兩條直線平行與垂直的判定的教學(xué)設(shè)計(jì)、反思和重新設(shè)計(jì)高中課堂教學(xué)研究中小學(xué)數(shù)學(xué)坤學(xué)版iIII原始教學(xué)設(shè)計(jì)一,內(nèi)容與內(nèi)容解析直線的平行和垂直是兩條直線的重要位置關(guān)系,本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用斜率來(lái)判斷兩條直線的這兩種重要的位置關(guān)系.兩條直線平行與垂直的判定這節(jié)內(nèi)容,安排在學(xué)習(xí)了傾斜角與斜率之后,是直線的斜率這個(gè)工具的一個(gè)具體應(yīng)用.在初中數(shù)學(xué)平面幾何中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)判斷兩條直線是否平行的方法,如同位角相等兩直線平行等等,也學(xué)習(xí)過(guò)如何判斷兩條直線是否垂直的方法.在高中數(shù)學(xué)0中的第二章立體幾何中,我們從宏觀上知道兩條直線有三種位置關(guān)系:相交,平行和異面,其中垂直也是兩條直線的位置關(guān)系的一種特殊情況.那么,在第三章直線與方程中,我們是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系,計(jì)算兩條直線的斜率(如果存在)的關(guān)系,來(lái)判斷兩條直線的位置關(guān)系.這是從微觀的角度來(lái)考慮,是通過(guò)代數(shù)關(guān)系得到幾何結(jié)論,體現(xiàn)了用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的笛卡爾坐標(biāo)法思想.當(dāng)兩條不重合直線平行時(shí),它們的斜率相等,或者它們的斜率都不存在,這時(shí)這兩條直線都與軸垂直.反之,若兩條不重合直線的斜率k=k或斜率同時(shí)不存在,那么我們可以得到這兩條直線平行.由k=k:,可得到Z與z的傾斜角相等,這樣就把代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系,根據(jù)幾何知識(shí),兩條直線被第三條直線所截,同位角相等,兩直線平行,從而判定直線I與f:平行.類比,教材提出思考題”2上f:時(shí),k.與k:滿足什么關(guān)系?”實(shí)際上,如果兩條直線都有斜率,且它們互相垂直,那么它們的斜率之積等于一1;反之,如果它們的斜率之積等于一1,那么它們互相垂直,即l.上12k:=一1.這個(gè)結(jié)論成立的條件是兩條直線都有斜率,并且都不等于零.當(dāng)2.上1:時(shí),還有一種特殊情況是,l.與z中一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為零.具體證明結(jié)論時(shí),教材利用”三角形任一外角等于其不相鄰兩內(nèi)角之和”得到Ot:=90.+O/,并利用tana:=tan(90.+)=一,得到一=一1.反過(guò)來(lái)時(shí),這個(gè)結(jié)論也成立.這里再次體現(xiàn)了解.15.l中小學(xué)數(shù)學(xué)?中學(xué)版I_?-課堂教學(xué)研究析幾何的思想,即通過(guò)代數(shù)關(guān)系獲得幾何結(jié)論二,目標(biāo)與目標(biāo)解析根據(jù)普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))中的要求:能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.根據(jù)浙江省普通高中新課程試驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見(2009版),本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是:掌握用斜率判定兩條直線平行和垂直的方法;能利用斜率解決具體問(wèn)題,關(guān)鍵是掌握這種數(shù)學(xué)思想方法,即用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的笛卡爾坐標(biāo)法思想.在本節(jié)課中,始終滲透要這種解析幾何思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化和化歸的能力.三,教學(xué)問(wèn)題診斷分析本課時(shí)要求學(xué)生掌握用斜率判定兩條直線平行和垂直的方法,能利用斜率解決具體問(wèn)題.判定兩條直線的位置關(guān)系的方法,學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)過(guò)程中已經(jīng)有一定的基礎(chǔ),而且傾斜角的概念和斜率的公式也剛剛學(xué)習(xí)完,這是學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).所以教師的任務(wù)之一是引導(dǎo)學(xué)生觀察兩條直線的兩種特殊位置關(guān)系平行和垂直,得出它們的斜率之間的代數(shù)關(guān)系,通過(guò)觀察和猜想,再進(jìn)行證明,最后利用這個(gè)特殊的代數(shù)關(guān)系,進(jìn)而判定兩條直線的位置關(guān)系.綜上所述,教學(xué)重點(diǎn)是掌握用斜率判定兩條直線平行和垂直的方法,教學(xué)難點(diǎn)是當(dāng)兩條直線垂直時(shí),如何歸納出它們之間斜率的代數(shù)關(guān)系.四,教學(xué)支持條件分析本課時(shí)充分借助信息技術(shù)手段,如幾何畫板,Powerpoint等.借助幾何畫板工具,形象直觀地展示,當(dāng)兩條直線垂直時(shí),它們斜率之間的代數(shù)關(guān)系,幫助學(xué)生直觀上認(rèn)識(shí)和猜想f上12甘:=一1.這樣也更.16一好解決教學(xué)的難點(diǎn)高中五,教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)(一)復(fù)習(xí)練習(xí)1.已知直線CD的傾斜角為45.,點(diǎn)E(一1,0),F(0,1),求.,JjE,及直線EF的傾斜角02.已知c(3,0),H(3,一1),K(一2,0),S(一2,1),求直線GH與KS的傾斜角分別為多少度?3.已知A(2,0),B(O,2),P(一1,0),Q(0,一1),求直線AB的斜率k與直線PQ的斜率設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)上節(jié)課內(nèi)容:直線的傾斜角和斜率公式,并引出本節(jié)課研究的內(nèi)容,即兩條直線平行與直線的斜率之間的代數(shù)關(guān)系.(二)探究新知和結(jié)論應(yīng)用問(wèn):請(qǐng)你分別畫出每小題中的直線,并且判斷兩條直線的位置關(guān)系.你能猜想到什么結(jié)論?請(qǐng)說(shuō)明理由.設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生觀察,猜想和證明,兩條直線平行和它們的斜率之間的代數(shù)關(guān)系,并結(jié)合具體的兩條直線平行的實(shí)例,進(jìn)一步引導(dǎo)和歸納完善結(jié)論,即當(dāng)兩條不重合的直線l,f:的斜率分別為,時(shí),l12甘l=2.師生歸納:若兩條不重合的直線平行,則它們的斜率相等,或者它們的斜率都不存在,反之也成立.練習(xí)題組一已知點(diǎn)A(2,3),(一4,0),P(一3,1),Q(一1,2),c(o,2),D(一尋,一3),E(7,0).(1)試判斷直線AB與PQ的位置關(guān)系.(2)試判斷A,B,C三點(diǎn)是否在同一條直線上?高中-?一課堂教學(xué)研究?(3)試判斷四邊形ABDE的形狀.設(shè)計(jì)意圖:本題組是對(duì)歸納的結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用,引導(dǎo)學(xué)生掌握用斜率判定兩條直線平行的方法.第1小題是通過(guò)代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系,第2小題是為了讓學(xué)生掌握,通過(guò)斜率來(lái)判斷三點(diǎn)是否共線的方法.第3小題是課本例題的改編,安排的意圖是引導(dǎo)學(xué)生并根據(jù)圖形進(jìn)行進(jìn)一步猜想,兩條直線垂直時(shí),它們之間的斜率有什么代數(shù)關(guān)系,即z上12甘jlJ2=一1.問(wèn):當(dāng)A曰上AE時(shí),直線日的斜率Jj與直線AE的斜率滿足什么關(guān)系?并說(shuō)明理由.(用幾何畫板演示過(guò)程)Jhy/日OEi幽l思考:當(dāng)直線AB旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3),口(一5,3),AE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3),E(2,一1)時(shí),則直線AB與AE的位置關(guān)系如何?剛才歸納的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)畫出圖形.設(shè)計(jì)意圖:利用幾何畫板,轉(zhuǎn)動(dòng)直線AB且保持AB上AE,讓學(xué)生進(jìn)一步觀察和猜想與的代數(shù)關(guān)系,并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明fl上12甘J=一1.在觀察,猜想和證明的基礎(chǔ)上,結(jié)合思考題給出的實(shí)例,進(jìn)一步歸納和改進(jìn)完善剛才的結(jié)論.師生歸納:Z1上12|j:=一1或者Z.與f中一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為零.練習(xí)題組二1.判斷下列各小題中的每對(duì)直線是否垂直:-I中小學(xué)數(shù)學(xué)坤學(xué)版fl(1)l1的斜率為一了2,經(jīng)過(guò)A(1,1),B(o,一);(2)Z.的傾斜角為45.,Z經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(一2,一1),Q(3,一6).2.已知直線f1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m,1),B(3,4),z:經(jīng)過(guò)點(diǎn)c(1,m),D(一1,m+1),根據(jù)下列條件求m的值:(1)ZlJ_Z2;(2)AD上BC.設(shè)計(jì)意圖:對(duì)上述歸納的結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.第1小題要求學(xué)生利用斜率的關(guān)系,即代數(shù)關(guān)系來(lái)判斷兩條直線的幾何位置關(guān)系;第2小題中,要求學(xué)生能根據(jù)兩條直線的幾何位置關(guān)系,得出代數(shù)關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用方程的思想進(jìn)行解決.練習(xí)題組三1.過(guò)點(diǎn)(一1,1)且斜率為的直線z.與過(guò)點(diǎn)(一2,0)且斜率為的直線z平行,求m,并畫出圖形.(答案:m=一9,”-3m=1時(shí),Zl與Z重合,舍去)2.在AABC中,已知頂點(diǎn)A(一10,2),B(6,4),垂心為H(5,2),求點(diǎn)c的坐標(biāo).(答案:C(6,一6)-B6,4)一:2一一一1日.2)/C圖2設(shè)計(jì)意圖:對(duì)本節(jié)課歸納的結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)單的綜合應(yīng)用.(三)歸納小結(jié)-l7一一-I中小學(xué)數(shù)學(xué)坤學(xué)版I_-1.若兩條不重合的直線平行,則它們的斜率相等,或者它們的斜率都不存在,反之也成立.2.21J-12甘1k2m-一1或者ll與12中一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為零.(四)目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)作業(yè)本敦學(xué)后的反思在我們區(qū)上完兩條直線平行與垂直的判定公開課后,老師各抒己見,對(duì)本課的一些教學(xué)細(xì)節(jié)進(jìn)行了批評(píng).筆者在教學(xué)完這節(jié)課后,也進(jìn)行了對(duì)本節(jié)課的反思,綜合起來(lái),有以下幾點(diǎn).第一,這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)突出的核心數(shù)學(xué)思想方法是什么?我們知道,在教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中,應(yīng)該突出核心的數(shù)學(xué)思想方法.那么本節(jié)課的核心數(shù)學(xué)思想方法是什么呢?我們討論的結(jié)果是,坐標(biāo)法思想.通過(guò)求兩條直線的斜率的代數(shù)關(guān)系,判斷它們之間的位置關(guān)系.這是這節(jié)課的核心內(nèi)容.在前面所學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容中,我們已經(jīng)能夠判斷兩條直線的平行和垂直的位置關(guān)系.比如,同位角相等,兩直線平行;我們?cè)谙蛄康膶W(xué)習(xí)過(guò)程中,通過(guò)向量也能判斷兩條直線平行和垂直;通過(guò)解三角形求角,也能判斷兩條直線是否垂直.那么本節(jié)課是利用坐標(biāo)法思想,通過(guò)建立兩條直線的斜率的代數(shù)關(guān)系,來(lái)判斷兩條直線是否平行或垂直.在這一章中,我們始終要體現(xiàn)的是坐標(biāo)法的思想,這是我們的根本大法.在課堂中,我們受到了向量法的干擾,這里是否需要展開呢?還是就此打住?我們教師也各抒己見.有的認(rèn)為可以復(fù)習(xí)以前向量的內(nèi)容,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,課堂也顯得更加豐富.有的認(rèn)為本節(jié)課的核心是坐標(biāo)法,所以其它方法不必一18一課堂教學(xué)研究高中要進(jìn)行拓展,點(diǎn)到為止.筆者贊同的是后一種意見.一節(jié)課的展開必須圍繞著核心的思想方法進(jìn)行展開,削支強(qiáng)干.第二,關(guān)于課題的引入問(wèn)題.本節(jié)課,筆者利用三個(gè)小題,復(fù)習(xí)前一節(jié)課的內(nèi)容,傾斜角的概念和斜率的公式.同時(shí)利用這三個(gè)小題作為引入,歸納出兩條不重合直線平行的條件是它們的斜率相等或者它們的斜率同時(shí)不存在.這樣引入既能復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容,又能導(dǎo)出本節(jié)課的主要內(nèi)容,筆者上完本節(jié)課之后,也覺得過(guò)渡比較自然.評(píng)課的老師提出了寶貴的意見,本節(jié)課為什么要用斜率來(lái)判斷兩條直線的位置關(guān)系呢?我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò):”數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難人微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家事萬(wàn)休.”那么本節(jié)課的引入是否觸及到本節(jié)課的核心思想方法坐標(biāo)法呢?答案是否定的.因此我們?cè)谝霑r(shí),用計(jì)算機(jī)畫出兩條看似平行的直線,但實(shí)際上不平行,作為研究的對(duì)象進(jìn)行深入研究,這樣可能更好地體現(xiàn)本節(jié)課的內(nèi)容,也能回答為什么要用斜率來(lái)判斷兩條直線的位置關(guān)系了.這樣修改之后,本節(jié)課也更加緊湊了,留給學(xué)生的自主思考的時(shí)間也更加充裕.在修改后的教學(xué)設(shè)計(jì)中,筆者采用了這樣的想法.至于課堂的教學(xué)效果,還看具體的實(shí)踐,也希望各位專家提出寶貴的意見.修改后的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)(一)新課引入問(wèn):請(qǐng)同學(xué)們觀察圖3,你能判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系嗎?設(shè)計(jì)意圖:激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)可以復(fù)習(xí)上節(jié)課內(nèi)容直線的傾斜角和斜率公式,并引出本節(jié)課高中課堂教學(xué)研究-研究的內(nèi)容,用代數(shù)的方法來(lái)研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系,即兩條直線平行與直線的斜率之間的代數(shù)關(guān)系.由J/l圖3(二)探究新知和結(jié)論應(yīng)用問(wèn):如何判斷這兩條直線的位置關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生思考和證明,兩條直線平行和它們的斜率之間的代數(shù)關(guān)系,并結(jié)合具體的兩條直線平行的實(shí)例,進(jìn)一步引導(dǎo)和歸納完善結(jié)論,即當(dāng)兩條不重合的直線z,1:的斜率分別為k.,k:時(shí),z12Ok1=k2.歸納:若兩條不重合的直線平行,則它們的斜率相等,或者它們的斜率都不存在,反之也成立.練習(xí)題組一已知點(diǎn)A(2,3),B(一4,0),P(一3,1),Q(一1,2),C(0,2),D(一5,一3),E(,0).(1)試判斷直線AB與PQ的位置關(guān)系.問(wèn):直線AB與JPQ是否重合?(2)試判斷A,B,C三點(diǎn)是否在同一條直線上?(3)試判斷四邊形ABDE的形狀.設(shè)計(jì)意圖:本題組是對(duì)歸納的結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用,引導(dǎo)學(xué)生掌握用斜率判定兩條直線平行的方法.第1小題是通過(guò)代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系,第2小題是為了讓學(xué)生掌握,通過(guò)斜率來(lái)判斷三點(diǎn)是否共線的中小學(xué)數(shù)學(xué)坤學(xué)版羹方法.歸納完判斷三點(diǎn)是否共線的方法之后,再追問(wèn),直線A日與PQ是否重合呢?追問(wèn)的目的是讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎?第3小題是課本例題的改編,安排的意圖是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形進(jìn)行進(jìn)一步猜想,兩條直線垂直時(shí),它們之間的斜率有什么代數(shù)關(guān)系,即Zl上Z21k2=一1.問(wèn):當(dāng)AB上AE時(shí),直線AB的斜率k與直線AE的斜率k滿足什么關(guān)系?并說(shuō)明理由.(用幾何畫板演示過(guò)程)思考:當(dāng)直線AB旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3),曰(一5,3),AE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3),E(2,一1)時(shí),直線AB與AE的位置關(guān)系如何?剛才歸納的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)畫出圖形J/一B0E幽4設(shè)計(jì)意圖:使用幾何畫板作為教學(xué)輔助工具,旋轉(zhuǎn)直線AB和AE,并且保持AB上AE,讓學(xué)生進(jìn)一步觀察和猜想k與k的代數(shù)關(guān)系,并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明2.上12甘.k2=一1.在觀察,猜想和證明的基礎(chǔ)上,結(jié)合思考題給出的實(shí)例,進(jìn)一步歸納和改進(jìn)完善剛才的結(jié)論.師生歸納:Z1上12錚Jjl|j2=一1或者f.與f2中一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為零.練習(xí)題組二1.判斷下列各小題中的每對(duì)直線是否垂直:(1)z的斜率為一了2,f2纈A(1,1),(0,一);.19.一lf中小學(xué)數(shù)學(xué).中學(xué)版I課堂教學(xué)研究一20.高中另一條直線的斜率不存在的情況,進(jìn)行鞏固練習(xí).(三)歸納小結(jié)1?若兩條不重合的直線平行,則它們的斜率相等,或者它們的斜率都不存在,反之也成立.2?zt上f2舒七一k2=一1或者l與f2中一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為零.(四)目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)參考文獻(xiàn):1中華人民共和國(guó)教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))M.北京:人民教育出版社,2003年版.2浙江省普通高中新課程實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見.浙江教育出版社.2009版3章建躍.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)研究.數(shù)學(xué)通報(bào)J,2006年第6期.4數(shù)學(xué)教學(xué)反思的內(nèi)容與方法,中國(guó)數(shù)學(xué)教育高中版),2008年第4期.