2013年4月杭州市重點(diǎn)高中2013高考數(shù)學(xué)命題比賽 數(shù)學(xué)（理科）卷1本試卷分第I卷和第II卷兩部分考試時(shí)間120分鐘，滿分150分請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上參考公式：如果事件A, B互斥, 那么棱柱的體積公式P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh如果事件A, B相互獨(dú)立, 那么其中S表示棱柱的底面積, h表示棱柱的高P(AB)=P(A)P(B)棱錐的體積公式如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p, 那么nV=Sh次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率其中S表示棱錐的底面積, h表示棱錐的高Pn(k)=Cpk (1p)n-k (k = 0,1,2, n)球的表面積公式棱臺(tái)的體積公式S = 4R2球的體積公式其中S1, S2分別表示棱臺(tái)的上、下底面積, V=R3h表示棱臺(tái)的高 其中R表示球的半徑第I卷（共50分）？輸出開始結(jié)束是否（第5題）一、選擇題: 本大題共10小題, 每小題5分,共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的（1）（原創(chuàng)）已知集合，則（ ）（A） （B） （C） （D）（2）（原創(chuàng)）已知且，則是的（ ）（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（3）（原創(chuàng)）若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位)，則（ ）（A） （B） （C） （D）（4）（引用）在的展開式中，的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有（ ）（A）3項(xiàng) （B）4項(xiàng) （C）5項(xiàng) （D）6項(xiàng)（5）（原創(chuàng)）某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的的值是（ ） （A） （B） （C） （D）（6）（根據(jù)寧波市2013屆高三上期末測(cè)試4題改編）函數(shù)則該函數(shù)為（ ） （A）單調(diào)遞增函數(shù)，奇函數(shù) （B）單調(diào)遞增函數(shù)，偶函數(shù)（C）單調(diào)遞減函數(shù)，奇函數(shù) （D）單調(diào)遞減函數(shù)，偶函數(shù)（7）（根據(jù)2010浙江省高考參考試卷第7題改編）已知中，若圓的圓心在邊上，且與和所在的直線都相切，則圓的半徑為（ ）（第8題）（A） （B） （C） （D）（8）（引用）某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長(zhǎng)為的等腰三角形俯視圖是半徑為的半圓，則該幾何體的表面積是（ ）（A） （B） （C） （D）（9）（根據(jù)2013蕭山中學(xué)3月月考10題改編）已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，過且平行于雙曲線漸近線的直線與圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)在拋物線上，則該雙曲線的離心率是（ ）（A） （B） （C） （D）（第10題）（10）（根據(jù)2013屆杭州一模17題改編）如圖，在扇形中，為弧上且與不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若存在最大值，則的取值范圍為（ ）（A） （B） （C） （D）第II 卷(共100分)二、 填空題: 本大題共7小題, 每小題4分, 共28分（11）（引用）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是，那么實(shí)數(shù) 的值為_（12）（引用）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則_（13）（原創(chuàng)）將7人分成3組，要求每組至多3人，則不同的分組方法種數(shù)是_（14）（原創(chuàng)）已知為直線上一動(dòng)點(diǎn)，若在上存在一點(diǎn)使成立，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為_（15）（原創(chuàng)）函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_（16）（根據(jù)09年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽題改編）若方程沒有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_（17）（根據(jù)2013浙江六校聯(lián)盟10題改編）棱長(zhǎng)為2的正四面體在空間直角坐標(biāo)系中移動(dòng)，但保持點(diǎn)分別在軸、軸上移動(dòng)，則原點(diǎn)到直線的最近距離為_三、解答題: 本大題共5小題, 共72分解答應(yīng)寫出文字說明, 證明過程或演算步驟（18）（根據(jù)北京市東城區(qū)08屆模擬考改編）（本小題滿分14分）在中，角的對(duì)邊分別為，且 （I）求的值； （II）若，且，求和的值（19）（原創(chuàng)）（本小題滿分14分）袋中有大小相同的個(gè)編號(hào)為、的球，號(hào)球有個(gè)，號(hào)球有個(gè)，號(hào)球有個(gè)從袋中依次摸出個(gè)球，已知在第一次摸出號(hào)球的前提下，再摸出一個(gè)號(hào)球的概率是（）求、的值；（）從袋中任意摸出個(gè)球，記得到小球的編號(hào)數(shù)之和為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望 （20）（引用）（本小題滿分14分）如圖，在各棱長(zhǎng)均為的三棱柱中，側(cè)面底面，（）求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大?。唬ǖ?0題）（）已知點(diǎn)滿足，在直線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由（21）（根據(jù)09年清華大學(xué)自主招生試題改編）（本小題滿分15分）已知橢圓的左頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為（）求橢圓的方程；（）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過原點(diǎn)與平行的直線與橢圓交于點(diǎn)，求證：為定值（22）（原創(chuàng)）（本小題滿分14分）已知函數(shù).（）（）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍2013年高考模擬試卷 數(shù)學(xué)（理科）答卷 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。題目12345678910選項(xiàng)二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11、 12 、 13、 14、 15、 16、 17、 三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 18、（本題14分）19、（本題14分）（第20題）20、（本題14分） 21、（本題15分）22、（本題15分）2013年高考模擬試卷 數(shù)學(xué)（理科）參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題: 本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題5分，共50分（1）B （2）A （3）D （4）C （5）C（6）A （7）B （8）B （9）D （10）C二、填空題: 本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題4分，共28分（11）1 （12） （13） （14）（15） （16） （17）（1）B本題考查集合運(yùn)算易得，故（2）A本題考查充分必要條件 或，故成立，為充分條件；而或，若，則無(wú)意義，則為不必要條件（3）D本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算由于，故，整理可得（4）C本題考查二項(xiàng)式定理第項(xiàng)，故當(dāng)時(shí)，的冪指數(shù)是整數(shù)，共5項(xiàng)（5）C本題考查算法程序運(yùn)算由題意可知即求時(shí)，的最小值，故（6）A，且時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞增。所以單調(diào)遞增。 ，所以為奇函數(shù)。故選A。（7）B本題考查解三角形。如圖，易得，由于為等腰三角形，故應(yīng)為中點(diǎn)，即求中點(diǎn)到距離，由面積法可得（8）B本題考查三視圖根據(jù)三視圖可知，幾何體為如圖所示的半圓錐，則（9）D本題考查圓錐曲線幾何性質(zhì)如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作于，雙曲線的右焦點(diǎn)為，由題意可知為圓的直徑，所以，且，所以，。由拋物線性質(zhì)可知，且與相似，所以，即，解得。（10）C。本題考查平面向量運(yùn)算與基本定理的運(yùn)用。設(shè)射線上存在為，使， 交于，設(shè)，由三點(diǎn)共線可知=1，所以，則存在最大值，即在?。ú话ǘ它c(diǎn)）上存在與平行的切線，所以。（11）1本題考查線性規(guī)劃基本知識(shí)的應(yīng)用如圖陰影部分為可行域， 為等腰直角三角形，所以，解得（12）本題考查數(shù)列基本知識(shí)當(dāng)時(shí)，由，即，所以，（13）.本題考查排列組合的應(yīng)用共可分為兩類：每組分別為人，則有人；每組分別為人，則有人；所以共有人（14）本題考查直線與圓的位置關(guān)系設(shè)，則圓心到直線的距離，由于直線與圓相交，故，即，所以，解得（15）。本題考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的運(yùn)用。當(dāng)函數(shù)遞增時(shí)，即，所以，解得。（16）本題考查函數(shù)性質(zhì)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想。解法一：由題意可知，可設(shè)，函數(shù)圖象(圖1)與直線沒有交點(diǎn)，則解法二：如圖(2)，在同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象顯然當(dāng)是直線與拋物線相切，所以當(dāng)時(shí)，沒有交點(diǎn)故圖1圖2（17）。本題考查立體幾何。解：如圖，若固定正四面體的位置，則原點(diǎn)在以為直徑的球面上運(yùn)動(dòng)，設(shè)中點(diǎn)為，則原點(diǎn)到直線的最近距離等于點(diǎn)到直線的距離減去球的半徑，即。 三、解答題: 大題共5小題，滿分72分（18）本題主要考查正弦、余弦定理, 三角公式變換, 三角形面積公式及向量運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力。滿分14分。解：（I）由正弦定理得，則， 2分故，可得，即，可得， 4分又，因此6分 （II）解：由，可得，又，故 9分又，可得， 11分所以，即所以 14分（19）本題主要考查排列組合, 隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念, 同時(shí)考查抽象概括能力。滿分14分。解：（1）記“第一次摸出號(hào)球”為事件，“第二次摸出號(hào)球”為事件， 2分則， 4分解得； 6分（2）隨機(jī)變量的取值為，的分布列為345610分所以，數(shù)學(xué)期望 14分（20）本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系, 空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力。滿分14分。解：（)側(cè)面底面，作于點(diǎn)，平面.又，且各棱長(zhǎng)都相等，.2分故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，4分設(shè)平面的法向量為，則 解得. 6分由 而側(cè)棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角，側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小為 8分（），而 又，點(diǎn)的坐標(biāo)為 10分假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，為平面的法向量，由，得 12分又平面，故存在點(diǎn)，使，其坐標(biāo)為，即恰好為點(diǎn) 14分（21）本題主要考橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。解：（1），設(shè)過右焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦為，將代入橢圓方程，解得， 2分故，可得 4分所以，橢圓方程為 6分（2）由題意知，直線斜率存在，故設(shè)為，則直線的方程為，直線的方程為可得，則 8分設(shè)，聯(lián)立方程組，消去得：， 則 11分設(shè)與橢圓交另一點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，消去得，所以 13分故所以等于定值 15分（22）本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查邏輯推理能力和創(chuàng)新意識(shí)。滿分15分。解：（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立 3分即，而當(dāng)時(shí)，故 5分所以 6分（）令，定義域?yàn)? 在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價(jià)于在區(qū)間上恒成立. 8分 9分 若，令，得極值點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，在（，+)上有，此時(shí)在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，同理可知，在區(qū)間上，有，也不合題意； 12分 若，則有，此時(shí)在區(qū)間上恒有，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，由此求得的范圍是 14分綜合可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在直線下方. 15分17