第第7節(jié)節(jié) 拋物線拋物線 最新考綱 1.了解拋物線的實(shí)際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用；2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 1.拋物線的定義 (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(Fl)的距離_的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的_. (2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：M|MF|d(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離). 知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理 相等 準(zhǔn)線 2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 性質(zhì) 頂點(diǎn) O(0，0) 對(duì)稱軸 y0 x0 焦點(diǎn) Fp2，0 Fp2，0 F0，p2 F0，p2 離心率 e1 準(zhǔn)線 方程 xp2 xp2 yp2 yp2 范圍 x0，yR x0，yR y0， xR y0，xR 開口 方向 向右 向左 向上 向下 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.通徑：過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于 2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦. 2.拋物線 y22px(p0)上一點(diǎn) P(x0，y0)到焦點(diǎn) Fp2，0 的距離|PF|x0p2，也稱為拋物線的焦半徑. 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F 和一條定直線 l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.( ) (2)方程 yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在 x 軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是a4，0 ，準(zhǔn)線方程是 xa4.( ) (3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.( ) (4)AB 為拋物線 y22px(p0)的過焦點(diǎn) Fp2，0 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1x2p24，y1y2p2，弦長(zhǎng)|AB|x1x2p.( ) 診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè) 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 (1)當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，軌跡為過定點(diǎn) F 與定直線 l 垂直的一條直線，而非拋物線. (2)方程 yax2(a0)可化為 x21ay，是焦點(diǎn)在 y 軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是0，14a，準(zhǔn)線方程是 y14a. (3)拋物線是只有一條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形. 2.以x1為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.y22x B.y22x C.y24x D.y24x 答案 D 解析 由準(zhǔn)線 x1 知，拋物線方程為：y22px(p0)且p21，p2， 拋物線的方程為 y24x. 3.(2018 黃岡聯(lián)考)已知方程y24x表示拋物線，且該拋物線的焦點(diǎn)到直線xm的距離為4，則m的值為( ) A.5 B.3或5 C.2或6 D.6 解析 拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1，0)，它與直線xm的距離為d|m1|4， m3或5，故選B. 答案 B 4.(教材習(xí)題改編)已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)P(2，4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_. 解析 很明顯點(diǎn)P在第三象限，所以拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸負(fù)半軸上或y軸負(fù)半軸上. 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)方程為y22px(p0)，把點(diǎn)P(2，4)的坐標(biāo)代入得(4)22p(2)， 解得p4，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x； 當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)方程為 x22py(p0)，把點(diǎn) P(2，4)的坐標(biāo)代入得(2)22p(4)，解得 p12，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2y. 綜上可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y28x 或 x2y. 答案 y28x或x2y 5.已知拋物線方程為y28x，若過點(diǎn)Q(2，0)的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是_. 解析 設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，當(dāng)k0時(shí)，顯然滿足題意；當(dāng)k0時(shí)，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0或0k1，因此k的取值范圍是1，1. 答案 1，1 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 拋物線的定拋物線的定義及應(yīng)用義及應(yīng)用 【例 1】 (1)已知 F 是拋物線 y2x 的焦點(diǎn)，A，B 是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|BF|3，則線段 AB 的中點(diǎn) D 到 y 軸的距離為( ) A.34 B.1 C.54 D.74 (2)若拋物線 y22x 的焦點(diǎn)是 F，點(diǎn) P 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn) A(3，2)，則|PA|PF|取最小值時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為_. 解析 (1)因?yàn)閽佄锞€ y2x 的準(zhǔn)線方程為 x14.如圖所示，過點(diǎn) A，B，D 分別作直線 x14的垂線，垂足分別為 G，E，M，因?yàn)閨AF|BF|3，根據(jù)拋物線的定義， |AG|AF|， |BE|BF|， 所以|AG|BE|3， 所以|MD|BE|AG|232， 即線段 AB 的中點(diǎn) D 到 y 軸的距離為321454. 答案 (1)C (2)(2，2) (2)將 x3 代入拋物線方程 y22x，得 y 6. 62，A 在拋物線內(nèi)部，如圖.設(shè)拋物線上點(diǎn) P 到準(zhǔn)線 l：x12的距離為 d，由定義知|PA|PF|PA|d，當(dāng) PAl 時(shí)，|PA|d 最小，最小值為72，此時(shí) P 點(diǎn)縱坐標(biāo)為 2，代入 y22x，得 x2，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2，2). 規(guī)律方法 應(yīng)用拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化. (2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn) P(x0，y0)到焦點(diǎn) F 的距離|PF|x0|p2或|PF|y0|p2. 【訓(xùn)練1】 (1)動(dòng)圓過點(diǎn)(1，0)，且與直線x1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_. (2)(2017 全國(guó)卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|_. 解析 (1)設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1，0)的距離與到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y24x. (2)如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P， PMOF. 由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|AO|2. 又|BP|AO|2， |MB|MP|BP|3. 由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6. 答案 (1)y24x (2)6 點(diǎn) M 為 FN 的中點(diǎn)，PMOF，|MP|12|FO|1. 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì) 【例 2】 (1)已知雙曲線 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為 2.若拋物線 C2：x22py(p0)的焦點(diǎn)到雙曲線 C1的漸近線的距離為 2，則拋物線 C2的方程為( ) A.x28 33y B.x216 33y C.x28y D.x216y (2)(2016 全國(guó)卷)以拋物線 C 的頂點(diǎn)為圓心的圓交 C 于 A，B 兩點(diǎn)，交 C 的準(zhǔn)線于 D，E 兩點(diǎn).已知|AB|4 2，|DE|2 5，則 C 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析 (1)x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為 2， ca2，即c2a2a2b2a24，ba 3. x22py(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，p2，x2a2y2b21(a0，b0)的漸近線方程為 y bax，即 y 3x.由題意得p21（ 3）22，解得 p8.故 C2的方程為 x216y. 答案 (1)D (2)B (2)不妨設(shè)拋物線 C：y22px(p0)，圓的方程為 x2y2r2(r0)， |AB|4 2，|DE|2 5， 拋物線的準(zhǔn)線方程為 xp2，不妨設(shè) A4p，2 2 ，Dp2， 5 ， 點(diǎn) A4p，2 2 ，Dp2， 5 在圓 x2y2r2上， 16p28p245，解得 p4(負(fù)值舍去)， 故 C 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 4. 規(guī)律方法 1.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 2.在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題更是如此. 【訓(xùn)練2】 (1)如圖，過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為_. (2)過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|AF|3，則AOB的面積為_. (1)解析 設(shè) A，B 在準(zhǔn)線上的射影分別為 A1，B1， 由于|BC|2|BF|2|BB1|，則直線的斜率為 3， 故|AC|2|AA1|6，從而|BF|1，|AB|4， 故p|AA1|CF|AC|12，即 p32，從而拋物線的方程為 y23x. (2)如圖，由題意知，拋物線的焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(1，0)，又|AF|3，由拋物線定義知，點(diǎn) A 到準(zhǔn)線 x1 的距離為 3，所以點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 2，將 x2 代入 y24x 得 y28，由圖知點(diǎn) A 的縱坐標(biāo)為 y2 2，所以 A(2，2 2)，所以直線 AF 的方程為 y2 2(x1)， 聯(lián)立直線與拋物線的方程y2 2（x1），y24x， 解得x12，y 2或x2，y2 2，由圖知 B12， 2 ， 所以 SAOB121|yAyB|3 22. 答案 (1)y23x (2)3 22 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線的位置關(guān)系(多維探究多維探究) 命題角度命題角度 1 直線與拋物線的公共點(diǎn)直線與拋物線的公共點(diǎn)(交點(diǎn)交點(diǎn))問題問題 【例 31】 (2016 全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l：yt(t0)交 y 軸于點(diǎn)M，交拋物線 C：y22px(p0)于點(diǎn) P，M 關(guān)于點(diǎn) P 的對(duì)稱點(diǎn)為 N，連接 ON 并延長(zhǎng)交 C 于點(diǎn) H. (1)求|OH|ON|； (2)除 H 以外，直線 MH 與 C 是否有其它公共點(diǎn)？說明理由. 解 (1)如圖，由已知得 M(0，t)，Pt22p，t ， 又 N 為 M 關(guān)于點(diǎn) P 的對(duì)稱點(diǎn)，故 Nt2p，t ， 故直線 ON 的方程為 yptx， 將其代入 y22px 整理得 px22t2x0， 解得 x10，x22t2p，因此 H2t2p，2t . 所以 N 為 OH 的中點(diǎn)，即|OH|ON|2. (2)直線 MH 與 C 除 H 以外沒有其它公共點(diǎn)，理由如下： 直線 MH 的方程為 ytp2tx，即 x2tp(yt). 代入 y22px 得 y24ty4t20， 解得 y1y22t， 即直線 MH 與 C 只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以除 H 以外，直線 MH 與 C 沒有其它公共點(diǎn). 命題角度命題角度 2 與拋物線弦長(zhǎng)與拋物線弦長(zhǎng)(中點(diǎn)中點(diǎn))有關(guān)的問題有關(guān)的問題 【例 32】 (2017 北京卷)已知拋物線 C：y22px 過點(diǎn) P(1，1)，過點(diǎn)0，12作直線 l 與拋物線 C 交于不同的兩點(diǎn) M，N，過點(diǎn) M 作 x 軸的垂線分別與直線 OP，ON 交于點(diǎn) A，B，其中 O 為原點(diǎn). (1)求拋物線 C 的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； (2)求證：A 為線段 BM 的中點(diǎn). (1)解 把 P(1，1)代入 y22px，得 p12， 所以拋物線 C 的方程為 y2x， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為14，0 ，準(zhǔn)線方程為 x14. (2)證明 當(dāng)直線 MN 斜率不存在或斜率為零時(shí)，顯然與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)不滿足題意，所以直線 MN(也就是直線 l)斜率存在且不為零. 由題意，設(shè)直線 l 的方程為 ykx12(k0)，l 與拋物線 C 的交點(diǎn)為 M(x1，y1)，N(x2，y2). 由ykx12，y2x，消去 y 得 4k2x2(4k4)x10. 考慮 (4k4)244k216(12k)， 由題可知有兩交點(diǎn)，所以判別式大于零，所以 k12. 則 x1x21kk2，x1x214k2. 因?yàn)辄c(diǎn) P 的坐標(biāo)為(1，1)，所以直線 OP 的方程為 yx，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(x1，x1). 直線 ON 的方程為 yy2x2x，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為x1，y2x1x2. 因?yàn)?y1y2x1x22x1y1x2y2x12x1x2x2kx112x2kx212x12x1x2x2 （2k2）x1x212（x2x1）x2 （2k2）14k21k2k2x20. 所以 y1y2x1x22x1.故 A 為線段 BM 的中點(diǎn). 規(guī)律方法 1.直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系. 2.有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn).若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式. 3.涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法. 提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解. 【訓(xùn)練3】 (2017 全國(guó)卷)已知F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為( ) A.16 B.14 C.12 D.10 解析 拋物線 C：y24x 的焦點(diǎn)為 F(1，0)，由題意可知 l1，l2的斜率存在且不為 0.不妨設(shè)直線 l1的斜率為 k，則 l2直線的斜率為1k，故 l1：yk(x1)，l2：y1k(x1). 由y24x，yk（x1），消去 y 得 k2x2(2k24)xk20. 設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22k24k224k2， 答案 A 由拋物線定義可知，|AB|x1x2244k2. 同理得|DE|44k2， |AB|DE|84k24k282 1616. 當(dāng)且僅當(dāng)1k2k2，即 k 1 時(shí)取等號(hào). 故|AB|DE|的最小值為 16.