第第14章章 勾股定理勾股定理 14.1 勾股定理勾股定理 14.1.1 直角三角形三邊的關(guān)系直角三角形三邊的關(guān)系 第第2課時課時 勾股定理的驗證及其簡單應(yīng)用勾股定理的驗證及其簡單應(yīng)用 拼圖法大多數(shù)是利用 驗證勾股定理 利用 定理，知道直角三角形任意兩條邊的長，可求出 的長， 并能利用它解決相關(guān)的簡單的實際問題 例如一根長為 5 米的木桿斜靠在墻上(如圖)，桿底距墻的下沿的距離BC4米， 則桿的頂端與墻的下沿的距離 AC 米 面積面積 勾股勾股 第三邊第三邊 3 知識點 驗證勾股定理 1. 利用圖或圖兩個圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個十分著名的定理，這個定理稱為 ，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達式是 . 圖 圖 勾股定理勾股定理 a2b2c2 2. 做 8 個全等直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a、b，斜邊長為 c，再做三個邊長分別為 a、b、c的正方形，把它們像如圖所示那樣拼成兩個正方形，用上面提供的拼圖方法可以證明勾股定理，你知道這是為什么嗎？ 解：理由：由兩個圖形的面積相等得： 412aba2b2412abc2， a2b2c2. 知識點 勾股定理在實際問題中的簡單應(yīng)用 3. 如圖， 有兩棵樹， 一棵高 10 m ， 另一棵高 4 m ，兩樹相距 8 m 一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行( ) A8 m B10 m C12 m D14 m 第 3 題圖 B 4. 如圖，某人欲橫渡一條河，由于受水流的影響，實際上岸地點 C 偏離欲到達點 B 200 m ，結(jié)果他在水中實際游了 520 m ，則該河的寬度為 m . 第 4 題圖 480 5. 如圖是一個外輪廓為長方形的機器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸(單位：mm )，計算兩圓孔中心 A和 B 的距離為 mm . 150 1. 如圖，在水塔 O 的東北方向 32 m 處有一抽水站A. 在水塔的東南方向 24 m 處有一建筑工地 B， 若在 AB間建一直水管，則水管的長為( ) A45 m B40 m C50 m D56 m 第 1 題圖 B 2.下列選項中，不能用來證明勾股定理的是( ) A B C D D 3. (2017 襄陽)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為 a，較短直角邊長為 b，若(ab)221，大正方形的面積為 13，則小正方形的面積為( ) A3 B4 C5 D6 第 3 題圖 C 【解析】(ab)221，a22abb221，又 a2b213，2ab8，小正方形的面積13412ab1385. 4. 如圖，飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到小剛頭頂正上方 4000 米處，過了 10 秒，飛機距離小剛5000 米，則飛機每小時飛行 千米 第 4 題圖 1080 5. 如圖所示， 為修鐵路鑿?fù)ㄋ淼繠C， 測得A40 ，B50 ，AB5 km ，AC4 km ，若每天鑿隧道 0. 3 km ，則需 天才能把隧道鑿?fù)?第 5 題圖 10 6. 如圖是“趙爽弦圖”， ABH， BCG， CDF 和 DAE 是四個全等的直角三角形，四邊形 ABCD 和EFGH 都是正方形，如果 AB10，EF2，那么 AH 等于 . 6 【解析】設(shè) AEa，DEb，由題意知 412ab100496，2ab96，a2b2100，(ab)210096196，ab14，又ab2，解得 a8，b6，即 AE8，DE6，AH826. 7. 如圖所示，沿 AE 折疊矩形 ABCD，點 D 恰好落在 BC 邊上的點 F 處已知 AB8，BC10，求 EC 的長 解：由題意，得 AFADBC10，B90 ，AB8， BF AF2AB2 102826， CFBCBF4. 設(shè) EC 的長為 x，EFDE8x， C90 ，CF2CE2EF2， 42x2(8x)2， 解得 x3，EC 的長為 3. 8. 在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，它高出水面 3 尺(如圖)突然一陣大風吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動的水平距離為 6 尺，請問水深多少？ 解：設(shè)水深 h 尺，如圖，在 Rt ABC 中，ABh 尺，AC(h3)尺，BC6 尺由勾股定理得：AC2AB2BC2， 即(h3)2h262， 解得 h4. 5. 所以水深 4. 5 尺 9. 如圖所示， 一個牧童在小河南 4 km 的 A 處牧馬，而他正位于他的小屋 B 的西 8 km 北 7 km 處， 他想把馬牽到小河邊去飲水，然后回家完成這件事情他所走的最短路程是多少？ 解：作出點 A 關(guān)于河邊 EF 的對稱點 A，連結(jié) AB交河邊 EF 于點 M， 則牧童沿 AMB 的路線完成這件事所走的路程最短，最短路程即為 AB，由勾股定理得：AB BC2AC2 82（744）2 8215217(km ) 問題情境 勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理， 它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)學(xué)關(guān)系”(勾股定理)帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言 定理表述 請你根據(jù)圖中的直角三角形敘述勾股定理(用文字及符號言語言敘述) 嘗試證明 以圖中的直角三角形為基礎(chǔ)， 可以構(gòu)造出以 a、b 為底，以(ab)為高的直角梯形(如圖)，請你利用圖驗證勾股定理 知識拓展 利用圖中的直角梯形，我們可以證明ab c 2. 其證明步驟如下： BCab，AD ， 又在直角梯形 ABCD 中，有 BC AD(填大小關(guān)系)，即 ， ab c 2. 2c ab 2c 解： 定理表述 如果直角三角形的兩條直角邊長分別為 a、b，斜邊長為 c，那么 a2b2c2. 嘗試證明 Rt ABERt ECD， AEBEDC. 又EDCDEC90 ，AEBDEC90 ，AED90 . S梯形ABCDSRt ABESRt DECSRt AED，12(ab)(ab)12ab12ab12c2，整理得 a2b2c2.