第十章 圓錐曲線第63課 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1（2012哈爾濱質(zhì)檢）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）A1 B C D. 【答案】D【解析】 ， ， 設(shè)， ，即 ， 又 ，解得 ，2（2012萊蕪質(zhì)檢）若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則最小值為（ ） A B C D【答案】A 【解析】由已知可得，設(shè)，則， ，時(shí)，取得最小值3（2012上海閘北質(zhì)檢）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，過的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且，成等差數(shù)列（1）求證：；（2）若直線的斜率為1，且點(diǎn)在橢圓上，求橢圓的方程【解析】（1）由題設(shè)，得， 由橢圓定義， （2）由點(diǎn)在橢圓上，可設(shè)橢圓的方程為，設(shè)，：，由，得，（*）則， 解得，橢圓的方程為 4已知、分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段與軸的交點(diǎn)為線段的中點(diǎn) （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）點(diǎn)是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于，求的值【解析】（1）點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，是的中位線，又，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （2）點(diǎn)在橢圓上，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，在，由正弦定理， 5（2012北京石景山一模）已知橢圓（）右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，短軸長(zhǎng)為（1）求橢圓的方程； （2）過左焦點(diǎn)的直線與橢圓分別交于、兩點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)為，求直線的方程【解析】（1）由題意得 ，解得 橢圓方程為 （2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)， 此時(shí)不符合題意故舍掉； 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：， 由，得 設(shè) ，則 ， ， 由， 直線，或 6 (2013揭陽聯(lián)考) 如圖，在中，以、為焦點(diǎn)的橢圓恰好過的中點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的右頂點(diǎn)作直線與圓相交于、兩點(diǎn)，試探究點(diǎn)、能將圓分割成弧長(zhǎng)比值為的兩段弧嗎？若能，求出直線的方程；若不能，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）， ， ， ，又，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （2）橢圓的右頂點(diǎn)，圓圓心為，半徑.假設(shè)點(diǎn)、能將圓分割成弧長(zhǎng)比值為的兩段弧，則，圓心到直線的距離. 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離（符合），當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，即，圓心到直線的距離，無解. 綜上：點(diǎn)M、N能將圓分割成弧長(zhǎng)比值為的兩段弧，此時(shí)方程為. 5