函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及其應(yīng)用摘要：隨著科學技術(shù)的發(fā)展，初等函數(shù)已經(jīng)滿足不了人們的需要自柯西給出了無窮級數(shù)的定義后，隨著人們對級數(shù)的深入研究，無窮級數(shù)的理論得到了飛速的發(fā)展. 有了無窮級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)應(yīng)運而生.函數(shù)項級數(shù)在數(shù)學科學本身及工程技術(shù)領(lǐng)域里有 廣泛的應(yīng)用，函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性在應(yīng)用中起著至關(guān)重要的作用，因此研究函數(shù)項 級數(shù)的一致收斂性及其判定就成了應(yīng)用中重要的環(huán)節(jié).本文介紹函數(shù)項級數(shù)一致收斂的相關(guān)概念，對函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判定方法進行梳理、歸納，并舉例說明，以 一類最簡單的函數(shù)項級數(shù)幕級數(shù)為例，說明函數(shù)項級數(shù)在計算方面的應(yīng)用關(guān)鍵詞：函數(shù)項級數(shù)；一致收斂；幕級數(shù)Uniformly Convergence Series of Functions and ApplicationAbstract： With the developme nt of science and tech nology, eleme ntary fun ctio n has failed to meet the n eeds of the people. Since the Cauchy gives the defi niti on of infin ite series, the theory of series has bee n developed rapidly with the in-depth study of it. With the infin ite series, series of fun cti ons came in to being. Series of fun cti ons has a wide applicati on in mathematics and engineering scienee. The uniformly convergenee of series of functions plays an importa nt role in applicati on. During the applicati on, the uni formly conv erge nee of series of fun cti on and its judgme nt become importa nt. This article describes the con cept of the un iformly conv erge nee of series of functions, to sum up the judgme nt of the un iformly conv erge nee of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the applicati on in calculati on of series of fun cti ons.Key words: series of functions; un iformly eon verge nee; series of powers12函數(shù)項級數(shù)的相關(guān)概念介紹22.1函數(shù)列及其一致收斂性,22.2函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性，,，32.3一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)，,，43函數(shù)項級數(shù)的-致收斂性判別法，,，53.1般判力別法,53.2魏爾斯特拉斯判別法,73.3 阿貝爾判別法與狄利克雷判別法,73.3.1阿貝爾判別法,83.3.2狄利克雷判別法，,，83.4類似數(shù)項級數(shù)判別法的函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法，,，103.4.1比式半H別法103.4.2根式判別法,113.4.3對數(shù)判另U法,123.5 Dini判別法134幕級數(shù)的應(yīng)用j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j144.1 幕級數(shù)的定義,144.2 幕級數(shù)的應(yīng)用，,，144.2.1幕級數(shù)在近似計算中的應(yīng)用，,，144.2.2幕級數(shù)在計算積分中的應(yīng)用，,，154.2.3幕級數(shù)在求極限中的應(yīng)用,154.2.4冪級數(shù)在數(shù)列求和中的應(yīng)用，,，164.2.5幕級數(shù)在歐拉公式推導中的應(yīng)用,164.2.6幕級數(shù)在求導中的應(yīng)用,174.2.7幕級數(shù)在概率組合中的應(yīng)用，,，174.2.8幕級數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用，,，184.2.9用幕級數(shù)形式表示某些非初等函數(shù)，,，185丿總、纟口 ,J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J1920至片謝21V/44，門，門門，門，門，門，門，門，門，門門 參考文獻1引言隨著科學技術(shù)的發(fā)展， 人們對自然界的認識逐步深化，發(fā)現(xiàn)許多自然現(xiàn)象和工程技術(shù)運用初等函數(shù)已經(jīng)滿足不了人們的需要，因此要求人們?nèi)?gòu)造新的函數(shù)自19世紀柯西給出了無窮級數(shù)的定義后，隨著人們對其深入研究，無窮級數(shù)的理論得到了飛速的發(fā)展有了無窮級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)應(yīng)運而生首先函數(shù)項級數(shù)為函數(shù)的構(gòu)造開辟了一個新天地，例如，1872年魏爾斯特拉斯利用函數(shù)項級數(shù)給出了一個處處連續(xù)但處處不可導的函數(shù)的例子其次，函數(shù)項級數(shù)理論提供了研究函數(shù)的一個基本方法，特別是利用級數(shù)的理論進行函數(shù)的 Taylor展開和Fourier展開.實際上，函數(shù)項級數(shù) 的一致收斂性理論對近代各種函數(shù)逼近理論以及無窮維空間中元素按基底的展開理論都產(chǎn)生了重 大的影響（朱正佑，2001） 1.函數(shù)項級數(shù)在數(shù)學科學本身及工程技術(shù)領(lǐng)域里有廣泛的應(yīng)用，函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性在應(yīng)用中起著至關(guān)重要的作用，因此研究函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及其判定就成了應(yīng)用中重要的環(huán)節(jié)本文介紹函數(shù)項級數(shù)的一致收斂的相關(guān)概念、對函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判定 方法進行梳理、歸納，并舉例說明，并且以一類最簡單的函數(shù)項級數(shù)一一幕級數(shù)為例，對其在計算方面的應(yīng)用進行舉例說明12函數(shù)項級數(shù)的相關(guān)概念介紹2.1 函數(shù)列及其一致收斂性定義1設(shè)是一列定義在同一數(shù)集M2nE上的函數(shù)，稱為定義在 E上的函數(shù)列，也可簡單的寫作: fn或 fn， n =1,2/ 設(shè)XE ,以X0代入 fn可得數(shù)列fl(Xo), f2(Xo),f n (x0 )，:八若數(shù)列 fn (X0)收斂，則稱函數(shù)列fn在點X0收斂，X0稱為函數(shù)列 fn的收斂點若數(shù)列 fn (Xo)發(fā)散，則稱函數(shù)列 fn在點Xo發(fā)散.若函數(shù)列 fn在數(shù)集DE上每一點都收斂，則稱fn在數(shù)集D上收斂這時D上每一點X，都有數(shù)列fn(X)的一個極限值與之相對應(yīng)，由這 個對應(yīng)法則所確定的 D上的函數(shù)，稱為函數(shù)列 fn的極限函數(shù)若極限函數(shù)記作f，則有l(wèi)im f n(x) = f (x)， x Dn :或fn(x) f (x) (n T，X D 使函數(shù)列 fn收斂的全體收斂點集合，稱為函數(shù)列 fn的收斂域定義2設(shè)函數(shù)列 fn與函數(shù)f定義在同一數(shù)集 D上，若對任給的正數(shù):，總存在某一正整數(shù)N，使得當n N時，對一切x D，都有fn(X)- f(X)C 竜，則稱函數(shù)列 fn在D上一致收斂于f，記作fn(x)二 f(x) (n 一 T， x D.注：本文用“”表示一致收斂由定義看到，如果函數(shù)列fn在D上一致收斂，那么對于所給的；，不管D上哪一點X，總 存在公共的N(；)(即N的選取僅與；有關(guān)，與x的取值無關(guān))，只要n N，都有fn(X)- f(X)g由此可以看到函數(shù)列fn在D上一致收斂，必在 D上每一點都收斂反之，在D上每一點都收斂的函數(shù)列 fn，在D上不一定一致收斂2.2 函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性定義3設(shè) Un （X） 是定義在數(shù)集E上的一個函數(shù)列，表達式Ui（x） + U2（x）+, +Un（x）+, , X E（ 1）qQ稱為定義在E上的函數(shù)項級數(shù)，簡記為 、 un （x）或un（x）。稱n =1nSn（X）= uk（x）， x E ， n = 1,2,k呂為函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列。若xE，數(shù)項級數(shù)Ui（x） U2（Xo）Un（Xo）（ 2）n收斂，即部分和Sn（Xo） =7 Uk（Xo）當n；心時極限存在，則稱級數(shù)（1 ）在點X0收斂，X0稱為級數(shù)（1 ）的收斂點若級數(shù)（2）發(fā)散，則稱級數(shù)（1）在點x0發(fā)散.若級數(shù)（1）在E的某個子集D上每點都收斂，則稱級數(shù)（1 ）在D上收斂.若D為級數(shù)（1）全體收斂點的集合，這時則稱 D 為級數(shù)（1）的收斂域.級數(shù)（1）在D上每一點x與其所對應(yīng)的數(shù)項級數(shù)（2）的和S（x）構(gòu)成一 個定義在D上的函數(shù)，稱為級數(shù)（1 ）的和函數(shù)，并寫作U1（x） U2（x） Un（x）" =S（X）, X D,即lim Sn（x）二 S（x）, x D .n ）：:也就是說，函數(shù)項級數(shù)（1）的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列的收斂性.定義4 設(shè) Sn（x）是函數(shù)項級數(shù)un（x）的部分和函數(shù)列.若 Sn （x）在數(shù)集D上一致收 斂于函數(shù)S（x）,則稱函數(shù)項級數(shù) 7 un（x）在D上一致收斂于函數(shù) S（x），或稱7 un（x）在D上一 致收斂（華東師范大學數(shù)學系，2001）2.2.3 致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)定理1(連續(xù)性)若函數(shù)項級數(shù)、un(x)在區(qū)間a,b 1上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則其和函數(shù)在a,b上也連續(xù).它指出：(無限項)求和運算與求極限運算可以交換順序，即、 (lim Un(x) lim C Un(x).定理2 (逐項求積)若函數(shù)項級數(shù)un(x)在a,b 1上一致收斂，且每一項 unbb aUn(X)dX 二Un(x)dx.此定理指出，函數(shù)項級數(shù)在一致收斂的情況下，求和運算與求積分運算可以交換順序 定理3 (逐項求導)若函數(shù)項級數(shù)7 un(x)在a,b 1上每一項都有連續(xù)的導函數(shù),(x)都連續(xù)，則x a,b為(軟n(x)怕、un(x).un(x)的收斂點，且V Un (x)在a,b上一致收斂，則5#(陶桂秀,此定理指出，函數(shù)項級數(shù)在一致收斂的情況下，求和運算與微分運算可以交換順序2005)同.3函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性判別法3.1 一般方法判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂既是數(shù)學分析中的一個重點，又是一個難點.一般的情況下，證明一致收斂會利用一致收斂的定義，即定義4來證明.定義4的條件太強，函數(shù)項級數(shù)固定一點D,vun(X)實際上是一個特殊數(shù)列.受此啟發(fā)，利用數(shù)列的性質(zhì)得到以下定理：定理4(一致收斂的柯西準則)函數(shù)項級數(shù)、 un(x)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件為：對任給的正數(shù)；，總存在某正整數(shù) N，使得當n N時，對一切D和一切正整數(shù) p，都有Sn4p(x) - Sn(X)< S或Un*(X)+U(X)+ +Un4p(X)| V & .此定理中當P =1時，得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂的必要條件.推論 函數(shù)項級數(shù)V un(X)在數(shù)集D上一致收斂的必要條件為：函數(shù)列Ln(x)?在D上一致收斂于零.設(shè)函數(shù)項級數(shù)在 D上的和函數(shù)為S(x)，稱rn(x) =S(X)-Sn(x)為函數(shù)項級數(shù) v un(x)的余項.定理5函數(shù)項級數(shù)7 un(x)在數(shù)集D上一致收斂于S(x)的充要條件是:lim sup rn (x)二 lim sup S(x) - Sn (x) = 0.n ：xDU D證明 必要性時，對一切x D,都有 Sn(X)- S( x)因為a un(x)在區(qū)間D上一致收斂，所以- 0， N 0，使得當n N,即 g(x ) <z，所以 suprn(x)乞 E，所以 X充分性 設(shè)二un(x)在D上不一致收斂，即一 -00，- N - 0, T n0N , _| xD，使得Sn0(x) S(x) K s，即 suprn0(x)|=%，所以 lim suprn(x)| 芒0.與已知矛盾(李嵐，2003).例1 若fn(X)在 a, b i 上可積，n =1,2,且f(x)與g(x)在 a, 上都可積，bxxHmUfn(x) f (x) dx = O，設(shè) h(x) = L f(t)g(t)dt , hn(x) = Ja fn(t)g(t)dt，則在 B,b】上 hn(x) 一致收斂于h (x).證明h(x) -hn(x)xUP) - fn(t)g(t)dtxxaf(t)g(t)dt- afn(t)g(t)dtfn(t) dt)2(j|g(t) dt)2xx< Ja|f(t) fn(t)|g(t)|dy(Jf(t) 1 1b2b 22蘭(J|f (t)仁 dt)2(f |g(t) dt) t 0(nTo ),a1a所以利用定理1,當n時，hn (x) 一致收斂于h (x).0例2設(shè)un(x) _0,在a,b 1上連續(xù)，n =1,2,，又x un(x)在a,b】收斂于連續(xù)函數(shù)f (x), n=JoO則工Un(x)在la,b】一致收斂于f (x).n iQO證明 已知匚=f(X)-Sn(X)(其中Sn = v山(X)是單調(diào)遞減且趨于0,所以一 n N，kT-x a,b 1有 rn(x) _0，且 -x0 a,b 丨，- ；0， -JN(x0, ) 0, n_ N(x0, ；)時，有 0 _n(xo) ： ；將 n 固定，令 n 二 N。二 N(x,；)，因為 r. (x) = f (x) - Sn(x)在!a,b上連續(xù)，既然 rn(x)：；，所以；0 0，當 x (冷；0,x0 飛0)時 rn(x) ： ；從而 n N0時更有 rn(x)：；即 n(X)：；僅當 X (冷一二0，X )如上所述,對每個點x,a,b】，可找到相應(yīng)的鄰域(x, -；，x, ；，)及相應(yīng)的N,使得n N，時，對 x(x, -lx < .)恒有 rn(x)：如此：(x.-二.,x二，)：x, a,b "勾成a,b 1的一個開覆蓋，從而必存在有限子覆蓋不妨記 為 & - J* 二),，(人- J,人飛),于是X，咕,總i 1,2 ,P?,使得當 X(Xi - J,Xi ；)時，取 N =max"N1,N2,Nr ，那么當 n N 時，恒有n(x) ： ；O0由定理2得，v Un(X)在,一致收斂于f (X).n證3.2魏爾斯特拉斯判別法判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性除了定義及定理4夕卜，有些級數(shù)還可以根據(jù)級數(shù)各項的特性來判定理6 （魏爾斯特拉斯判別法）設(shè)函數(shù)項級數(shù)a un（x）定義在數(shù)集D上， M n為收斂的正 項級數(shù)，若對一切 x D，有Un（x）蘭 M n，n = 1,2，（3）則函數(shù)項級數(shù) V un（x）在D上一致收斂.證明由假設(shè)正項級數(shù) 7 Mn收斂，根據(jù)數(shù)項級數(shù)的柯西準則，任給正數(shù)；，存在某正整數(shù)N，使得當n N及任何正整數(shù) p，有皿冷+Mn* =Mn卅+M n井V又由（3）式對一切x D有山卅（X）十卄（X）蘭叫卅（X）十+ U.卄（X）根據(jù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則，級數(shù)7 un （x）在D上一致收斂例3判斷函數(shù)項級數(shù)豈呼在（：，：）上的一致收斂性n證明因為對一切（-：）有sin nx1而正項級數(shù)是收斂的，所以根據(jù)魏爾斯特拉斯判別法知，函數(shù)項級數(shù)n是一致收斂的.定理6也稱為M判別法或優(yōu)級數(shù)判別法當級數(shù)a un（x）與級數(shù)Mn在區(qū)間a,b上成立關(guān)系式（3）時，則稱級數(shù)a Mn在a,b上優(yōu)于級數(shù)a un（x），或稱M n為un（x）的優(yōu)級數(shù).3.3 阿貝爾判別法與狄利克雷判別法F面討論定義在區(qū)間I上形如(4) 5(X)Vn(X)"i(X)Vi(X)U(X)V2(X廠Un(X)Vn(X)的函數(shù)項級數(shù)的一致收斂判別法，它與數(shù)項級數(shù)一樣，也是基于阿貝爾分部求和公式3.3.1 阿貝爾判別法定理7(阿貝爾判別法)設(shè)(i) a Un(X)在區(qū)間I上一致收斂；(ii) 對于每一個 X，I , Ln(X)1是單調(diào)的；(iii )1vn(x) ?在I上一致有界，即對一切X I和正整數(shù)n ,存在正數(shù)M ,使得Vn (X)| 蘭 M .則形如V un (X)Vn (x)的級數(shù)在I上一致收斂證明 由(i),任給； 0 ,存在某正整數(shù) N ,使得當n N及任何正整數(shù) p ,對一切x I , 有人比(X)+山十儀) < 名又由(i) , (ii)及阿貝爾引理得到Un*(X)Vn 卅(X)+ +片韋(X)Vn4p(X)M(|Vn_i(x)|+2|Vn4p(x)|)"3Mg.于是根據(jù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的柯西準則就得到本定理的結(jié)論(_1) nJT JT例4判斷函數(shù)項級數(shù).,x ,的一致收斂性n +cosx2 2證明記an(x)二皿,bn(x)二n： jr因為 an (x)是收斂的數(shù)項級數(shù)，從而在 ,上一致收斂2 2又因為每個X， , 1bn(X)單調(diào)，且 0(X)1在，上一致有界，于是由阿貝爾2 2 2 2:5判別法易知級數(shù)(4)在,上一致收斂(劉慶生，2009;翟永恒，2009 ;劉桂仙，2009)2 23.3.2 狄利克雷判別法定理8 (狄利克雷判別法)設(shè)(i) 7 Un(X)的部分和函數(shù)列nUn(x) = Uk(x) , (n=1, 2,)k J在I上一致有界；(ii) 對于每一個 X. I , ：vn (x) /是單調(diào)的；(iii) 在 I 上 Vn(X)二 0,(n;：)，則形如v un(x)vn(x)的級數(shù)在I上一致收斂證明 由(i),存在正數(shù)M，對一切X E I，有Un(x) < M 因此當n, p為任何正整數(shù)時,Un*(X)i +山井(X) = Un 護(X)Un(X)蘭 2M 對任何一個X，I，再由(ii)及阿貝爾引理，得到un十(x)vn十(X)十+叫井仗)百井(X)蘭 2M (vn4i(X)+2* 井(X).再由(iii),對任給的； 0 ,存在正數(shù) N，當n N時，對一切xI，有(X)V E ,所以，un +(x)vn +(x) + +Un4p(X)vn4p(X) <2M (g +2可=6M于是由一致收斂性的柯西準則，級數(shù)(4)在I上一致收斂.例5函數(shù)項級數(shù)(-1)n(x n)nnn1在0,1上一致收斂.證明因為記un(x)(-1)nn,vn(x).>n1 X 時，Un(X)致收斂，vn(X)單調(diào)且并且一致 n有界，所以由阿貝爾判別法得函數(shù)項級數(shù)、(T)(Xn)在0,1上一致收斂.例6若數(shù)列單調(diào)且收斂于零，則級數(shù)13a a.cos nx在:,2巫旳(0 ：:：二)上一致收斂證明n+Z coskx =k 4sin(n )x2sinx2n瓦 coskxk 4sin(n )x2x2 sin 21111<-+ <+ ，x2a22sin 2 si n2214#所以，級數(shù)v cos nx的部分和函數(shù)列在:，2二-上一致有界，于是令Un(x) =cosnx,Vn(x)二 an，則由狄利克雷判別法可得級數(shù)an cosnx在，2二- (0 ：:：二)上一致收斂.對于級數(shù)a an cosnx，只要 厲單調(diào)且收斂于零，那么級數(shù)在不包含2k二(k二0,一1,_2，)的任何閉區(qū)間上都一致收斂.3.4 類似數(shù)項級數(shù)判別法的函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法函數(shù)項級數(shù)作為數(shù)項級數(shù)的推廣，在研究內(nèi)容上同數(shù)項級數(shù)有許多極其相似的地方 ，比如它們 的收斂性、和的問題，但函數(shù)項級數(shù)還有一點不同于數(shù)項級數(shù)，就是它的一致收斂性，對比數(shù)項級數(shù)的收斂性和函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性判別法，不難發(fā)現(xiàn)，它們在判斷方法上極其相似，特別是在它們判別法的名稱上，比如它們都有Cauchy判別法、Abel判別法、Dirichlete 判別法等.對于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性，有沒有類似于數(shù)項級數(shù)收斂性判別的方法，是一個值得研究的課題.有鑒于此，結(jié)合數(shù)項級數(shù)的比式判別法和根式判別法，可以得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的比式判別法和根式判別法,同時利用p級數(shù)的收斂性和優(yōu)級數(shù)判別法還可得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的對數(shù)判別法(毛一波，2006)冋.3.4.1比式判別法定理9設(shè)un(x)為定義在數(shù)集 D上正的函數(shù)列，記qn (x) = Un 1 (x)，存在正整數(shù)N及實數(shù)Un(x)O0q、M ,使得：qn(x)乞q ：1, un(x)乞M ,對任意的n N , D成立，則函數(shù)項級數(shù)Un(x)n#在D上一致收斂證明易見Un(X)Un(X) Un 申(X)n_N“Un(x)Un(X)=qn(x) qn/(x)qN (x) Un(X)_ q M ,Un(x) Un 工(x) Un (x)O而等比級數(shù)qn Mq，當公比0 ：q ： 1時收斂，從而由函數(shù)項級數(shù)一致收斂的優(yōu)級數(shù)判別法noO知，a Un(X)在D上一致收斂n 4定理9有極限形式：定理10設(shè)un (x)為定義在數(shù)集D上正的函數(shù)列，記qn (x)二.蟲血，若：Un(x)lim qn(x) =q(x)乞 q : 1 ,n 廠:O且un(x)在D上一致有界，則函數(shù)項級數(shù)7 un(x)在D上一致收斂n=1例7 設(shè)un(x) = 2 5 823(n 一1) Xn為定義在D=0,1上的函數(shù)列，證明級數(shù)1 5 91 +4(n 1)、 un(x)在 D =0,1上一致收斂.證明由于：Un(x)2+3 n33“l(fā)imlimx x 1， 0Aun(x)k2，n 廠 un (x) n =1 4n 44oO由定理10,知函數(shù)項級數(shù) 7 un(x)在D =0,1上一致收斂.n A3.4.2 根式判別法定理11設(shè)un(x)為定義在數(shù)集 D上的函數(shù)列，若存在正整數(shù) N ,使得M|Un(X)| Wq 1，QO_n N，x，D成立，則函數(shù)項級數(shù) 、 Un(x)在D上一致收斂.n證明 由定理條件，于n > N， D， un(x)| Eqn成立，而幾何級數(shù)瓦qn收斂，由優(yōu)級qQ數(shù)判別法，函數(shù)項級數(shù) a Un(X)在D上一致收斂n =1CO注：當定理11條件成立時，級數(shù) 7 un (x)在D上還絕對收斂n 4定理11的極限形式為：定理12設(shè)un(x)為定義在數(shù)集 D上的函數(shù)列，若nmn，un(x)| =q(x)蘭 q c1，oO-n N , D成立，則函數(shù)項級數(shù) v Un(x)在D上一致收斂n 二證明函數(shù)項級數(shù)a 斗在(-：，-門,：)上一致收斂(其中r為大于1的實常數(shù)) xn證明因為jn1n x_|x| Jx丄1，r由定理12知，函數(shù)項級數(shù)斗在(-二，-門匸：)上一致收斂(吳良森，毛玉輝,x343 對數(shù)判別法2002)7定理13設(shè)un(X)為定義在數(shù)集D上正的函數(shù)列，若lim ln Un (x)二p(x)存在，那么n護 In nQO(i)若-x D , p(x) p 1，則函數(shù)項級數(shù)v un(x)在D上一致收斂n dcO(ii)若-xD , p(x) ： p ：1,則函數(shù)項級數(shù)7 un(x)在D上不一致收斂n d證明 (i)由定理條件知，對 0, TN ,使得- n N，有Tn Un(x)ln n:p(x)；,1n P(x) ；5(x)甘,171np當p 1時收斂，由優(yōu)級1則當p(x) p 1,-x D成立時，有un (x)-，而p級數(shù)n p數(shù)判別法知函數(shù)項級數(shù) 7 un(x)在D上一致收斂;n =1 1 1(ii)當P(X)： p ： 1對-XD成立時，有Un(X)- , P級數(shù) -當P . 1時發(fā)散，n pn pQO從而函數(shù)項級數(shù)x un(x)在D上不一致收斂.n 43.5 Dini判別法定理14若(i) 每個an(x)均在a,b上連續(xù)且非負；(ii) an(x)在a,b上收斂于連續(xù)函數(shù) S(x)；則a an(x)在a,b上一致收斂于S(x).例9證明：(；1) n在(-：)內(nèi)閉一致收斂.n 土 n xn證明 顯然，、(-1)k乞1在(：)上一致有界.任取a,b R對a,b，易證當n充k生分大時 2 n 2單調(diào)遞減且lim p=0=f(x)，每個22及f(x)=O均在a,b上連in2 +x2Fn +xn+x續(xù)，故由Dini定理知2 n 2 ,在a,b上一致收斂于 0,于是，由狄利克雷判別法知原級數(shù)在a,b上一致收斂.所以，由a,b的任意性知，原級數(shù)在(：，：)上內(nèi)閉一致收斂(吉米多維奇，1987)8.184幕級數(shù)的應(yīng)用幕級數(shù)是一類最簡單的函數(shù)項級數(shù)，下面我們以幕級數(shù)為例，說明函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性在計算中的應(yīng)用.4.1 幕級數(shù)的定義定義5由幕函數(shù)列an(x-XQ)n 所產(chǎn)生的函數(shù)項級數(shù)cd二 an(x - Xo)n = ao ai (x x) a?(x - x。)2 an (x - x)n，n衛(wèi)稱為幕級數(shù)，是一類最簡單的函數(shù)項級數(shù)，從某種意義上講，它可以看作是無窮多項式函數(shù)的延伸.4.2 幕級數(shù)的應(yīng)用幕級數(shù)是高等數(shù)學中的一個非常重要的內(nèi)容，其簡單的結(jié)構(gòu)形式和逐項求導、逐項求積的優(yōu)良性質(zhì)使之成為一種有效的計算工具，它能應(yīng)用于近似計算、積分計算、數(shù)項級數(shù)求和、歐拉公式的推導等問題中.巧妙地利用函數(shù)的幕級數(shù)展開式及幕級數(shù)的性質(zhì)能夠把一個復雜的性質(zhì)以及一些不 容易把握的函數(shù)表達成形式最簡單、性質(zhì)最好的級數(shù)形式，所以用它解題往往思路清晰、條理清楚(趙瑜,2009)同.4.2.1幕級數(shù)在近似計算中的應(yīng)用我們可以利用幕級數(shù)展開式進行近似計算，即在展開式有效的區(qū)間上，函數(shù)值可以近似的利用這個級數(shù)按精確度要求計算出來(同濟大學應(yīng)用數(shù)學系，2002)10.例10計算積分sin xdx7 7!x197 7!x#的近似值，要求誤差不超過0.0001.解 由于lim S =1，因此所給積分是反常積分.如果定義被積函數(shù)在 x二0處的值為1,則XTx它在積分區(qū)間0,1上連續(xù).展開被積函數(shù)，有246sin x , xxx1（ _ ： - ： X :：-），x3!5!7!在區(qū)間0,1上逐項積分，得sin x , dx=1一丄丄3 3!5 5!十7 7!x#7 7!x#因為第四項的絕對值7 7!x207 7!30000所以取前三項的和作為積分的近似值：算得1sin x 1dx ： 1 - 0 x3 3!SiMdx 茫 0.9461.x4.2.2幕級數(shù)在計算積分中的應(yīng)用1，5 5!當f（x）的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來時，計算f（X）的定積分就遇到了困難現(xiàn)在,我們可以利用幕級數(shù)展開式取有限項的辦法近似計算這些定積分的值.具體計算時，要求被積函數(shù)能夠展成收斂的幕級數(shù),且積分區(qū)間必須在幕級數(shù)的收斂域之內(nèi),然后利用幕級數(shù)的逐項積分x )0 sin x6421x )0 sin x64#性質(zhì)來計算所求積分的值所以例11證明423證明:因為24亠丄旦t2 2!4 4!0C0SX 二、(_1)t =0XCOStdttX 二二解（-1）nn=S212 2!幕級數(shù)在求極限中的應(yīng)用.(W .2n (2n)!2nn _X_而(2n)(2n)!4厶4 4!Xt2ndt爲：”-x )0 sin x64#x )0 sin x64#求函數(shù)極限的方法很多，幕級數(shù)法也是其中之一12 求 lim x-arCSinx 的值.xtsin3x因為arXsi nx = x 丄2X3，(xE=3oX43!35 -35!，(x -：)x )0 sin x6422x )0 sin x64#所以x )0 sin x64#x )0 sin x64#x arcsin x lim3x 121 33 -3 3x3!xI上32 435 - 3 5 一x十5!=lim133X ： (x )x >0 X - (x )x )0 sin x64#一致收斂的幕級數(shù)的性質(zhì)：幕級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導與逐項求積分,424幕級數(shù)在數(shù)項求和中的應(yīng)用的和(裴禮文,1983)11可用于計算幕級數(shù)23#例13 求n心(n -1) 3n解當 -1 ：: x <1 時，設(shè) s(x)=：:n nxn衛(wèi)n 1QOz1x-、xn_、n J n 11 - x n4 n 1:xn從而設(shè) g(x)二、:xn，(一1 ： x : 1)，貝y xg(x)xg(x)八n 4八xnxg(x)=dx =1 -xg(x):xn 11- xx1 xdxdx - -x -ln(1 -x).-x 01- xln (1_X)此時，、oOn n x n n 1x-x nm n 1In (1 -x)1 In(1 - x)1令x ，可得3oOn 欽 n -1) 3n丄1-13In 1-3I n二.2#4.2.5 幕級數(shù)在歐拉公式推導中的應(yīng)用例14試用幕級數(shù)的展開式來推導歐拉公式#因為ix e e sin x 二2i-ix,cosxeix-e4x解 當x為實數(shù)時，由指數(shù)函數(shù)的幕級數(shù)展開式知nix (ix) e = 1+ix + 丄(ix)2+丄(ix)3 + 丄(ix)4 十 n n!2!3!4!3!i(4n1) =i,i(z)=-1,i(4n3)= _i,i(44)=1, n =0,1,224x5 _(_1)nx2n1 52 n 1x11f(X)= 0f(x)dx 工 X2 亍 X41/ t)n x2n 2冷品2帀zx"所以2435xxXXe = (1) i(x) = cosx i sin x,2!4!3!5!即eiX = cosx +i sin x ,在上式中x 以置換 x 可得ecosx - i sin x,ix_ixixJx再由兩式聯(lián)立，解得：si nx=e - , cos x =- .2i24.2.6 幕級數(shù)在求導中的應(yīng)用2例 15 求 f (x) =xarctanx -1n(1 x )在 x 二 0 處的 n 階導數(shù)旳 f (n)(0)解因為函數(shù)f(x)在x=0處的泰勒級數(shù)為xn，所以可先將f(x)用間接方法展n“n!成x的幕級數(shù)，然后從xn的系數(shù)中解出f(n)(o)，xxf (x)2arcta nx 2 = arcta nx1+x1+xf (x) 篤=1 x2 x4 ( 1)nx2n,一1 ： x : 1)1+xx進行兩次積分：f (x) = .0(x)dx -則 f"2n)(0) = 口n-1，即 f(2n)(0)=(1)2(n 2),(n = 2m).(2n)(2n _1)2n0, (n 二 2m -1,m 二 1,2,3)4.2.7 幕級數(shù)在概率組合計算中的應(yīng)用定義6 設(shè)Bn(n =0,1,2,)是一個數(shù)列，若存在一個函數(shù)F(x)，使得F(x)二B0 B1Bnxn x : R成立，則稱F(x)為數(shù)列Bn (n = 0,1,2)的生成函數(shù).例16 將一顆骰子連續(xù)投擲 10次，問：出現(xiàn)20點的概率是多少？解 設(shè)Bn表示共出現(xiàn)點n的方式的總數(shù)，顯然10乞Bn乞60 .從而Bn的生成函數(shù)為：60F(x)二 BnXn =(1 X X2 -n010一1 x625因為(1_X6)10 =1 G1X6 C20X12 C；0X18 (1x)10201014F (x)的展開式中x 項的系數(shù)為B20 = C19 - - C10C13二85228 ,于是出現(xiàn)20點的概率為：需80“409.4.2.8 幕級數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用幕級數(shù)是表達函數(shù)的重要工具，因此也可應(yīng)用于證明不等式(張淑輝，2005) 12X2例17證明不等式 ex e_ 2e2 ,x （-：,：）證明因為:nqXXXe =為 ,e n!八(_1)nn=0nX/,X （：，：）， n!:2ne=2、匕- n衛(wèi)(2n)!X2，2eT:- 2n=2后由于2nX2nX<(2n)!(2n)!X2ex e _2e2（一匚亠：）.429用幕級數(shù)形式表示某些非初等函數(shù)182求連續(xù)函數(shù)e的原函數(shù)F（x）.2e"的原函數(shù)為x 上2e dt， x R.-0n八- n=0 n!2_t2x = -t ，有 e焉(-1)nt2n=L n n!-1t21!2!3!n 2n 1.(-1) Xn!對幕級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項求積分，可得x/上1F (x) e dx = x 0 1!3x_ .13 2!5/ a n.X_，5n!n 12S_ 2n 1另外，幕級數(shù)還可以定義三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)等等.幕級數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，我們要在實際應(yīng)=1 - C；oX C1：x2 -G3)x3 ，所以26#用中善于發(fā)現(xiàn)，充分利用，以求最好的解決問題#總結(jié)數(shù)學作為一種創(chuàng)造性活動不僅擁有真理，而且擁有至高無上的美，18世紀是分析的時代，數(shù)學進入到更高層次的研究，函數(shù)項級數(shù)是數(shù)學分析中的重要組成部分，因此研究函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性具有重大的意義目前，對于函數(shù)項級數(shù)的研究已經(jīng)有了非常豐富的研究資料，并且其應(yīng)用 領(lǐng)域越來越廣泛，在數(shù)學本身以及自然現(xiàn)象、工程技術(shù)，物理研究都有很大的作用本文介紹了函數(shù)項級數(shù)的歷史背景、給出了函數(shù)項級數(shù)的概念、性質(zhì)、函數(shù)列及其一致收斂性、函數(shù)項級數(shù)及其 一致收斂性，歸納梳理函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的判定方法，以最簡單的函數(shù)項級數(shù)一一幕級數(shù)為例，說明函數(shù)項級數(shù)的應(yīng)用隨著科學技術(shù)的發(fā)展，函數(shù)項級數(shù)作為數(shù)學分析中的一項重要內(nèi)容， 會在更多的領(lǐng)域擁有更廣泛的應(yīng)用，對其的研究也將更加的深入、透徹27參考文獻1 朱正佑.數(shù)學分析(下冊)M.上海：上海大學出版社，2001.2 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(下冊)M.北京：高等教育出版社,2001.3 陶桂秀.關(guān)于一致收斂函數(shù)項級數(shù)的注記J.銅陵學院學報，2005,(2):75.4 李嵐.函數(shù)項級數(shù)一致收斂定義的推廣及其應(yīng)用J.陜西教育學院學報,2003,19:86-87.5 劉慶升,翟永恒，劉桂仙.函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法J.科技信息，2009,(9):531. 毛一波.函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判定J.重慶文理學院學報(自然科學版),2006,5(4):55-56.7 吳良森,毛羽輝等.數(shù)學分析習題精解M.北京:科學出版社,2002.8 蘇吉米多維奇.數(shù)學分析習題集(四)M.費定暉，周學圣譯.濟南：山東科學技術(shù)出版社.1987.9 趙瑜.淺談冪級數(shù)在計算中的應(yīng)用J.前沿,2009,(8):282-283.10 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(下冊)M.北京:高等教育出版社,2002.11 裴禮文.數(shù)學分析中典型例題與方法M.北京：高等教育出版社,1993.12 張淑輝.冪級數(shù)的應(yīng)用J.太原教育學院學報，2005,(23):94-96.13 W.Rudin.Principles of Mathematical AnalysisM.New York:Springer-Verlag,1964.14 XU Chang-qing.Boursuk s Problem in a Special Normed SpaceJ.Northeast Math.J,2004,(1):79-83.28