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1、3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算已知兩復(fù)數(shù)已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是實(shí)數(shù)）是實(shí)數(shù)） 即即: :兩個復(fù)數(shù)相加兩個復(fù)數(shù)相加( (減減) )就是就是 實(shí)部與實(shí)部實(shí)部與實(shí)部, ,虛部與虛部分別相加虛部與虛部分別相加( (減減).).(1)加法法則加法法則：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)減法法則減法法則：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi i )(c+di i) = (ac) + (bd)i ixoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z z1 1+ z+ z2 2=OZ=OZ1 1

2、 +OZ+OZ2 2 = OZ= OZ符合向量加法符合向量加法的平行四邊形的平行四邊形法則法則.1.1.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)加法加法運(yùn)算的幾何意義運(yùn)算的幾何意義? ?xoyZ1(a,b)Z2(c,d)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z2z1向量向量Z1Z2符合向量減符合向量減法的三角形法的三角形法則法則.2.2.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)減法減法運(yùn)算的幾何意義運(yùn)算的幾何意義? ?3、共軛復(fù)數(shù)的定義、共軛復(fù)數(shù)的定義當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于的。虛部不等于的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)共軛虛數(shù)。思考：若思考：若z1 z

3、2 ，是共軛復(fù)數(shù)，那么是共軛復(fù)數(shù)，那么（）在復(fù)平面內(nèi)，它們所對應(yīng)的點(diǎn)有怎（）在復(fù)平面內(nèi)，它們所對應(yīng)的點(diǎn)有怎 樣的位置關(guān)系？樣的位置關(guān)系？（）（） z1 z2是一個怎樣的數(shù)？是一個怎樣的數(shù)？答案：關(guān)于答案：關(guān)于x x軸對稱軸對稱1.1.復(fù)數(shù)的乘法法則：復(fù)數(shù)的乘法法則：2acadibcibdi)()acbdbcad i（說明說明:(1):(1)兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)；兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)； (2) (2)復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的，只是在，只是在運(yùn)算過程中把運(yùn)算過程中把 換成換成1 1，然后實(shí)、虛部分別合并，然后實(shí)、虛部分別合并. .i2(3)(3)

4、易知復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律易知復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律即對于任何即對于任何z1 , z2 ,z3 C,有有,()(),().zzzzzzzzzzz zzz zz z12211231231231 21 3()()abi cdi例例1.1.計算計算(2i i )(32i i)(1+ +3i i) 復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的. . 我們知道多項(xiàng)式的乘法用乘法公式可迅速展開運(yùn)算我們知道多項(xiàng)式的乘法用乘法公式可迅速展開運(yùn)算, ,類似地類似地, ,復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運(yùn)用乘法公式來展開運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運(yùn)用乘法公式來展開運(yùn)算. .)(1

5、biabia）（例例2 2：計算：計算222ibabiabia22ba 思考：思考：在復(fù)數(shù)集在復(fù)數(shù)集C內(nèi)，你能將內(nèi)，你能將 分解因式嗎？分解因式嗎？22yx 2.共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)：實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)：實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)記作的共軛復(fù)數(shù)記作, zzabi記思考：設(shè)思考：設(shè)z= =a+ +bi ( (a, ,bR R ) ), ,那么那么zzzzzzzzzz12121212, 另外不難證明另外不難證明:zz2a2bizz22ab22 ()abi（ ）222babia222()() 2a biababi22

6、 22aabib i3 (1 2 )(34 )( 2)iii （ ）(112 )( 2)20 15iii 222ababi3.3.復(fù)數(shù)的除法法則復(fù)數(shù)的除法法則 先把除式寫成分式的形式先把除式寫成分式的形式, ,再把分子與分母都再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)乘以分母的共軛復(fù)數(shù), ,化簡后寫成代數(shù)形式化簡后寫成代數(shù)形式( (分母分母實(shí)數(shù)化實(shí)數(shù)化).).即即分母實(shí)數(shù)化分母實(shí)數(shù)化dicbiadicbia)()()()(dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi2222acbdbcadicdcd例例3.3.計算計算)43()21 (ii解解:iiii4321)43()2

7、1 ()43)(43()43)(21 (iiii2510543468322iiii5251先寫成分式形式先寫成分式形式 化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果. 然后然后分母實(shí)數(shù)化分母實(shí)數(shù)化即可運(yùn)算即可運(yùn)算.(一般分子分母同時乘一般分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)以分母的共軛復(fù)數(shù))1212(1)(2)(3)(4)ZZZZZZ下列命題中正確的是如果是實(shí)數(shù)，則、互為共軛復(fù)數(shù)純虛數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是。兩個純虛數(shù)的差還是純虛數(shù)兩個虛數(shù)的差還是虛數(shù)。(2)(2)1212121212121212( )0,( )0,()0,()0,AZZZZBZZZZCZZZZDZZZZ下列命題中的真命題為：若則與互為共軛

8、復(fù)數(shù)。若則與互為共軛復(fù)數(shù)。若則與互為共軛復(fù)數(shù)。若則與互為共軛復(fù)數(shù)。D D（1 1）已知已知求求iziz41,232111212122,zzzzzzzz練練 習(xí)習(xí)（2 2）已知）已知 求求iziz2,1214211122, ()zzzzz（3 3）2)1 (i;2iii11i1; iii11; i. i如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事實(shí)上可以把它推廣到事實(shí)上可以把它推廣到nZ.）設(shè)設(shè) ,則有則有:i2321 . 01 ; 12_23 事實(shí)上事實(shí)上, 與與 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為1的立方虛根的立方虛根,而且對于而且對于 ,也也有類似于上面的三個等式有類

9、似于上面的三個等式._ _ .11;11;1;2)1(2iiiiiiiiii (6)一些常用的計算結(jié)果一些常用的計算結(jié)果拓拓 展展求滿足下列條件的復(fù)數(shù)求滿足下列條件的復(fù)數(shù)z:z:(1)z+(3(1)z+(34i)=1;4i)=1;(2)(3+i)z=4+2i(2)(3+i)z=4+2i 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R R中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律, ,在復(fù)數(shù)集在復(fù)數(shù)集C C中仍然成立中仍然成立. .即對即對z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C C及及m,nm,nN N* *有有: : z zm mz zn n=z=zm+nm+n, , (z (zm m) )n n=z=zmnmn, , (z (z1 1z z2 2) )n n=z=z1 1n nz z2 2n n. .另外另外, ,本題還可用幾何知識來分析本題還可用幾何知識來分析. .