2019-2020年高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線與方程綜合題專練 北師大版選修1-11(xx湖南文，20)已知拋物線C1：x24y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2.過點(diǎn)F的直線l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于C，D兩點(diǎn)，且A與B同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直線l的斜率解析(1)由C1：x24y知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)，因?yàn)镕也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)，所以a2b21 ；又C1與C2的公共弦長(zhǎng)為2，C1與C2都關(guān)于y軸對(duì)稱，且C1的方程為：x24y，由此易知C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，1，聯(lián)立得a29，b28，故C2的方程為1.(2)如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，因與同向，且|AC|BD|，所以，從而x3x1x4x2，即x3x4x1x2，于是(x3x4)24x3x4(x1x2)24x1x2設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為ykx1，由得x24kx40，由x1，x2是這個(gè)方程的兩根，x1x24k，x1x24由得(98k2)x216kx640，而x3，x4是這個(gè)方程的兩根，x3x4，x3x4 將、代入，得16(k21).即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直線l的斜率為.2(xx安徽文，20)設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，點(diǎn)M在線段AB上，滿足|BM|2|MA|，直線OM的斜率為.(1)求E的離心率e；(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，b)，N為線段AC的中點(diǎn)，證明：MNAB.解析(1)|BM|2|MA|且A(a,0)，B(0，b)，M(a，b)又OM的斜率為，e.(2)由題意可知N點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，kMN，kAB，kMNkAB1.MNAB.3(xx廣東文，20)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由解析(1)圓C1：x2y26x50化為(x3)2y24，所以圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0)(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，由圓的性質(zhì)可得C1M垂直于直線l.設(shè)直線l的方程為ymx(易知直線l的斜率存在)，所以kC1Mm1，y0mx0，所以1，所以x3x0y0，即2y.因?yàn)閯?dòng)直線l與圓C1相交，所以2，所以m2，所以ym2xx，所以3x0xx，解得x0或x00，又因?yàn)?x03，所以x03.所以M(x0，y0)滿足2y，即M的軌跡C的方程為2y2.(3)由題意知直線L表示過定點(diǎn)T(4,0)，斜率為k的直線結(jié)合圖形，2y表示的是一段關(guān)于x軸對(duì)稱，起點(diǎn)為按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到的圓弧根據(jù)對(duì)稱性，只需討論在x軸下方的圓弧設(shè)P，則kPT，而當(dāng)直線L與軌跡C相切時(shí)，解得k.在這里暫取k，因?yàn)?，所以kPTk.可得對(duì)于x軸下方的圓弧，當(dāng)0k或k時(shí)，直線L與x軸下方的圓弧有且只有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知k或k.綜上所述：當(dāng)k或k時(shí)，直線L：yk(x4)與曲線C只有一交點(diǎn)4(xx陜西文，20)如圖，橢圓E：1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(0，1)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.解析(1)由題意知，b1，綜合a2b2c2，解得a，所以，橢圓的方程為y21.(2)由題設(shè)知，直線PQ的方程為yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，則x1x2，x1x2，從而直線AP與AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)()2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.5(xx天津文，19)已知橢圓1(a>b>0)的上頂點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為F，離心率為.(1)求直線BF的斜率；(2)設(shè)直線BF與橢圓交于點(diǎn)P(P異于點(diǎn)B)，過點(diǎn)B且垂直于BP的直線與橢圓交于點(diǎn)Q(Q異于點(diǎn)B)，直線PQ與y軸交于點(diǎn)M，|PM|MQ|.(i)求的值；(ii)若|PM|sinBQP，求橢圓的方程解析(1)F(c,0)，由已知離心率及a2b2c2，可得ac，b2c，又因?yàn)锽(0，b)，F(xiàn)(c,0)故直線BF的斜率k2.(2)設(shè)點(diǎn)P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)(i)由(1)可得橢圓方程為1，直線BF的方程為y2x2c，兩方程聯(lián)立消去y，得3x25cx0，解得xP.因?yàn)锽QBP，所以直線BQ的方程為yx2c，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得21x240cx0，解得xQ.又因?yàn)?，及xM0，得.(ii)由(i)得，所以，即|PQ|PM|，又因?yàn)閨PM|sinBQP，所以|BP|PQ|sinBQP|PM|sinBQP.又因?yàn)閥P2xP2cc，所以|BP|c，因此c，c1，所以橢圓方程為1.6(xx新課標(biāo)卷文，20)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解析(1)由題意有，1，解得a28，b24，所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，把ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb，于是直線OM的斜率kOM，即kOMk，所以直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值