2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題 理（含解析）湘教版【試卷綜析】試題考查的知識(shí)涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等幾章知識(shí)，重視學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考察，同時(shí)側(cè)重考察了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維能力的考察，知識(shí)點(diǎn)綜合與遷移。試卷的整體水準(zhǔn)應(yīng)該說比較高，綜合知識(shí)、創(chuàng)新題目的題考的有點(diǎn)少,試題適合階段性質(zhì)考試.注意事項(xiàng)：請(qǐng)本卷共21道小題，滿分150分，時(shí)間120分鐘。選擇題（每小題5分，共10小題，滿分50分）1設(shè)集合，, 則（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】交集.A1【答案解析】D 解析：解：因?yàn)镹集合表示大于等于-1的整數(shù)，所以D選項(xiàng)正確. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意求出集合N，再利用交集求出結(jié)果.2.“”是“”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件【知識(shí)點(diǎn)】充要條件.A2【答案解析】B 解析：解：，但a,b屬于實(shí)數(shù)，而，所以“”是“”的必要不充分條件，所以B選項(xiàng)正確.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得兩個(gè)條件的關(guān)系，利用充要關(guān)系可推得B正確.3. 已知, 則( )A B C D【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)與對(duì)數(shù).B6,B7【答案解析】B解析：解：由題意可得，所以只有B正確.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系直接代入求出結(jié)果.4. 已知函數(shù), 則下列結(jié)論正確的是 ( ) A是偶函數(shù) B. 是增函數(shù) C的值域?yàn)?，) D. 是周期函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.B4【答案解析】D 解析：解：由分段函數(shù)的圖像可知函數(shù)是不是偶函數(shù)，不是單調(diào)增函數(shù)，在整個(gè)定義域上不是周期函數(shù)，計(jì)算可知的值域?yàn)?，)，所以C正確.【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)的值域?yàn)?，) 5. 已知命題，命題:.下面結(jié)論正確的是（ ）A命題“”是真命題 B. 命題“”是假命題C命題 “”是真命題 D命題“”是假命題【知識(shí)點(diǎn)】命題.A2【答案解析】D 解析：解：由題意可知p為真命題，q為假命題，所以根據(jù)命題的真假可知D為正確選項(xiàng). 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知命題的真假可以找出正確選項(xiàng).6.曲線與直線及所圍成的封閉圖形的面積為（ ) A B. C D【知識(shí)點(diǎn)】定積分與面積.B13【答案解析】D 解析：解：由曲線與直線y=x-1聯(lián)立，解得，x=-1，x=2，故所求圖形的面積為故答案為：4-2ln2 【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的定積分求出所圍成圖形的面積.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,值域?yàn)?，則的值不可能是( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì).B1【答案解析】A 解析：解：函數(shù)y=2sinx的定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)?2，1，xa，b時(shí)，定義域的區(qū)間長(zhǎng)度b-a最小為，最大為故選 D 【思路點(diǎn)撥】由定義域的區(qū)間長(zhǎng)度可直接求出結(jié)果.8.若函數(shù)的圖象如圖所示，則等于（ ）A B. CD【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像.B1,B5【答案解析】B 解析： 解：由題可知的兩根為，所以在的最大值時(shí)，最得最小值2，所以可得=【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件與圖像可知函數(shù)的取值，再列出關(guān)系式求出比值.9已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，若，則（ ） A B. C D 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性.B4【答案解析】B 解析：解：由題可知，所以B正確. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知函數(shù)，代入可得結(jié)果.10. 已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)形結(jié)合；直線斜率.H1【答案解析】B 解析：解：令f（x）=|x-2|+1，g（x）=kx，將方程|x-2|-kx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x），g（x）有2個(gè)交點(diǎn)，由題意可得函數(shù)f（x）的圖象（藍(lán)線）和函數(shù)g（x）的圖象（紅線）有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：數(shù)形結(jié)合可得，故選：B 【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)的圖像可以滿足條件的k的取值范圍.二、選擇題（每小題5分，共7小題，滿分35分）11. . 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.C2【答案解析】解析：解：由誘導(dǎo)公式可得 【思路點(diǎn)撥】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可直接求出結(jié)果.12. 已知冪函數(shù)在處有定義，則實(shí)數(shù) .【知識(shí)點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的定義，函數(shù)的性質(zhì).B8【答案解析】2 解析：解：因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以 .【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的定義可列出條件，結(jié)合題目中的條件可求出結(jié)果.13曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為 .【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù).B11【答案解析】 解析：解： 時(shí)【思路點(diǎn)撥】由復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可求出M點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即切線的斜率.14若函數(shù)在內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與極值.B11【答案解析】 解析：解：由題意得，函數(shù)f（x）=x3-6bx+3b 的導(dǎo)數(shù)為 =3x2-6b 在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，且f（0）0，0 即-6b0，且（3-6b）0故答案為： 【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)和已知條件可直接求出b的取值范圍.15. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，給出以下命題：當(dāng)時(shí)，； 函數(shù)有五個(gè)零點(diǎn)；若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；恒成立.其中，正確命題的序號(hào)是 . 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì).B10【答案解析】 解析：解：令z<0,所以-x>0,所以，所以，所以正確；觀察在x<0時(shí)的圖像，令，x=-2, 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而在上，在， ，所以在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，在上也有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，所以該函?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，做出它的圖像可知源:由圖可知，若關(guān)于的方程有解，則，且對(duì)恒成立.【思路點(diǎn)撥】利用數(shù)形結(jié)合方法，我們可以逐一進(jìn)行分析判斷即可.三、解答題（本大題共6小題, 滿分75分）16、(本題滿分12分) 設(shè)是單位圓和軸正半軸的交點(diǎn)，是單位圓上兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，, . （1）若點(diǎn)的坐標(biāo)是 其中，求的值. （2）設(shè), 函數(shù)，求的值域【知識(shí)點(diǎn)】單位圓與三角函數(shù)的定義.C1【答案解析】(1)=.(2) 的值域是解析： 解：（1）由， . .3分 所以=. .6分（2）由已知有, .8分因?yàn)?，則，所以. 故的值域是. .12分【思路點(diǎn)撥】根據(jù)單位圓的性質(zhì)可求出三角函數(shù)值，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出值域.17、(本題滿分12分) 已知函數(shù)滿足，對(duì)任意都有，且 （1）求函數(shù)的解析式. （2）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上為減函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)解析式.B1,B7【答案解析】(1)(2) 解析：解：（1）由滿足，對(duì)任意都有，且，所以函數(shù)的圖像對(duì)稱軸為直線，任意都有即對(duì)任意成立，(2)由（1）知，其定義域?yàn)镽令要使函數(shù)在上為減函數(shù)，只需要函數(shù)在上為增函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有，解得，故存在實(shí)數(shù)a,當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)【思路點(diǎn)撥】由已知條件可求出函數(shù)，再由復(fù)合函數(shù)的關(guān)系可證明函數(shù)的單調(diào)性.18、(本題滿分12分) 如圖，已知在直四棱柱（側(cè)棱垂直底面的棱柱）中， （1）求證：平面.（2）求與平面所成的角的的正弦值【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直；直線與平面所成角.G4,G5【答案解析】D 解析： 解法一：（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連結(jié)，則四邊形為正方形，故，即. 2分又， .3分EBCDAFMH平面， .5分（2）由（1）知平面，又平面，取的中點(diǎn), 連結(jié)，又，則取的中點(diǎn)，連結(jié)，則,.平面，則過向平面引垂線,垂足必落在上為直線與平面所成的角8分連結(jié)，在中，取的中點(diǎn)，連結(jié)，在中， .10分 與平面所成的角的的正弦值為 .12分解法二：（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，,. . 2分, .3分 又因?yàn)?所以，平面. .5分（2）設(shè)為平面的一個(gè)法向量由，得 取，則 .8分又 .9分設(shè)與平面所成的角為，則, 即與平面所成的角的的正弦值 .12分【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的關(guān)系可直接求出結(jié)果.19、(本題滿分13分)如圖所示,一座小島距離海岸線上最近的點(diǎn)的距離是，從點(diǎn)沿海岸正東處有一個(gè)城鎮(zhèn)。假設(shè)一個(gè)人駕駛的小船的平均速度為，步行的速度是，用（單位：）表示他從小島到城鎮(zhèn)的時(shí)間，（單位：）表示此人將船停在海岸處距點(diǎn)的距離。（1）請(qǐng)將表示為的函數(shù).（2）將船停在海岸處距點(diǎn)多遠(yuǎn)時(shí)從小島到城鎮(zhèn)所花時(shí)間最短？最短時(shí)間是多少?解：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值.B3,B10【答案解析】(1) (2) 時(shí),最小,且最短時(shí)間為.解析：解： （1） 5分（2） 7分 , 令得. 9分 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增. 11分 故當(dāng)時(shí),最小,且最短時(shí)間為. 13分【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意列出關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值.20、(本題滿分13分) （1）用導(dǎo)數(shù)證明: 若,則. （2）若對(duì)恒成立，求的最大值與的最小值【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與不等式;函數(shù)的最值.B3,B11【答案解析】D 解析： 解：（1）設(shè)f(x) = x - sinx，g(x) = tanx - x，x(0，/2) f(x) = 1 - cosx > 0 g(x) = (1/cosx) - 1 > 0 由 于f(x)和g(x)在(0，/2)上都是單調(diào)遞增函數(shù) 所以f(x) > f(0) = 0，g(x) > g(0) = 0 => x - sinx > 0 ， tanx - x > 0 => x > sinx ，tanx > x sinx < x < tanx，x(0，/2) 6分（2）當(dāng)x>0時(shí)，“>a”等價(jià)于“sin xax>0”，“<b”等價(jià)于“sin xbx<0”令g(x)sin xcx，則g(x)cos xc.討論：當(dāng)c0時(shí)，g(x)>0對(duì)任意x恒成立當(dāng)c1時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意x，g(x)cos xc<0，所以g(x)在區(qū)間上單 調(diào)遞減，從而g(x)<g(0)0對(duì)任意x恒成立 8分當(dāng)0<c<1時(shí)，存在唯一的x0使得g(x0)cos x0c0.g(x)與g(x)在區(qū)間上的情況如下：x(0，x0)x0g(x)0g(x)遞增遞減因?yàn)間(x)在區(qū)間(0，x0)上是增函數(shù)，所以g(x0)>g(0)0. 于是“g(x)>0對(duì)任意x恒 成立”當(dāng)且僅當(dāng)g1c0，即0<c. 11分綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)c時(shí)，g(x)>0對(duì)任意x恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)c1時(shí)，g(x)<0對(duì)任意x恒成立所以，若對(duì)任意恒成立，則的最大值為，的最小值為1.【思路點(diǎn)撥】利用比較法找出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值證明值的大小及不等關(guān)系，利用函數(shù)性質(zhì)對(duì)不等關(guān)系進(jìn)行證明.21. （本小題滿分13分) 已知函數(shù) 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) （1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并求出極值. （2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)證明不等式.B3,B11【答案解析】略 解析： 解：（1）因?yàn)閒 (x)m 1分當(dāng)m0時(shí)， f (x)0，所以函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞增，此時(shí)f (x)無極值. 2分當(dāng)時(shí)，令f (x)0，得. 若，即時(shí)，當(dāng)時(shí), f (x)<0，函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞減，此時(shí)f (x)無極值； 4分 若,即時(shí),由函數(shù)的圖像可知函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞 增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)f (x)有極大值為, 無極小值。 6分綜上，當(dāng)m0時(shí)，f (x)在上單調(diào)遞增，f (x)無極值. 當(dāng)時(shí)，f (x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)f (x)有極大值為,無極小值.當(dāng)時(shí)，f (x)在上單調(diào)遞減，f (x)無極值 7分（2）不妨設(shè)x1x20因?yàn)閒 (x1)f (x2)0，所以lnx1mx10，lnx2mx20，可得lnx1lnx2m(x1x2)，lnx1lnx2m(x1x2)要證x1x2e2，即證lnx1lnx22，也就是m(x1x2)2因?yàn)閙，所以即證，即ln10分令t，則t1，于是lnt 令j(t)lnt（t1），則j (t)0故函數(shù)j(t)在（1，）上是增函數(shù)，所以j(t)j(1)0，即lnt成立 所以原不等式成立 13分【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，找出適合的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.