函數(shù)項級數(shù)一致收斂性判別法及其應用數(shù)學科學學院08級蒙班 包艷玲20082115054指導老師 蘇雅拉圖摘 要：本文證明了常用的函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判別法，并通過例題給出了它的應用.關鍵詞：一致收斂，函數(shù)項級數(shù)，和函數(shù).下面我要給出函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的定義JI定義 設給定函數(shù)項級數(shù)7 Uk(x)，如果它的部分和序列Sn(x)=7 Uk(X)在k4k區(qū)間I 一致收斂到和函數(shù)S(x);那么稱級數(shù)二uk(x)在區(qū)間I 一致收斂到和函數(shù)k 4S(x),qQ即用；一 N語言來敘述，函數(shù)項級數(shù)a Uk(x)在區(qū)間I 一致收斂到S(x)，是指對 任給的； 0 ,存在于x無關的N，只要n N就有Sn(X) S(X)| =遲 U(X) S(x) < Bk=1對一切X I 直成立.例1證明函數(shù)項級數(shù)*在舅一致收斂.k=1n證明已知7 xkJk壬1 -XSn(X)八廠k -11 -xSn(x)-S(x)匸1 -x _ 2njln ；則只要n N，就有Sn (X) - S(X)；X _42，1111在11定理1 (柯西原理)函數(shù)項級數(shù)二Uk(x)在I上一致收斂的充要條件是,kJV >0, mN = N(g E N屮Wn A N,X/pE N,及x I 都有n P工 Uk(X)= Sn*(X)Sn(X)= Un 卑(X)+ UnH2(X)+Un4p(X)|vE， k 1qQ證明 必要性 已知；Uk(X)在區(qū)間I 一致收斂，設其和函數(shù)是S(x)，即k4&1亠ZSn(X)S(X)C?也有 &知&)-S(X)<?于是n 4pE Uk(X)= Sn 北(x) Sn(X)| = Sn4p(x)S(x) + S(x)Sn(X) kM蘭 Sn4p(X)S(X)*S(X)Sn(X)zz<+ = z22充分性已知- ；0, TN 二叫廠 N ., - n N, - p N .,及 - x I 有n4p二 Uk(x)k=a +=Sn4p(X) Sn(X)< 名證明有柯西原理；-X-0要使不等式證明有柯西原理；-X-0要使不等式qQ從而"Uk(x)在區(qū)間I收斂，設其和函數(shù)是S(x)，因為p是任意正整數(shù)，所以當k生P：時，上述不等式有Sn(X)- S(X):；即函數(shù)項級數(shù)Uk(x)在區(qū)間I 一致收斂.k A證明有柯西原理；-X-0要使不等式證明有柯西原理；-X-0要使不等式00 xn函數(shù)項級數(shù)(nm nn勺-汁在區(qū)間L 1,1的一致收斂性.證明有柯西原理；-X-0要使不等式Sn p(X)_Sn(X)| = (n 卑n-2n半n-3n4pn4p*XX 、/ Xx 、, XX、_ ) + ( _ ) +"" + ( ) n+1 n+2 n + 2 n+3n+p n +p + 1xn 1 xn -p 1 n 1 n p 1xn-+xn亦n 1 n p 11 1 2<+<< zn 1 n p 1 n 1從一2得到n .2-1，則取N = 2 -1n 1,于是- ；0, N *2 一1N -n N,_p N .,及-x 1-1,1有n4pZ Uk(x)Sn4p(X)- Sn (x)k出卑< n即函數(shù)項級數(shù)v (-n it n定理2 (維爾斯特拉斯判別法，或稱 M判別法或稱控制收斂判別法)n +x )在區(qū)間-1,1一致收斂.qQ若對函數(shù)項級數(shù)7 Uk(x)，存在Mk,(k=1,2，)，使得k 4Uk(x) EMk，Vxl，而正項數(shù)值級數(shù)瓦Mk收斂, k 二qQ則7 Uk(x)在區(qū)間I I 一致收斂.k壬QO證明 X M k收斂，-；0, NN., - nN, - pN ,有k =1Mn1 Mn2Mn p ：；，從而只要 n N,p N .，有Un 加(X)蘭 Un4t(X)+ UX) + +乞M n 1 * M n 2* M n p ”： ；，* * I，由柯西原理知Un 1(X) Un 2(X)qQ函數(shù)項級數(shù)v uk(x)在區(qū)間I 一致收斂.k =1qQ例3證明瓦xk*k =1在瑋一致收斂.證明因為xk4乞(2)k4,-x -鳥，2 _ 2 2Un卄(X)旳1而三(廣收斂，由M判別法知證明 -x三3,2 n三N有匚xk-在區(qū)間k 4鳥一致收斂.證明 -x三3,2 n三N有定理3 (狄利克雷判別法)qQ若函數(shù)項級數(shù)V an(X)bn(X)滿足下面兩個條件:n 4致收斂1. 函數(shù)列(an(x)?對每一個X。 I是單調的，且n：:時在區(qū)間I 于0;2. 函數(shù)項級數(shù)7 bn(x)的部分和函數(shù)列、Bn(x)f在區(qū)間I 一致有界,n 4qQ則函數(shù)項級數(shù)an(x)bn(x)在區(qū)間I 一致收斂.n z!證明 已知函數(shù)列gn(x)1 致收斂于0, 即一；0, TN = N ； N , 一 n N, 一 x I，有 an 彳(x)：；.qQ又已知函數(shù)項級數(shù)" bn (x)的部分和函數(shù)列Bn(X在區(qū)間I 一致有界，n經(jīng)即-JM0, - n N , - x I,有 Bn (x) _ M .從而，有bn 舟(X)+bn 七(X)+ +0卄=|Bn4p(X)- Bn(X) 蘭 Bn4p(X)+|Bn(X)蘭 2M.根據(jù)阿貝爾引理，-xI，有an + (x)bn4f(x)+and2(x)bnd2(x) + + a.命(x)bn4p(x)蘭2Man+(x).于是,- ；0, N N ，-n N, -p N .,-x I,有an i(x)bn i(x) an 2(x)bn 2(x)a. p(x)bn p(x) 一 2M ；,即函數(shù)項級數(shù)0an(x)bn(x)在區(qū)間I 一致收斂.n 例4 證明函數(shù)項級數(shù)SinX在區(qū)間,2二(0 ：二)一致收斂n送 sin kx71 nX 2sin kxsin 2si nJ21 n 1 1 cos(k )xcos(k )x 2sinXk2221 / 1、cosx cos(n 十)x2 211<、一M.1.62 si n sin 一 xsin 222DO1 j知函數(shù)項級數(shù)E sinnx的部分和函數(shù)列在 畑 -5 一致有界，而數(shù)列單調 n iin 丿減少趨于0 (當然在&2Z 也是一致收斂于0),根據(jù)狄利克雷判別法，函數(shù) 項級數(shù)I竺竺在區(qū)間卜.,2二 I一致收斂.nr! n定理4(阿貝爾判別法)0若函數(shù)項級數(shù)a an(x)bn(x)滿足下面兩個條件：n 二1.函數(shù)列n(x/?對每一個X。 I是單調的，且在區(qū)間I 一致有界;Q02.函數(shù)項級數(shù)7 bn(x)在區(qū)間I 一致收斂,n AqQ則函數(shù)項級數(shù)v an(x)bn(x)在區(qū)間I 一致收斂.n 二證明由條件知存在M0.使得an(x)乞 M , x I, n =1,2,.由柯西原理知，- ；0, N N .,-n N,-p N .,有n外Z bk(x) <E,PxE I.因此，對任意n AN,任意的正整數(shù)p， k zQ十瓦 ak(x)bk(x)k n十y(an 卅(x) +2an p(x) ：3M ；,x I.用阿貝爾引理，有qQ 再由柯西原理知7 an(x)bn(x)在區(qū)間I 一致收斂.n =1qQqQ例5已知函數(shù)項級數(shù)an(x)收斂，證明a an(x)xn在0,11 一致收斂.ngn -1qQ證明 已知"an(x)收斂，而對-X0,1 ，xn對n單調下降，且一致有界, n 4xn E1,X/x bl n = 1,2，.由阿貝爾判別法知an(x)xn在區(qū)間0,1 1 一致收斂.n =1qQ例6證明若函數(shù)項級數(shù)a anxn ( an是常數(shù))在x = r(O)收斂，則它在區(qū) n 4間0,r 1 一致收斂.qQ證明先把二anXn改寫為n 4旳x-nn nanX = " anr ().n trqQ已知級數(shù)anrn收斂，從而它在區(qū)間0,r 1也是一致收斂，且函數(shù)列n呂<j(：)n淮0,r單調減少，又一致有界，即M =1,- n N.,-x0,r!有(x)n汨，根據(jù)阿貝爾判別法，函數(shù)項級數(shù)rQO anXn在區(qū)間0,r 1 一致收斂.n =1參考文獻：1. 劉玉璉，傅沛仁，林玎.數(shù)學分析講義.高等教育出版，2003年4月第二版.2. 鄧東皋，尹小玲.數(shù)學分析簡明教程(下).高等教育出版，2006年3月第二版.