第第6節(jié)節(jié) 幾何概型幾何概型 最新考綱 1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率；2.了解幾何概型的意義. 1.幾何概型的定義 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的 (面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型. 知知 識識 梳梳 理理 長度 2.幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn) (1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有 ； (2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有 . 3.幾何概型的概率公式 P(A) . 無限多個(gè) 等可能性 構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積） 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.幾何概型的基本事件的個(gè)數(shù)是無限的，古典概型中基本事件的個(gè)數(shù)是有限的，前者概率的計(jì)算與基本事件的區(qū)域長度(面積或體積)的大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān). 2.幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果. 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) 答案 (1) (2) (3) (4) (1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.( ) (2)從區(qū)間1，10內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到 1 的概率是110.( ) (3)概率為 0 的事件一定是不可能事件.( ) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.( ) 診診 斷斷 自自 測測 2.(必修3P140練習(xí)1改編)有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機(jī)會，應(yīng)選擇的游戲盤是( ) 答案 A 解析 如題干選項(xiàng)中圖，各種情況的概率都是其面積比，中獎的概率依次為 P(A)38，P(B)28，P(C)26，P(D)13，所以 P(A)P(C)P(D)P(B). 答案 B 解析 至少需要等待 15 秒才出現(xiàn)綠燈的概率為40154058. 3.(2016 全國卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為 40 秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈， 則至少需要等待 15 秒才出現(xiàn)綠燈的概率為( ) A.710 B.58 C.38 D.310 解析 任取的兩個(gè)數(shù)記為x，y，所在區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，而符合題意的x，y位于陰影區(qū)域內(nèi)(不包括x，y軸). 答案 B 4.(2018 莆田質(zhì)檢)從區(qū)間(0，1)中任取兩個(gè)數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長，則所取的兩個(gè)數(shù)使得斜邊長度不大于 1 的概率是( ) A.8 B.4 C.12 D.34 故所求概率 P1412114. 5.如圖所示，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為_. 答案 0.18 解析 由題意知，這是個(gè)幾何概型問題，S陰S正1801 0000.18，因?yàn)?S正1，所以 S陰0.18. 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 與長度與長度(角度角度)有關(guān)的幾何概型有關(guān)的幾何概型 【例 1】 (1)(2016 全國卷)某公司的班車在 7：30，8：00，8：30 發(fā)車，小明在 7：50至 8：30 之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過 10 分鐘的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 (2)如圖，四邊形 ABCD 為矩形，AB 3，BC1，以 A 為圓心，1 為半徑作四分之一個(gè)圓弧DE，在DAB 內(nèi)任作射線 AP，則射線 AP 與線段 BC 有公共點(diǎn)的概率為_. 解析 (1)如圖所示，畫出時(shí)間軸： 小明到達(dá)的時(shí)間會隨機(jī)的落在圖中線段 AB 上，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段 AC 或DB 上時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過 10 分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率 P10104012. 依題意，點(diǎn) P在BD上任何位置是等可能的，且射線 AP 與線段 BC 有公共點(diǎn)，則事件“點(diǎn) P在BC上發(fā)生”. 又在 RtABC 中，易求BACBAC6. 故所求事件的概率 PlBClBD6 12 113. (2)以 A 為圓心，以 AD1 為半徑作圓弧DB交 AC，AP，AB 分別為 C，P，B. 答案 (1)B (2)13 規(guī)律方法 1.解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍，當(dāng)考查對象為點(diǎn)，且點(diǎn)的活動范圍在線段上時(shí)，用“線段長度”為測度計(jì)算概率，求解的核心是確定點(diǎn)的邊界位置. 2.(1)例 1 第(2)題易出現(xiàn)“以線段 BD 為測度”計(jì)算幾何概型的概率，導(dǎo)致錯(cuò)求 P12. (2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角對應(yīng)的弧長的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率.事實(shí)上，當(dāng)半徑一定時(shí)，曲線弧長之比等于其所對應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)之比. 【訓(xùn)練 1】 (1)(2017 江蘇卷)記函數(shù) f(x) 6xx2的定義域?yàn)?D.在區(qū)間4，5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) x，則 xD 的概率是_. (2)(2018 西安調(diào)研)在區(qū)間1，1上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù) k，則事件“直線 ykx 與圓(x5)2y29 相交”發(fā)生的概率為_. 解析 (1)由6xx20，得2x3，即D2，3. (2)直線ykx與圓(x5)2y29相交的充要條件是圓心(5，0)到直線ykx的距離小于3. 故所求事件的概率 P3（2）5（4）59. 則|5k0|k2（1）23，解得34k34. 故所求事件的概率 P34341（1）34. 答案 (1)59 (2)34 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 與面積有關(guān)的幾何概型與面積有關(guān)的幾何概型(多維探究多維探究) 命題角度命題角度1 與平面圖形面積相關(guān)的幾何概型與平面圖形面積相關(guān)的幾何概型 【例21】 (2017 全國卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是( ) A.14 B.8 C.12 D.4 解析 設(shè)正方形的邊長為2，則面積S正方形4. 又正方形內(nèi)切圓的面積S12. 答案 B 所以根據(jù)對稱性，黑色部分的面積 S黑2. 由幾何概型的概率公式，概率 PS黑S正方形8. 命題角度命題角度2 與線性規(guī)劃的交匯問題與線性規(guī)劃的交匯問題 【例 22】 由不等式組x0，y0，yx20確定的平面區(qū)域記為 1，由不等式組xy1，xy2確定的平面區(qū)域記為 2，若在 1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在 2內(nèi)的概率為_. 由幾何概型的概率公式，所求概率 PS四邊形OACDSOAB214278. 答案 78 解析 如圖，平面區(qū)域 1就是三角形區(qū)域 OAB，平面區(qū)域 2與平面區(qū)域 1的重疊部分就是區(qū)域 OACD，易知 C 12，32. 規(guī)律方法 1.與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計(jì)算，基本方法是數(shù)形結(jié)合. 2.解題時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解. 【訓(xùn)練 2】 (1)(2016 全國卷)從區(qū)間0，1隨機(jī)抽取 2n 個(gè)數(shù) x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成 n 個(gè)數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于 1 的數(shù)對共有 m 個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率 的近似值為( ) A.4nm B.2nm C.4mn D.2mn (2)(2018 石家莊調(diào)研)在滿足不等式組xy10，xy30，y0的平面內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) M(x0，y0)，設(shè)事件 A“y02x0”，那么事件 A 發(fā)生的概率是( ) A.14 B.34 C.13 D.23 解析 (1)如圖，數(shù)對(xi，yi)(i1，2，n)表示的點(diǎn)落在邊長為 1 的正方形 OABC內(nèi)(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于 1 的數(shù)對表示的點(diǎn)落在半徑為 1 的四分之一圓(陰影部分)內(nèi).由幾何概型的概率計(jì)算公式知 PS扇形S正方形14R2R24，又 Pmn，所以4mn，故 4mn. 答案 (1)C (2)B (2)作出不等式組xy10，xy30，y0表示的平面區(qū)域(即ABC)， 其面積為 4.事件 A“y02x0”表示的區(qū)域?yàn)锳OC，其面積為 3.所以事件 A 發(fā)生的概率是34. 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 與體積有關(guān)的幾何概型與體積有關(guān)的幾何概型 【例 3】 (1)(2018 深圳模擬)一只蜜蜂在一個(gè)棱長為 3 的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體 6 個(gè)表面的距離均大于 1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為( ) A.18 B.16 C.127 D.38 (2)已知正三棱錐 SABC 的底面邊長為 4，高為 3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn) P，使得 VPABC12VSABC的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14 解析 (1)由題意知小蜜蜂的安全飛行范圍為以這個(gè)正方體的中心為中心，且棱長為1的小正方體內(nèi). 答案 (1)C (2)A (2)由題意知，當(dāng)點(diǎn) P 在三棱錐的中截面 ABC以下時(shí)，滿足 VPABC12VSABC，又 V錐SABC1214V錐SABC18V錐SABC. 事件“VPABC12VSABC”的概率 PV臺體ABCABCV錐SABCV錐SABCV錐SABCV錐SABC78. 這個(gè)小正方體的體積為 1，大正方體的體積為 27，故安全飛行的概率為 P127. 規(guī)律方法 1.對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求. 2.本題易忽視基本事件的等可能性，錯(cuò)用“長度”度量，誤求 P12. 【訓(xùn)練 3】 如圖，正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為 1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn) M，則使四棱錐 MABCD 的體積小于16的概率為_. h12，則點(diǎn) M 在正方體的下半部分，故所求事件的概率 P12V正方體V正方體12. 答案 12 解析 設(shè)四棱錐 MABCD 的高為 h， 由于 S正方形ABCD1， V正方體1， 且h3S正方形ABCD16.