2019-2020年高中數(shù)學 答疑解惑 回歸分析 北師大版選修2-3一.回歸含義探究“回歸”一詞是由英國生物學家F.Galton在研究人體身高的遺傳問題時首先提出的。如根據遺傳學的觀點，子輩的身高受父輩影響，以X記父輩身高，Y記子輩身高。雖然子輩身高一般受父輩影響，但同樣身高的父親，其子身高并不一致，因此，X和Y之間存在一種相關關系。一般而言，父輩身高者，其子輩身高也高.依此推論祖祖輩輩遺傳下來,身高必然向兩極分化，而事實上并非如此，顯然有一種力量將身高拉向中心，即子輩的身高有向中心回歸的特點,“回歸”一詞即源于此。不過，現(xiàn)代回歸分析雖然沿用了“回歸”一詞，但內容已有很大變化，它是一種應用于許多領域的廣泛的分析研究方法，在經濟理論研究和實證研究中也發(fā)揮著重要作用。二.如何認識相關關系研究兩個變量間的相關關系是學習本節(jié)的目的。對于相關關系我們可以從下三個方面加以認識：（1）相關關系與函數(shù)關系不同。函數(shù)關系中的兩個變量間是一種確定性關系。例如正方形面積S與邊長x之間的關系就是函數(shù)關系。即對于邊長x的每一個確定的值，都有面積S的惟一確定的值與之對應。相關關系是一種非確定性關系，即相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系。例如人的身高與年齡；商品的銷售額與廣告費等等都是相關關系.（2）函數(shù)關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系。例如有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童，身高與閱讀技能有很強的相關關系。然而學會新詞并不能使兒童馬上長高，而是涉及到第三個因素年齡，當兒童長大一些，他們的閱讀能力會提高而且由于長大身高也會高些。（3）函數(shù)關系與相關關系之間有著密切聯(lián)系，在一定的條件下可以相互轉化。例如正方形面積S與其邊長x間雖然是一種確定性關系，但在每次測量邊長時，由于測量誤差等原因，其數(shù)值大小又表現(xiàn)出一種隨機性。而對于具有線性關系的兩個變量來說，當求得其回歸直線后，我們又可以用一種確定性的關系對這兩個變量間的關系進行估計。相關關系在現(xiàn)實生活中大量存在，從某種意義上講，函數(shù)關系是一種理想的關系模型，而相關關系是一種更為一般的情況。因此研究相關關系，不僅可使我們處理更為廣泛的數(shù)學應用問題，還可使我們對函數(shù)關系的認識上升到一個新的高度。三.認識回歸分析應注意的幾個方面現(xiàn)階段所研究的回歸分析是回歸分析中最簡單，也是最基本的一種類型元線性回歸分析.回歸分析是通過一個變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化.對于線性回歸分析，我們要注意以下幾個方面：（1）回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法。兩個變量具有相關關系是回歸分析的前提。（2）散點圖是定義在具有相關系的兩個變量基礎上的，對于性質不明確的兩組數(shù)據，可先作散點圖，在圖上看它們有無關系，關系的密切程度，然后再進行相關回歸分析。（3）求回歸直線方程，首先應注意到，只有在散點圖大至呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義。四應用回歸分析解決問題的一般步驟首先,根據理論和對問題的分析判斷，將變量分為自變量和因變量；其次，設法找出合適的數(shù)學方程式（即回歸模型）描述變量間的關系；由于涉及到的變量具有不確定性，接著還要對回歸模型進行統(tǒng)計檢驗；統(tǒng)計檢驗通過后，最后是利用回歸模型，根據自變量去估計、預測因變量.其具體步驟是：收集數(shù)據作散點圖求回歸直線方程利用方程進行預報.五.析案例 探問題案例：女大學生的身高與體重從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據如下表所示：編號12345678身高/cm165165 157 170 175 165 155 170體重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重. 解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關系。3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上如下圖，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關系。我們可以用線性回歸模型來表示：y=bx+a+，其中a和b為模型的未知參數(shù)，稱為隨機誤差。 根據最小二乘法估計和就是未知參數(shù)a和b的最好估計， 于是有b= 所以回歸方程是 .所以，對于身高為172cm的女大學生，由回歸方程可以預報其體重為.對以上案例提出問題問題1.身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？答：身高為172cm的女大學生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認為她的體重在60.316kg左右。問題2.產生隨機誤差項的原因是什么？隨機誤差的來源(可以推廣到一般）：(1)、其它因素的影響：影響身高 y 的因素不只是體重 x，可能還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環(huán)境等因素；(2)、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差；(3)、身高 y 的觀測誤差.問題3. 線性回歸模型與一次函數(shù)的不同：事實上，觀察上述散點圖，我們可以發(fā)現(xiàn)女大學生的體重和身高之間的關系并不能用一次函數(shù)來嚴格刻畫（因為所有的樣本點不共線，所以線性模型只能近似地刻畫身高和體重的關系）. 在數(shù)據表中身高為165cm的3名女大學生的體重分別為48kg、57kg和61kg，如果能用一次函數(shù)來描述體重與身高的關系，那么身高為165cm的3名女在學生的體重應相同. 這就說明體重不僅受身高的影響還受其他因素的影響，把這種影響的結果（稱為隨機誤差或殘差變量）引入到線性函數(shù)模型中，得到線性回歸模型，其中變量中包含體重不能由身高的線性函數(shù)解釋的所有部分. 當變量恒等于0時，線性回歸模型就變成一次函數(shù)模型. 因此，一次函數(shù)模型是線性回歸模型的特殊形式，線性回歸模型是一次函數(shù)模型的一般形式.