斜邊，將沿直線旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)二面角的大小為. （1）取的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與分別交于點(diǎn)，當(dāng)平面平面時(shí)，求的長（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值. 【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩個(gè)面平行的性質(zhì)，可以得出交線平行，利用中位線的性質(zhì)可得；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可證明平面，建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角可求出二面角的余弦值. 試題解析：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面， 平面平面，所以. 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn). 同理可證： 為的中點(diǎn).所以. 在中，斜邊,可知： ,即, 所以. （2）過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接,則. 因?yàn)?，所以平面平? 因?yàn)槠矫嫫矫妫?平面，所以平面. 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 在中， ，所以. 所以.所以. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則可得令可得. 易知： 平面. 所以.所以二面角的余弦值為. 11．【xx屆云南省昆明一中高三第一次摸底測試】如圖，在直三棱柱中， ， ，點(diǎn)分別為的中點(diǎn). （1）證明： 平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【解析】試題分析：（1）連接， ，點(diǎn)， 分別為， 的中點(diǎn)，可得為 △的一條中位線， ，由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）先利用勾股定理證明，由題意以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸， 為 軸， 為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果； 試題解析：（1）證明：連接，，點(diǎn)，分別為， 的中點(diǎn)，所以為△的一條中位線， ， 平面， 平面， 所以平面. （2）設(shè)，則，， ， 由，得，解得， 由題意以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系. 可得，，，， 故，， ， ， 設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則 ，得，同理可得平面的一個(gè)法向量為， 設(shè)二面角的平面角為， ， ， 所以，二面角的余弦值為. 12．【xx屆江西師大附屬中學(xué)10月高三月考】如圖所示的幾何體是由棱臺(tái) 和棱錐拼接而成的組合體，其底面四邊形是邊長為 的菱形，且 ， 平面 ， ． （1）求證：平面 平面 ； （2）求二面角的余弦值． 【解析】試題分析： （1）要證明平面⊥平面，由面面垂直的判定定理知，需在某個(gè)平面上找到某條直線垂直于另一個(gè)平面，通過觀察分析，平面內(nèi)直線平面.要證明平面，又轉(zhuǎn)化為線面垂直問題， ⊥平面∴⊥，菱形中， ⊥，又∴平面 . （2）連接、交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為 軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系. ，同理 ,, 設(shè)平面的法向量 ，則 設(shè)平面DFC的法向量 ，則 設(shè)二面角為，