【優(yōu)化探究】2016高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8-5 橢圓課時(shí)作業(yè) 文一、選擇題1“3<m<5”是“方程1表示橢圓”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：要使方程1表示橢圓，應(yīng)滿足5m>0，m3>0且5mm3，解之得3<m<5且m1，“3<m<5”是“方程1表示橢圓”的必要不充分條件答案：B2(2015年煙臺質(zhì)檢)一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由點(diǎn)P(2，)在橢圓上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，又c2a2b2，聯(lián)立得a28，b26.答案：A3已知F1，F(xiàn)2是橢圓y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一動點(diǎn)，則使|PF1|PF2|取最大值的點(diǎn)P為()A(2,0) B(0,1)C(2,0) D(0,1)或(0，1)解析：由橢圓定義得|PF1|PF2|2a4，|PF1|PF2|24，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|PF2|2，即P(0，1)或(0,1)時(shí)，取“”答案：D4(2015年長春模擬)在以O(shè)為中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)M，滿足|2|2|，則該橢圓的離心率為()A. B.C. D.解析：不妨設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于N點(diǎn)，則N點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)|2|2|2t(t>0)，根據(jù)勾股定理可知，|2|2|2|2，得到ct，而a，則e，故選C.答案：C5(2014年高考全國大綱卷)已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)若AF1B的周長為4，則C的方程為()A.1 B.y21C.1 D.1解析：由橢圓的性質(zhì)知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，AF1B的周長|AF1|AF2|BF1|BF2|4，a.又e，c1.b2a2c22，橢圓的方程為1，故選A.答案：A二、填空題6已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，1)，其右焦點(diǎn)到直線xy20的距離為3，則橢圓的方程為_解析：據(jù)題意可知橢圓方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，故b1.設(shè)右焦點(diǎn)為(c,0)(c>0)，它到已知直線的距離為3，解得c，所以a2b2c23，故橢圓的方程為y21.答案：y217橢圓：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y(xc)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_解析：依題意得MF1F260，MF2F130，F(xiàn)1MF290，設(shè)|MF1|m，則有|MF2|m，|F1F2|2m，該橢圓的離心率是e1.答案：18(2014年高考江西卷)過點(diǎn)M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.、兩式相減并整理得.把已知條件代入上式得，故橢圓的離心率e .答案：三、解答題9(2014年高考新課標(biāo)全國卷)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解析：(1)根據(jù)c 及題設(shè)知M，2b23ac.將b2a2c2代入2b23ac，解得或2(舍去)故C的離心率為.(2)由題意，得原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2y軸，所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則即代入C的方程，得1.將及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.10(2014年高考安徽卷)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周長為16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求橢圓E的離心率解析：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因?yàn)锳BF2的周長為16，所以由橢圓定義可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)設(shè)|F1B|k，則k>0且|AF1|3k，|AB|4k.由橢圓定義可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化簡可得(ak)(a3k)0.而ak>0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，AF1F2為等腰直角三角形從而ca，所以橢圓E的離心率e.B組高考題型專練1設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|PF2|43，則PF1F2的面積為()A30 B25C24 D40解析：|PF1|PF2|14，又|PF1|PF2|43，|PF1|8，|PF2|6.|F1F2|10，PF1PF2.|PF1|PF2|8624.答案：C2已知橢圓1以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(4,2)，則以P為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為()A. BC2 D2解析：設(shè)弦的端點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x28，y1y24，兩式相減，得0，k.答案：B3(2015年海淀模擬)已知橢圓C：1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓C上點(diǎn)A滿足AF2F1F2.若點(diǎn)P是橢圓C上的動點(diǎn)，則的最大值為()A. B.C. D.解析：設(shè)向量，的夾角為.由條件知|AF2|為橢圓通徑的一半，即為|AF2|，則|cos ，于是要取得最大值，只需在向量上的投影值最大，易知此時(shí)點(diǎn)P在橢圓短軸的上頂點(diǎn)，所以|cos ，故選B.答案：B4已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn)P使，則該橢圓離心率的取值范圍為()A(0，1) B.C. D(1,1)解析：根據(jù)正弦定理得，所以由可得，即e，所以|PF1|e|PF2|，又|PF1|PF2|e|PF2|PF2|PF2|(e1)2a，則|PF2|，因?yàn)閍c<|PF2|<ac(不等式兩邊不能取等號，否則分式中的分母為0，無意義)，所以ac<<ac，即1<<1，所以1e<<1e，即解得1<e<1，選D.答案：D5橢圓1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，若橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為_解析：如圖，設(shè)切點(diǎn)為M，由條件知，OMPF1且OMb.M為PF1的中點(diǎn)，PF22b，且PF1PF2，從而PF12a2b.PFPFF1F，即(2a2b)2(2b)2(2c)2，整理得3b2a，5a29c2，解得e.答案：6已知點(diǎn)A(0,2)及橢圓y21上任意一點(diǎn)P，則|PA|的最大值為_解析：設(shè)P(x0，y0)，則2x02，1y01，|PA|2x(y02)2.y1，|PA|24(1y)(y02)23y4y0832.1y01，而1<<1，當(dāng)y0時(shí)，|PA|，即|PA|max.答案：7(2014年高考遼寧卷)已知橢圓C：1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|BN|_.解析：解法一由橢圓方程知橢圓C的左焦點(diǎn)為F1(，0)，右焦點(diǎn)為F2(，0)則M(m，n)關(guān)于F1的對稱點(diǎn)為A(2m，n)，關(guān)于F2的對稱點(diǎn)為B(2m，n)，設(shè)MN中點(diǎn)為(x，y)，所以N(2xm,2yn)所以|AN|BN| 2，故由橢圓定義可知|AN|BN|2612.解法二根據(jù)已知條件畫出圖形，如圖設(shè)MN的中點(diǎn)為P，F(xiàn)1、F2為橢圓C的焦點(diǎn)，連接PF1、PF2.顯然PF1是MAN的中位線，PF2是MBN的中位線，|AN|BN|2|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)2612.答案：127