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北京師范大學(xué) 2016～2017學(xué)年第一學(xué)期期中考試 2016．11 初三數(shù)學(xué)試卷 試卷說明:本次考試滿分120分,考試時(shí)間120分鐘。 一、選擇題（本題共30分，每小題3分） 1.已知3x=5y (y 0), 那么下列比例式中正確的是 ( ). A. B. C. D. 2．如圖，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，∠ACB=35，則∠AOB的度數(shù)為( ). A．20 B．40 C．60 D．70 第2題圖 第4題圖 第5題圖 3．將二次函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后，所得圖象函數(shù)解析式是( ) A. B. C. D. 4．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，DE∥BC，若AD=6，BD=2，AE=9，則EC的長是( ). A．8 B．6 C．4 D．3 5. 如圖，點(diǎn)A, B, C在⊙O上，CO的延長線交AB于點(diǎn)D，∠A=50，∠B=30，則∠ADC的度數(shù)為( ). A.70 B.90 　 C.110 D.120 6.如圖,⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E,且CE=2,DE=8,則AB的長為( ). A.2 B.4 C.6 D.8 第6題圖 第7題圖 7.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式不正確的是( ). A．a(chǎn)bc＜0 B．a(chǎn)+b＋c＜0 C．2a-b＞0 D．4a－b＋c＜0 8.下列圖形中，繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)能與自身重合的有( ) ①正方形；②長方形；③等邊三角形；④線段；⑤角. A．5個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 9. 已知二次函數(shù)y=2(x+1)(x－a)，其中a>0，若當(dāng)x≤2時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)x≥2時(shí)y隨x增大而增大，則a的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 不確定 10．如圖，正方形ABCD中，AB=8 cm，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別從B，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以1 cm/s的速度沿BC，CD運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C，D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，△OEF的面積S(cm2)，則S(cm2)與t(s)的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示為( ). 二、填空題（本題共18分，每小題3分） E D A C B 11．如圖，∠DAB＝∠CAE，要使△ABC∽△ADE，則補(bǔ)充的一個(gè)條件可以是 （注：只需寫出一個(gè)正確答案即可） 第11題圖 第12題圖 12．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是BC延長線上一點(diǎn)，若∠BAD=105， 則∠DCE的度數(shù)是 . 13．如圖，在大小為44的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是　　 ．（寫出序號(hào)） 14．如圖,在△ABC中,∠=90,為上一點(diǎn),過作⊥交于,若=,=，=，則的長為__________． 15．如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝90，OA＝3，將扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n（0＜n＜180）后得到扇形O′AB′ ，當(dāng)點(diǎn)O在弧AB上時(shí)，n為 ，圖中陰影部分的面積為 ． 16．射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，經(jīng)過t秒，以點(diǎn)P為圓心，cm為半徑的圓與△ABC的邊相切，請寫出t可取的所有值 ． 三、解答題（本題共72分,第17～26題，每題5分，第27題7分，第28題7分，第29題8分） 17、拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值如下表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 從上表可知， ①拋物線與軸的交點(diǎn)為__________________；②拋物線的對(duì)稱軸是____________； ③函數(shù)的最大值為_____________；④x________，隨增大而增大． 18.如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)F，作DE⊥AC 于點(diǎn)E．求證：DE 是⊙O的切線； 19．已知：二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，． （1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式，并用配方法將其化為的形式； （2）用五點(diǎn)法畫出此函數(shù)圖象的示意圖． 20．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E是BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，把△ABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，設(shè)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F． （1）畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形． （2）在（1）的條件下， ①求EF的長；②求點(diǎn)E經(jīng)過的路徑弧EF的長． 21．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=2，AB=6，求AC的長． 22．如圖（1）是某河上一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀，拋物線兩端點(diǎn)與水面的距離都是1m，拱橋的跨度為10m，橋洞與水面的最大距離是5m，橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距離水面4m的景觀燈．現(xiàn)把拱橋的截面圖放在自己建立的平面直角坐標(biāo)系中． 求（1）拋物線的解析式； （2）兩盞景觀燈P1、P2之間的水平距. 23．已知直線l與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥l于點(diǎn)D. （1）如圖①，當(dāng)直線l與⊙O相切于點(diǎn)C時(shí)，求證：AC平分∠DAB； （2）如圖②，當(dāng)直線l與⊙O 相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，求證：∠DAE=∠BAF. 24. 在2014年“元旦”前夕，某商場試銷一種成本為30元的文化衫，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，若每件按34元的價(jià)格銷售，每天能賣出36件；若每件按39元的價(jià)格銷售，每天能賣出21件．假定每天銷售件數(shù)y（件）是銷售價(jià)格x (元)的一次函數(shù)． （1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) = ． （2）在不積壓且不考慮其他因素的情況下，每件的銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，才能使每天獲得的利潤P最大？ 25．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)G在弧BD上，連接AG，交CD于點(diǎn)K，過點(diǎn)G的直線交CD延長線于點(diǎn)E，交AB延長線于點(diǎn)F，且EG=EK． (1)求證：EF是⊙O的切線； (2)若⊙O的半徑為13，CH=12，AC∥EF，求OH和FG的長． 26．閱讀下面材料： 某同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90，BE是AC邊上的中線，點(diǎn)D在BC邊上，CD：BD=1：2，AD與BE相交于點(diǎn)P，求的值． 他發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)A作AF∥BC，交BE的延長線于點(diǎn)F，通過構(gòu)造△AEF，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決（如圖2）． 請回答：（1）的值為 　 ． 參考這個(gè)同學(xué)思考問題的方法，解決問題： 如圖 3，在△ABC中，∠ACB=90，點(diǎn)D在BC的延長線上，AD與AC邊上的中線BE的延長線交于點(diǎn)P，DC：BC：AC=1：2：3 ． （2）求 的值； （3）若CD=2，則BP= ． 27.已知拋物線y=ax2-2(a-1)x+a-2(a>0)． （1）求證：拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)； （2）設(shè)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2（其中x1>x2）．若是關(guān)于的函數(shù)，且y=ax2+x1,求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式； （3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：若使y≤-3a2+1,則自變量a的取值范圍為 ． 28．已知，∠BAC=90，AB=AC=2點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，∠DEF=45且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點(diǎn)P，Q. （1）如圖2，若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，將∠DEF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交于點(diǎn)P，EF與CA的延長線交于點(diǎn)Q.設(shè)BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍； （2）如圖3，點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)（不與B，C重合），且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A,EF與邊AC交于Q點(diǎn)．探究：在∠DEF運(yùn)動(dòng)過程中，△AEQ能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由． 29.在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)的定義如下：若為直線PC與⊙C的一個(gè)交點(diǎn)，滿足，則稱為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)，右圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)的示意圖． （1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)． ① 分別判斷點(diǎn)M ，N ，T 關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)是否存在？若存在，求其坐標(biāo)； ②點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,0），DE，DF分別切⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)F，點(diǎn)P在△DEF的邊上.若點(diǎn)P關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)存在，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍； （2）保持（1）中D，E，F(xiàn)三點(diǎn)不變，點(diǎn)P在△DEF的邊上沿E→F→D→E的方向運(yùn)動(dòng)，⊙C的圓心C的坐標(biāo)為（1,0），半徑為r.請從下面兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答. 溫馨提示：任選1題，兩題均答不重復(fù)計(jì)分. 問題1 問題2 若點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)存在，且隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)所形成的路徑長為，則r的最小值為__________． 若點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)不存在，則r的取值范圍為________. 參考答案 1.A. 2.D 3.C 4.D 5.C 6.D 7.C 8.C 9.B 10.B 11.∠B=∠D. 12.105 13.①②③ 14.4 15.60；3π． 16.t=2或3≤t≤7或t=8． 17.(1)-2,3(2)x=0.5,(3),(4)x< 18.連接OD,因?yàn)檎切蜛BC,所以∠B=60，OB=OD,所以△OBD為等邊三角形，所以∠BOD=∠A=60， 所以O(shè)D//AC,因?yàn)镈E⊥AC,所以O(shè)D⊥DE.所以DE為圓O的切線. 19.y=-(x-2)2+1 20.解：（1）如圖1所示．△ADF為所求． （2）①如圖2，依題意，AE=AF，∠EAF=90． 在Rt△ABE中，∵AB=2，BE=BC=1，∴AE=. 在Rt△AEF中，EF=. ②∵∠EAF=90，AE=AF=∴l(xiāng)=,∴弧EF的長為. 21.因?yàn)椤螦CD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，所以△ACD∽△ABC,所以,AC2=AD?AB.所以AC=. 22.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，5），且經(jīng)過點(diǎn)（0，1）， 設(shè)拋物線解析式為y=a（x-5）2+5， 把點(diǎn)（0，1）代入得：1=a（0-5）2+5，即a=-,∴拋物線解析式為y=-（x-5）2+5． 令y=4，得x1=,x2=.∴盞景觀燈之間的水平距離是-=5m． 23.（1）如圖①，連接OC，∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥l， ∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC， ∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30； （2）如圖②，連接BF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90，∴∠BAF=90﹣∠B， ∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90+18=108， 在⊙O中，四邊形ABFE是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠AEF+∠B=180，∴∠B=180﹣108=72， ∴∠BAF=90﹣∠B=90﹣72=18． 24. （1）證明：連接OG， ∵弦CD⊥AB于點(diǎn)H， ∴∠AHK=90， ∴∠HKA+∠KAH=90，∵EG=EK，∴∠EGK=∠EKG， ∵∠HKA=∠GKE，∴∠HAK+∠KGE=90， ∵AO=GO，∴∠OAG=∠OGA，∴∠OGA+∠KGE=90，∴GO⊥EF，∴EF是⊙O的切線； （2）解：連接CO，在Rt△OHC中， ∵CO=13，CH=12，∴HO=5，∴AH=8， ∵AC∥EF，∴∠CAH=∠F，∴tan∠CAH=tan∠F=, 在Rt△OGF中，∵GO=13，∴FG=. 26. （2）6 27.（1）因?yàn)閎2-4ac=4(a-1)2-4a(a-2)=4>0，所以拋物線與x軸有兩個(gè)同的交點(diǎn)； （2）當(dāng)y=0時(shí)，ax2-2(a-1)x-(a-2)=0,x1=1,x2=,所以y=a-1 （3） 28.