2.3.2　方差與標準差 1．已知一個樣本的方差s2＝[(x1－2)2＋(x2－2)2＋…＋(x10－2)2]，這個樣本的平均數(shù)是________． 解析　由方差公式的形式易知平均數(shù)為2. 答案　2 2．數(shù)據(jù)5,7,7,8,10,11的標準差是________． 解析　數(shù)據(jù)的平均數(shù)是： ＝＝8，標準差為：s＝2. 答案　2 3．如圖是全國鋼琴、小提琴大賽比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為________. 解析　由平均數(shù)和方差公式可知：平均數(shù)為85，方差為1.6. 答案　85；1.6 4．已知樣本x1，x2，x3，x4，x5的方差為3，則樣本4x1＋1,4x2＋1,4x3＋1,4x4＋1,4x5＋1的標準差是________． 解析　若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差為s2，則樣本ax1＋b，ax2＋b，ax3＋b，ax4＋b，ax5＋b的方差為a2s2. 由題意知4x1＋1,4x2＋1,4x3＋1,4x4＋1,4x5＋1的方差為423＝48. ∴其標準差為＝4. 答案　4 5．一個樣本的方差是0，若中位數(shù)是a，那么它的平均數(shù)是________． 解析　由于樣本的方差是0，這組數(shù)每一個數(shù)都相等，又中位數(shù)是a，所以它的平均數(shù)是a. 答案　a 6．對自行車運動員甲、乙兩人在相同條件下進行了6次測試，測得他們的最大速度(m/s)的數(shù)據(jù)如下： 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 試判斷選誰參加某項比賽更合適． 解　他們的平均速度為： 甲＝(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33(m/s)， 乙＝(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33(m/s)． 他們的平均速度相同，比較方差： s甲2＝[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2] ＝(m2/s2)， s乙2＝[(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝(m2/s2)． ∵s甲2＞s乙2，即s甲＞s乙． 故乙的成績比甲穩(wěn)定．∴選乙參加比賽更合適． 7．甲、乙、丙、丁四人參加奧運會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均數(shù)(分) 8.5 8.8 8.8 8 方差s2(分2) 3.5 3.5 2.1 8.7 則參加奧運會的最佳人選應為________． 解析　成績最好的為乙、丙，而表現(xiàn)最為穩(wěn)定的為丙． 答案　丙 8．若a1，a2，…，a20這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為0.20，則a1，a2，…，a20，這21個數(shù)據(jù)的方差約為________．(精確到小數(shù)點后兩位) 解析　s2＝[(a1－)2＋(a2－)2＋…＋(a20－)2＋(－)2]＝200.20＝≈0.19. 答案　0.19 9．在抽查產(chǎn)品尺寸的過程中，將其尺寸分成若干組．[a，b)是其中的一組，抽查出的個體在該組上的頻率為m，該組上的直方圖的高為h，則|a－b|＝________. 答案　mh 10．為了科學地比較考試的成績，有些選拔性考試常常會將考試分數(shù)轉(zhuǎn)化為標準分，轉(zhuǎn)化關系為：Z＝(其中x是某位學生考試分數(shù)，是該次考試的平均分，s是該次考試的標準差，Z是這位學生的標準分)．但考試分數(shù)轉(zhuǎn)化成標準分后可能出現(xiàn)小數(shù)或負值．因此，又常常再將Z分數(shù)作線性變換轉(zhuǎn)化成其他分數(shù)．例如某次學業(yè)選拔考試采用的是T分數(shù)，線性變換公式是：T＝40Z＋60.已知在這次考試中某位考生的考試分數(shù)是85，這次考試的平均分是70，標準差是25，則該考生的T分數(shù)為________． 解析　利用題中給出的公式算得Z＝0.6，∴T＝400.6＋60＝84. 答案　84 11．甲、乙兩人數(shù)學成績的莖葉圖如圖． (1)則表示的原始數(shù)據(jù)是什么？ (2)求出這兩名同學的數(shù)學成績的平均數(shù)、標準差； (3)比較兩名同學成績的優(yōu)劣． 解　(1)103 (2)甲的平均數(shù)為87，標準差為12.3；乙的平均數(shù)為95，標準差為10.2. (3)甲的學習狀況不如乙． 12．為了解A，B兩種輪胎的性能，某汽車制造廠分別從這兩種輪胎中隨機抽取了8個進行測試，下面列出了每一個輪胎行駛的最遠里程數(shù)(單位：1 000 km) 輪胎A　96,112,97,108,100,103,86,98 輪胎B　108,101,94,105,96,93,97,106 (1)分別計算A，B兩種輪胎行駛的最遠里程的平均數(shù)、中位數(shù)； (2)分別計算A，B兩種輪胎行駛的最遠里程的極差、標準差； (3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)你認為哪種型號的輪胎性能更加穩(wěn)定． 解　(1)A輪胎行駛的最遠里程的平均數(shù)為： ＝100， 中位數(shù)為：＝99； B輪胎行駛的最遠里程的平均數(shù)為： ＝100， 中位數(shù)為：＝99. (2)A輪胎行駛的最遠里程的極差為： 112－86＝26， 標準差為： s＝ ＝ ≈7.43； B輪胎行駛的最遠里程的極差為：108－93＝15， 標準差為： s＝ ＝≈5.43. (3)由于A和B的最遠行駛里程的平均數(shù)相同，而B輪胎行駛的最遠里程的極差和標準差較小，所以B輪胎性能更加穩(wěn)定． 13．(創(chuàng)新拓展)某班40人隨機平均分成兩組，兩組學生某次考試的分數(shù)(單位：分)情況如下表： 　　　統(tǒng)計量 組別　　　 平均數(shù) 標準差 第一組 90 6 第二組 80 4 則全班的平均成績和標準差分別是多少？ 解　設第一組20名學生的成績?yōu)閤1，x2，x3，…，x20，第二組20名學生的成績?yōu)閤21，x22，…，x40，根據(jù)題意得 90＝，80＝， ＝＝＝85(分)， 第一組的方差s12＝(x12＋x22＋…＋x202)－902，① 第二組的方差s22＝(x212＋x222＋…＋x402)－802，② 由①＋②，得 36＋16＝(x12＋x22＋…＋x202＋x212＋…＋x402)－(902＋802)， ∴＝7 276(分2) ∴s2＝－852＝7 276－7 225＝51(分2)， ∴s＝(分). 4