第第4節(jié)隨機事件的概率節(jié)隨機事件的概率最新考綱1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別；2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.1.概率與頻率(1)頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)概率：對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用來估計概率P(A).知知 識識 梳梳 理理頻率fn(A)2.事件的關(guān)系與運算包含BAAB并事件交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當 且 ，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)AB(或AB)互斥事件若AB為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥AB對立事件若AB為不可能事件，AB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件ABP(AB)1事件A發(fā)生事件B發(fā)生3.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：.(2)必然事件的概率P(E).(3)不可能事件的概率P(F).(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(AB).若事件B與事件A互為對立事件，則P(A).0P(A)110P(A)P(B)1P(B)常用結(jié)論與微點提醒1.頻率隨著試驗次數(shù)的改變而改變，概率是一個常數(shù).2.對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()(2)在大量的重復實驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值.()(3)若隨機事件A發(fā)生的概率為P(A)，則0P(A)1.()(4)6張獎券中只有一張有獎，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎的概率小于乙中獎的概率.()答案(1)(2)(3)(4)診診 斷斷 自自 測測2.(教材習題改編)某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學去參加演講比賽，事件“至少有一名女生”與事件“全是男生”()A.是互斥事件，不是對立事件B.是對立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是對立事件D.既不是互斥事件也不是對立事件解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種情況，這兩種情況再加上“全是男生”構(gòu)成全集，且不能同時發(fā)生，故“至少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事件，也是對立事件.答案C答案A4.某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別為0.2，0.3，0.1，則此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為()A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9解析依題設(shè)知，此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為1(0.20.3)0.5.答案A5.(2018北京東城區(qū)調(diào)研)經(jīng)統(tǒng)計，在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點鐘排隊等候的人數(shù)及相應概率如下表：則該營業(yè)窗口上午9點鐘時，至少有2人排隊的概率是_.解析由表格知，至少有2人排隊的概率P0.30.30.10.040.74.答案0.74排隊人數(shù)012345概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04考點一隨機事件間的關(guān)系考點一隨機事件間的關(guān)系【例1】 (1)袋中裝有3個白球和4個黑球，從中任取3個球，則：恰有1個白球和全是白球；至少有1個白球和全是黑球；至少有1個白球和至少有2個白球；至少有1個白球和至少有1個黑球.在上述事件中，是對立事件的為()A. B. C. D.解析(1)至少有1個白球和全是黑球不同時發(fā)生，且一定有一個發(fā)生.故中兩事件是對立事件.不是互斥事件，是互斥事件，但不是對立事件，因此是對立事件的只有，選B.答案(1)B(2)A規(guī)律方法1.準確把握互斥事件與對立事件的概念(1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生.(2)對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生.2.判別互斥、對立事件的方法判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.【訓練1】 從1，2，3，4，5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù).上述事件中，是對立事件的是()A. B. C. D.解析從1，2，3，4，5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)有3種情況：一奇一偶，兩個奇數(shù)，兩個偶數(shù).其中“至少有一個是奇數(shù)”包含一奇一偶或兩個奇數(shù)這兩種情況，它與兩個都是偶數(shù)是對立事件.又中的事件可以同時發(fā)生，不是對立事件.答案C考點二隨機事件的頻率與概率考點二隨機事件的頻率與概率【例2】 (2017全國卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率.所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫低于20，則Y2006(450200)24504100；若最高氣溫位于區(qū)間20，25)，則Y3006(450300)24504300；若最高氣溫不低于25，則Y450(64)900，所以，利潤Y的所有可能值為100，300，900.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.規(guī)律方法1.概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.2.隨機事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.提醒概率的定義是求一個事件概率的基本方法.【訓練2】 (2018武漢調(diào)研)某鮮花店將一個月(30天)某品種鮮花的日銷售量與銷售天數(shù)統(tǒng)計如下表，將日銷售量在各區(qū)間的銷售天數(shù)占總天數(shù)的值視為概率.(1)求這30天中日銷售量低于100枝的概率；(2)若此花店在日銷售量低于100枝的時候選擇兩天做促銷活動，求這兩天恰好是在日銷售量低于50枝時的概率.日銷售量(枝)(0，50)50，100)100，150)150，200)200，250銷售天數(shù)3天5天13天6天3天解(1)設(shè)鮮花店日銷售量為x枝，(2)日銷售量低于100枝共有8天，從中任選兩天做促銷活動，共有28種情況；日銷售量低于50枝共有3天，從中任選兩天做促銷活動，共有3種情況.考點三互斥事件與對立事件的概率考點三互斥事件與對立事件的概率【例3】 (一題多解)經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應的概率如下：排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率；(2)至少3人排隊等候的概率.解記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一記“至少3人排隊等候”為事件H，則HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)1P(G)0.44.【訓練3】 某商場有獎銷售活動中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎.設(shè)“1張獎券中獎”這個事件為M，則MABC.A，B，C兩兩互斥，(3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，