第第2節(jié)節(jié) 參數(shù)方程參數(shù)方程 最新考綱 1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義；2.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程. 1.曲線的參數(shù)方程 知知 識識 梳梳 理理 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的 函數(shù) 并且對于t的每一個允許值，由這個方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù). xf（t），yg（t）， 2.參數(shù)方程與普通方程的互化 通過消去 從參數(shù)方程得到普通方程，如果知道變數(shù) x，y 中的一個與參數(shù) t的關(guān)系，例如 xf(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系 yg(t)，那么xf（t），yg（t）就是曲線的參數(shù)方程.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使用 x，y 的取值范圍保持一致. 參數(shù) 3.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程 溫馨提醒 直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離. 點的軌跡 普通方程 參數(shù)方程 直線 yy0tan (xx0) xx0tcos ，yy0tsin (t 為參數(shù)) 圓 x2y2r2 xrcos ，yrsin ( 為參數(shù)) 橢圓 x2a2y2b21(ab0) xacos ，ybsin ( 為參數(shù)) 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)參數(shù)方程yf（t），yg（t）中的 x，y 都是參數(shù) t 的函數(shù).( ) (2)過 M0(x0，y0)，傾斜角為 的直線 l 的參數(shù)方程為xx0tcos ，yy0tsin (t 為參數(shù)).參數(shù)t 的幾何意義表示： 直線 l 上以定點 M0為起點， 任一點 M(x， y)為終點的有向線段M0M的數(shù)量.( ) (3)方程x2cos ，y12sin ( 為參數(shù))表示以點(0，1)為圓心，以 2 為半徑的圓.( ) 診診 斷斷 自自 測測 答案 (1) (2) (3) (4) (4)已知橢圓的參數(shù)方程x2cos t，y4sin t(t 為參數(shù))，點 M 在橢圓上，對應(yīng)參數(shù) t3，點O 為原點，則直線 OM 的斜率為 3.( ) 解析 消去t，得xy1，即xy10. 答案 xy10 2.(選修 44P26 習題 T4 改編)在平面直角坐標系中，曲線 C：x222t，y122t(t 為參數(shù))的普通方程為_. 解析 由(cos sin )2，得xy2. 答案 (2，4) 又xt2，y2 2t(t 為參數(shù))消去 t，得 y28x. 聯(lián)立，得x2，y4，即交點坐標為(2，4). 3.在平面直角坐標系 xOy 中，以原點 O 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系.曲線 C1的極坐標方程為 (cos sin )2，曲線 C2的參數(shù)方程為xt2，y2 2t (t 為參數(shù))，則 C1與 C2交點的直角坐標為_. 解析 圓的普通方程為(x2)2y23，圓心 A(2，0)，半徑 r 3. 直線 yb(x4)與圓相切，|2b4b0|b21 3，則 b23，b 3. 因此 tan 3，切線的傾斜角為3或23. 答案 3或23 4.直線 yb(x4)與圓x2 3cos ，y 3sin ( 為參數(shù))相切，則切線的傾斜角為_. 5.(2017 江蘇卷)在平面坐標系 xOy 中， 已知直線 l 的參數(shù)方程為x8t，yt2(t 為參數(shù))，曲線 C 的參數(shù)方程為x2s2，y2 2s(s 為參數(shù)).設(shè) P 為曲線 C 上的動點，求點 P到直線 l 的距離的最小值. 得l的普通方程為x2y80， 因為點 P 在曲線 C 上，設(shè)點 P(2s2，2 2s). 則點 P 到直線 l 的距離 d|2s24 2s8|52（s 2）245， 當 s 2時，d 有最小值454 55. 解 由x8t，yt2(t 為參數(shù))消去 t. 考點一考點一 參數(shù)方程與普通方程的互化參數(shù)方程與普通方程的互化 【例 1】 已知直線 l 的參數(shù)方程為xa2t，y4t(t 為參數(shù))，圓 C 的參數(shù)方程為x4cos ，y4sin ( 為參數(shù)). (1)求直線 l 和圓 C 的普通方程； (2)若直線 l 與圓 C 有公共點，求實數(shù) a 的取值范圍. 解 (1)直線l的普通方程為2xy2a0， 圓C的普通方程為x2y216. (2)因為直線l與圓C有公共點， 故圓 C 的圓心到直線 l 的距離 d|2a|54，解得2 5a2 5. 即實數(shù) a 的取值范圍是2 5，2 5. 規(guī)律方法 1.將參數(shù)方程化為普通方程，消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等變換消去參數(shù). 2.把參數(shù)方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響，一定要保持同解變形. 【訓練 1】 (2016 江蘇卷)在平面直角坐標系 xOy 中，已知直線 l 的參數(shù)方程為x112t，y32t(t 為參數(shù))，橢圓 C 的參數(shù)方程為xcos ，y2sin ( 為參數(shù)).設(shè)直線 l 與橢圓 C 相交于 A，B 兩點，求線段 AB 的長. 將直線 l 的參數(shù)方程x112t，y32t(t 為參數(shù))代入 x2y241，得112t232t241， 即 7t216t0，解之得 t10，t2167. 所以|AB|t1t2|167.所以線段 AB 的長為167. 解 橢圓 C 的普通方程為 x2y241. 考點二考點二 參數(shù)方程及應(yīng)用參數(shù)方程及應(yīng)用 【例 21】 (2017 全國卷)在直角坐標系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為x3cos ，ysin ( 為參數(shù))，直線 l 的參數(shù)方程為xa4t，y1t(t 為參數(shù)). (1)若 a1，求 C 與 l 的交點坐標； (2)若 C 上的點到 l 距離的最大值為 17，求 a. 則 C 與 l 交點坐標是(3，0)和2125，2425. 解 (1)a1時，直線l的普通方程為x4y30. 曲線 C 的標準方程是x29y21， 聯(lián)立方程x4y30，x29y21，解得x3，y0或x2125，y2425. (2)直線l的普通方程是x4y4a0. 設(shè)曲線C上點P(3cos ，sin ). |5sin()4a|的最大值為17. 若a0，則54a17，a8. 若a0，則54a17，a16. 綜上，實數(shù)a的值為a16或a8. 則 P 到 l 距離 d|3cos 4sin 4a|17|5sin（）4a|17，其中 tan 34. 又點 C 到直線 l 距離的最大值為 17. 【例 22】 (2018 郴州模擬)在平面直角坐標系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為x2cos ，y22sin ( 為參數(shù))， 直線 l 的參數(shù)方程為x122t，y22t(t 為參數(shù)).以坐標原點O 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)寫出直線 l 的普通方程以及曲線 C 的極坐標方程； (2)若直線l與曲線C的兩個交點分別為M， N， 直線l與x軸的交點為P， 求|PM| |PN|的值. 消去參數(shù)t，得xy10. 利用平方關(guān)系，得x2(y2)24，則x2y24y0. 令2x2y2，ysin ，代入得C的極坐標方程為4sin . (2)在直線xy10中，令y0，得點P(1，0). 曲線 C 的參數(shù)方程為x2cos ，y22sin ( 為參數(shù))， 把直線 l 的參數(shù)方程代入圓 C 的方程得 t23 2t10，t1t23 2，t1t21. 由直線參數(shù)方程的幾何意義，|PM| |PN|t1 t2|1. 解 (1)直線 l 的參數(shù)方程為x122t，y22t(t 為參數(shù))， 規(guī)律方法 1.在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解. 2.過定點 P0(x0，y0)，傾斜角為 的直線參數(shù)方程的標準形式為xx0tcos ，yy0tsin (t 為參數(shù))，t 的幾何意義是P0P的數(shù)量，即|t|表示 P0到 P 的距離，t 有正負之分.對于形如xx0at，yy0bt(t 為參數(shù))，當 a2b21 時，應(yīng)先化為標準形式后才能利用 t 的幾何意義解題. 【訓練 2】 (2018 衡水中學質(zhì)檢)已知曲線 C 的參數(shù)方程為x2cos ，y2sin ( 為參數(shù))，直線 l 的參數(shù)方程為xt2，y2 3t (t 為參數(shù)). (1)寫出直線 l 與曲線 C 的普通方程； (2)設(shè)曲線 C 經(jīng)過伸縮變換xx，y12y得到曲線 C，過點 F( 3，0)作傾斜角為 60 的直線交曲線 C于 A，B 兩點，求|FA| |FB|. 曲線C的普通方程為x2y24. (2)由xx，yy2，得xx，y2y，代入曲線 C，得 x24y24，即x24y21. 則曲線 C的方程為x24y21 表示橢圓. 由題設(shè)，直線 AB 的參數(shù)為x 3t2，y32t(t 為參數(shù)). 將直線 AB 的參數(shù)方程代入曲線 C：x24y21.得134t2 3t10， 解 (1)直線 l 的普通方程 2 3xy20. 則 t1 t2413，|FA| |FB|t1|t2|t1 t2|413. 考點三考點三 參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應(yīng)用參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應(yīng)用 【例 31】 (2017 全國卷)在直角坐標系 xOy 中， 直線 l1的參數(shù)方程為x2t，ykt(t 為參數(shù))，直線 l2的參數(shù)方程為x2m，ymk(m 為參數(shù)).設(shè) l1與 l2的交點為 P，當 k 變化時，P 的軌跡為曲線 C. (1)寫出 C 的普通方程； (2)以坐標原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系， 設(shè) l3： (cos sin ) 20，M 為與 C 的交點，求 M 的極徑. 化為l1的普通方程yk(x2)， 同理得直線l2的普通方程為x2ky， 聯(lián)立，消去k，得x2y24(y0). 所以C的普通方程為x2y24(y0). (2)將直線 l3化為普通方程為 xy 2， 聯(lián)立xy 2，x2y24得x3 22，y22， 2x2y2184245，與 C 的交點 M 的極徑為 5. 解 (1)由 l1：x2t，ykt(t 為參數(shù))消去 t， 【例 32】 (2018 河北“五個一”名校聯(lián)盟二模)在平面直角坐標系 xOy 中，曲線 C的參數(shù)方程為x 5cos ，ysin ( 為參數(shù)).以坐標原點 O 為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線 l 的極坐標方程為 cos4 2.l 與 C 交于 A，B 兩點. (1)求曲線 C 的普通方程及直線 l 的直角坐標方程； (2)設(shè)點 P(0，2)，求|PA|PB|的值. 所以直線l的直角坐標方程為xy20. 因為直線 l 的極坐標方程為 cos4 2，即 cos sin 2， (2)點 P(0，2)在 l 上，則 l 的參數(shù)方程為x22t，y222t(t 為參數(shù))， 代入x25y21 整理得 3t210 2t150， 由題意可得|PA|PB|t1|t2|t1t2|10 23. 解 (1)由曲線 C：x 5cos ，ysin ( 為參數(shù))消去 ，得普通方程x25y21. 規(guī)律方法 1.涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解.當然，還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程. 2.數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用和的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的. 【訓練 3】 (2016 全國卷)在直角坐標系 xOy 中，曲線 C1的參數(shù)方程為x 3cos ，ysin ( 為參數(shù))，以坐標原點為極點，以 x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 C2的極坐標方程為 sin42 2. (1)寫出 C1的普通方程和 C2的直角坐標方程； (2)設(shè)點 P 在 C1上，點 Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此時 P 的直角坐標. 因此曲線C2的直角坐標方程為xy40. 又曲線 C2：sin42 2.所以 sin cos 4. (2)由題意，可設(shè)點 P 的直角坐標為( 3cos ，sin ).因為 C2是直線，所以|PQ|的最小值即為 P 到 C2的距離 d()的最小值. d()| 3cos sin 4|2 2sin32 ， 當且僅當 2k6(kZ)時，d()取得最小值，最小值為 2，此時 P 的直角坐標為32，12. 解 (1)曲線 C1的普通方程為x23y21.