八年級(jí)數(shù)學(xué) 寒假教材二次根式第一課 二次根式定義級(jí)性質(zhì)定義：一般地，我們把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào) 例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x>0）、-、（x0，y0）例2(1)當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？(2)當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？例3.(1)已知,求的值; (2)若，求的值 例4.做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：=_；=_；=_；=_；=_；=_；= ;= ；= ； = 例5.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例6.若-3x2時(shí)，試化簡(jiǎn)。例7.（1）已知：,求，x+2y的平方根。 （2）若,求：x2+y2的值。 例8.已知：，求代數(shù)式的值。課堂練習(xí)：1.下列式子中，不是二次根式的是（ ） A. B. C. D.2.在式子中，二次根式有（ ）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)3.下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D.4.下列二次根式中，的取值范圍是2的是( )A. B. C. D.5.已知一個(gè)正方形的面積是5，那么它的邊長(zhǎng)是（ ） A.5 B. C. D.以上皆不對(duì)6.下列各式中、,二次根式的個(gè)數(shù)是（ ） A.4 B.3 C.2 D.17.數(shù)a沒有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是（ ） A.a>0 B.a0 C.a<0 D.a=08.的值是（ ） A.0 B. C.4 D.以上都不對(duì)9.a0時(shí)，、-，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（ ） A. B. C. D.10.若式子-1有意義，則x的取值范圍是（ ） A.x B.x C.x= D.以上都不對(duì)11.下面的推導(dǎo)中開始出錯(cuò)的步驟是（ ）A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 12.下列各式1），其中是二次根式的是_（填序號(hào)）13.面積為a的正方形的邊長(zhǎng)為_14.若+有意義，則=_15.已知有意義，那么x 16.=_17.若是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是_18.先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求的值，甲乙兩人的解答如下： 甲的解答為：原式=a+（1-a）=1；乙的解答為：原式=a+（a-1）=2a-1=17兩種解答中，_的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是_19.當(dāng)x為何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)才有意義： （1）；（2）；3）；（4）；（5）；（6） 20.填空： =_；=_；=_；=_；=_；=_ = ；= ；= ；= ；= 21.填空：當(dāng)a0時(shí)，=_；當(dāng)a<0時(shí)，=_，并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題（1）若=a，則a可以是什么數(shù)？（2）若=-a，則a可以是什么數(shù)？（3）>a，則a可以是什么數(shù)？22.當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？23.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-524.某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m，按設(shè)計(jì)需要，底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？25.若，求的值。 26.當(dāng)a取什么值時(shí)，代數(shù)式取值最小，并求出這個(gè)最小值。27.已知a、b為實(shí)數(shù)，且，求a、b的值課后練習(xí)：1.當(dāng)a0時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A.aB.-aC.3aD.-3a2.如果是整數(shù)，那么（ ） A.a0，且a是完全平方數(shù) B.a0，且-a是完全平方數(shù) C.a0，且a是完全平方數(shù) D.a0，且-a是完全平方數(shù)3.使等式成立的x值（ ） A.是正數(shù) B.是負(fù)數(shù) C.是0 D.不能確定4.設(shè)實(shí)數(shù)x滿足，則等于（ ） A.x-3 B.3-x C. D.35.把根號(hào)外面的因式移到根號(hào)內(nèi)，則原式等于（ ）A. B. C. D.6.若，則等于（ ）A. B. C. D.7.若,則=（ ）A. B. C. D.8.若，則化簡(jiǎn)后為（ ）A. B. C. D.9.能使等式成立的x的取值范圍是（ ）A. B. C. D.10.計(jì)算：的值是（ ）A.0 B. C. D.或11.等式成立的條件是_12.當(dāng)x_時(shí)，二次根式有意義使式子有意義的條件是 。13.當(dāng)時(shí)，有意義。14.若有意義，則的取值范圍是 。15. 當(dāng)x 時(shí)，是二次根式。16.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：。17.若，則的取值范圍是 。18.已知，則的取值范圍是 。19.化簡(jiǎn)：的結(jié)果是 20.當(dāng)時(shí)，。21.把的根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)等于 。22.使等式成立的條件是 23.計(jì)算：=_ 24.實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示：則=_25.當(dāng)x1時(shí)，-=_26.若0a1，化簡(jiǎn)后的結(jié)果是 27.已知實(shí)數(shù)a滿足，那么 28.若與互為相反數(shù)，則= 29.計(jì)算：（1）； （2）； （3）； （4）； (5) 30.求下列分式x的取值范圍。(1) (2) 31.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解： (1)2x24； (2)x42x2332.已知+=0，求xy的值能力提高：1.若x1，則等于（ ） A.3-2x B.2x-3 C.3 D.12.已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足，那么代數(shù)式化簡(jiǎn)后的結(jié)果為（ ） A.2c-b B.2c-2a C.-b D.b3.已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示. 化簡(jiǎn)的值等于（ ） A.-a B.2a-2b C.2c-2b D.c4.使式子有意義的未知數(shù)x有（ ）個(gè) A.0 B.1 C.2 D.無(wú)數(shù)5.若a、b、c是ABC的三邊,化簡(jiǎn)= 6.若x、y為實(shí)數(shù)，且，求的值。7.已知為實(shí)數(shù)，且，求的值。 8.已知，求的值。9.若，求的值第02課 二次根式的乘除乘法公式：，反之類型：（i）單項(xiàng)二次根式乘以單項(xiàng)二次根式； （ii）單項(xiàng)二次根式乘以多項(xiàng)二次根式； （iii）多項(xiàng)二次根式乘以多項(xiàng)二次根式 除法公式：，反過來類型：（i）單項(xiàng)二次根式除以單項(xiàng)二次根式（應(yīng)用運(yùn)算法則計(jì)算） （ii）多項(xiàng)二次根式除以單項(xiàng)二次根式（轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)二次根式除以單項(xiàng)二次根式） （iii）除數(shù)是二個(gè)二次根式的和或是一個(gè)二次根式與一個(gè)有理數(shù)的和（把分母有理化進(jìn)行運(yùn)算，或與分式的運(yùn)算類比思考，約去分子，分母中的公因式）。 最簡(jiǎn)二次根式：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式； （1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式； （2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號(hào)外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號(hào)外面，反之也可以將根號(hào)外面的正因式平方后移到根號(hào)里面有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算例1.完成下列各題填空：（1）=_，=_；（2）=_，=_ （3）=_，=_參考上面的結(jié)果，用“>、<或”填空 (1)_(2)_(3)_（4）_，（5）_，（6）_，（7）_，（8）_例2.計(jì)算：（1） （2） （3） （4）例3.化簡(jiǎn)：（1） （2） （3） （4） （5）例4.填空：（1）=_，=_；（2）=_，=_；（3）=_，=_；（4）=_，=_規(guī)律：_；_；_；_計(jì)算填空:（1）=_，（2）=_，（3）=_，（4）=_ 規(guī)律：_；_；_；_。例5計(jì)算：（1） （2） （3） （4）例6化簡(jiǎn)：（1） （2） （3） （4）例7(1) ; (2) ; (3) 例8已知，且x為偶數(shù)，求的值例9.若和都是最簡(jiǎn)二次根式，則。例10觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式：=-1，=-，同理可得：=-， 從中找出規(guī)律，計(jì)算：的值課堂練習(xí)：1.等式成立的條件是（ ） A.x1 B.x-1 C.-1x1 D.x1或x-12.下列各等式成立的是（ ）A B C D3.計(jì)算的結(jié)果是（ ） A. B. C. D.4.閱讀下列運(yùn)算過程：，,數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號(hào)去掉的過程稱作“分母有理化”，那么，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A.2 B.6 C. D.5.如果（y>0）是二次根式，那么，化為最簡(jiǎn)二次根式是（ ） A.（y>0） B.（y>0） C.（y>0） D.以上都不對(duì)6.下列各式不是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ） A. B. C. D.7.已知，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為（ ）A. B. C. D.8.把二次根式化簡(jiǎn)，得（ ） A.x2xy B. C. D. 9.把中根號(hào)外的（a-1）移入根號(hào)內(nèi)得（ ） A. B. C.- D.-10.在下列各式中，化簡(jiǎn)正確的是（ ） A.=3 B.= C.=a2 D.=x11.化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A.- B.- C.- D.-12.下列各式中，一定成立的是（ ）A. B. C. D. 13.化簡(jiǎn)：（1）_；（2）_；（3）_；（4）_； =_ ；=_14.當(dāng)，時(shí)，。15.計(jì)算：；。16.長(zhǎng)方形的寬為，面積為，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)約為 （精確到0.01）。17.自由落體的公式為S=gt2（g為重力加速度，它的值為10m/s2），若物體下落的高度為720m，則下落的時(shí)間是_18.分母有理化:(1) =_;(2) =_;(3) =_.19.已知x=3，y=4，z=5，那么的最后結(jié)果是_20.化簡(jiǎn)=_（x0）；a化簡(jiǎn)二次根式號(hào)后的結(jié)果是_21.如果xy=5,xy=1,那么 = 22.（1）計(jì)算： 32 (2) 化簡(jiǎn): ; ; ; ; 23判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正： （1）；（2）=4=4=4=824.計(jì)算下列各題：（1） （2） （3） （4） （5） （6）25.一個(gè)底面為30cm30cm長(zhǎng)方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水例入一個(gè)底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長(zhǎng)是多少厘米？26.有一種房梁的截面積是一個(gè)矩形，且矩形的長(zhǎng)與寬之比為，現(xiàn)用直徑為cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？27.已知a為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)：-a，閱讀下面的解答過程，請(qǐng)判斷是否正確？若不正確，請(qǐng)寫出正確的解答過程： 解：-a=a-a=（a-1）課后練習(xí)：1.當(dāng)a0，b0時(shí)，把化為最簡(jiǎn)二次根式，得（ ） A. B.- C.- D.2.對(duì)于所有實(shí)數(shù)，下列等式總能成立的是（ ） A. B. C. D.3.和的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D.不能確定4.對(duì)于二次根式，以下說法中不正確的是（ ） A.它是一個(gè)非負(fù)數(shù) B.它是一個(gè)無(wú)理數(shù) C.它是最簡(jiǎn)二次根式 D.它的最小值為35.計(jì)算: （6） （7） （8）(9) (10) (11) (12) (13) 6.把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)：探究過程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過程 （1）2= 驗(yàn)證：2= （2）3=驗(yàn)證：3=同理可得：4, 5， 通過上述探究你能猜測(cè)出： =_（a>0）,并驗(yàn)證你的結(jié)論能力提高：1.化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A. B. C.- D.-2.若x、y為實(shí)數(shù)，且y=，求的值第3課 二次根式的加減同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，它們的被開方數(shù)相同,這些二次根式就稱為同類二次根式二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并互為有理化因式：互為有理化因式是指兩個(gè)二次根式的乘積可以運(yùn)用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同時(shí)它們的積是有理數(shù)，不含有二次根式.例1.計(jì)算下列各式（1）; （2）; （3）; （4）例2計(jì)算:(1) (2) (3) (4)例3化簡(jiǎn)下列各式：(1) (2) (3)(4) (5) (6)例4.已知，求的值 例5.若最簡(jiǎn)根式與根式是同類二次根式，求a、b的值例6計(jì)算:（1）（+6）（3-） （2）（+）（-）例7.的有理化因式是_；的有理化因式是_ 的有理化因式是_例8.把下列各式的分母有理化： （1） （2） （3） （4）例9.(1)比較與的大小。 (2)比較與的大小。例10.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中。例11.試解答下列問題：(1)若a是x的整數(shù)部分，b是x的小數(shù)部分，求：a2-ab+b2的值。(2)已知，求a的值。 （3）若，求x的值。課堂練習(xí)：1.以下二次根式：；中，與是同類二次根式的是（ ） A.和 B.和 C.和 D.和2.下列各組二次根式中是同類二次根式的是( )A. B. C. D.3.下列根式中，與是同類二次根式的是（ ） A. B. C. D.4.下面說法正確的是（ ） A.被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式 B.與是同類二次根式 C.與不是同類二次根式 D.同類二次根式是根指數(shù)為2的根式5.下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中錯(cuò)誤的有（ ） A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)6.（-3+2）的值是（ ） A.-3 B.3- C.2- D.-7.計(jì)算（+）（-）的值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.18.與不是同類二次根式的是（ ） A. B. C. D. 9.下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ） A. B. C. D.10.若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A. B. C.3 D.-311.若，則的值等于（ ）A. 4 B. C. 2 D. 12.若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是（ ） A. B. C.1 D.313.下列式子中正確的是（ ） A. B. C. D.14.、3、-2中，與是同類二次根式的有_15.在中，與是同類二次根式的是 。16.若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則。17.一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，則它的周長(zhǎng)是 cm。18.若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則。19.計(jì)算二次根式5-3-7+9的最后結(jié)果是_20.某地有一長(zhǎng)方形魚塘，已知魚塘的長(zhǎng)是寬的2倍，它的面積是1600m2，魚塘的寬是_m（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式）21.的計(jì)算結(jié)果（用最簡(jiǎn)根式表示）是_22.的計(jì)算結(jié)果（用最簡(jiǎn)二次根式表示）是_23.若，則x2+2x+1=_24.已知a=3+2，b=3-2，則a2b-ab2=_25.若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則a_， b_26.已知，則27.已知，則28.計(jì)算：= 29.已知，則a_。30.計(jì)算：（1） （2）（3） （4）（5） （6） 31.化簡(jiǎn)：（1） （2） （3） （4）（5） （6）32.先化簡(jiǎn)，再求值，其中。33.若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，求m、n的值34.如果n是任意正整數(shù)，那么=n 理由：=n 練習(xí)：填空=_；=_；=_課后練習(xí)：1.下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ） A.與 B.與 C.與 D.與2.甲、乙兩個(gè)同學(xué)化簡(jiǎn)時(shí)，分別作了如下變形：甲：=；乙：=。 其中（ ）。 A.甲、乙都正確 B. 甲、乙都不正確 C.只有甲正確 D.只有乙正確3.已知a>b>0，則的值為（ ）A. B.2 C. D.4.如圖，數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為1和，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是( ) A. B. C. D.5.已知與的小數(shù)部分分別是a和b，則的值是 6.化簡(jiǎn) 。7.的整數(shù)部分 ，小數(shù)部分是 8.計(jì)算及化簡(jiǎn)： (1) （2）（3） （4）9.已知，求的值。10.已知，求的值。11.已知0，求(xy)x的值12.已知：，求的值。13.已知a=，b=，求-的值14.已知x=，求x2x的值15.比較與的大小。16.已知：為實(shí)數(shù)，且，化簡(jiǎn)：。能力提高：1.滿足不等式x的整數(shù)x的個(gè)數(shù)是（ ）。 A.4 B.5 C.6 D.72.設(shè)的整數(shù)部分為m，小數(shù)部分為n，則的值為（ ）。 A. B. C.128 D.-1283.化簡(jiǎn)4.已知：，求的值。5.同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，你一定熟練掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的正數(shù)（包括0）都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是誰(shuí)的二次根式呢？下面我們觀察： （-1）2=（）2-21+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2 3-2=（-1）2 =-1求：（1）； （2）； （3）你會(huì)算嗎？ （4）若=，則m、n與a、b的關(guān)系是什么？并說明理由6.已知=2-，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+b0，7.當(dāng)x=時(shí)，求+的值（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）8.已知|1-x|-=2x-5，求x的取值范圍二次根式測(cè)試題 011. 當(dāng)，時(shí)，。2. 若和都是最簡(jiǎn)二次根式，則。3. 計(jì)算：。4. 計(jì)算：。5. 長(zhǎng)方形的寬為，面積為，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)約為 （精確到0.01）。6. 下列各式不是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ） A. B. C. D.7. 已知，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為（ ） A. B. C. D.8. 對(duì)于所有實(shí)數(shù)a,b，下列等式總能成立的是（ ） A. B. C. D.9. 和的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D.不能確定10. 對(duì)于二次根式，以下說法中不正確的是（ ）A.它是一個(gè)非負(fù)數(shù) B.它是一個(gè)無(wú)理數(shù) C.它是最簡(jiǎn)二次根式 D.它的最小值為311. 計(jì)算： 12. 化簡(jiǎn)： 13. 把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)： 二次根式測(cè)試題021.若一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是a，則比這個(gè)數(shù)大3的正數(shù)的平方根是（ ） A. B.- C. D.2.若式子+|x-2|化簡(jiǎn)的結(jié)果為2x-3,則x的取值范圍是（ ） A.x1 B.x2 C.1x2 D.x>03.下列說法錯(cuò)誤的是（ ） A.是最簡(jiǎn)二次根式 B.是二次根式 C.是非負(fù)數(shù) D.的最小值是44.式子m+6m-5m2的值是（ ） A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.非負(fù)數(shù) D.可為正數(shù)也可為負(fù)數(shù)5.等式=成立的條件是（ ） A.0x1 B.x<1 C.x0 D.0x16.下列各組代數(shù)式中，互為有理化因式的是（ ） A.+1與1- B.+y與-y C.2-與-2 D.與x7.下列判斷中正確的是（ ） A.的有理化因式是 B.3-2的倒數(shù)是2-3 C.-的絕對(duì)值是- D.不是方程=2的解8.下列計(jì)算正確的是（ ） A.+= B.2+=2 C.+=5 D.=+9.已知a<0，那么的值是（ ） A.a B.-a C.3a D.-3a10.在，中，是最簡(jiǎn)二次根式的有（ ） A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)11.不等式(2-)x<1的解集為（ ） A.x<-2- B.x>-2- C.x<2- D.x>-2+12.已知-=,那么的值為（ ） A. B. C. D.二、填空題1. 分?jǐn)?shù)（填“是”或“不是”）2.最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則a= 。3.將a根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)的結(jié)果是 。4.代數(shù)式+的最小值是 。5.代數(shù)式2-的最 值是 。6.適合不等式x的整數(shù)x的值是 .7.化簡(jiǎn)： (a>b)= 。8.化簡(jiǎn)：（+）（+1）= .9.分解因式x2(x-)-3(x-)= .10.當(dāng)a 時(shí)，是二次根式。11.若()2=2a，則a= 。12.已知x+=4，則x-= .三、計(jì)算與化簡(jiǎn)1.(+) 2.(2+4-3)3.-(-2)0+ 4.-+(+1)25.- 6.(-) 7. 8.四、化簡(jiǎn)求值1.已知x=+1,，求的值。2.已知a=,y=+2，求x2+2xy+y2+(x-y)的值。五.解答題1.解不等式：x-1<x 2.解方程組：3.已知x>0，y>0，且有(+2)=(6+5)，求的值。4.若a+b=2(a>0,b>0),求的值。5.已知實(shí)數(shù)a滿足|2003-a|+=a，則a-20032的值是多少？勾股定理第1節(jié) 勾股定理勾股定理定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，斜邊為，那么勾股定理的證明：勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：,，化簡(jiǎn)可證 方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為，大正方形面積為，所以。方法三：，化簡(jiǎn)得證。勾股定理的適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形.勾股數(shù):能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c為一組勾股數(shù)常見的勾股數(shù)：如3,4,5；6,8,10；1,12,13；7,24,25；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）勾股定理的應(yīng)用：已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在中，則，；知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系；可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題例1.在中，已知AC=6，BC=8求AB的長(zhǎng)；已知AB=17，AC=15，求BC的長(zhǎng)例2.若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為12和5，則此三角形的第三邊長(zhǎng)為多少？例3.如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？例4.已知直角三角形的周長(zhǎng)為，斜邊上的中線為1，求它的面積.例5.直角三角形的面積為120，斜邊長(zhǎng)為26，求它的周長(zhǎng).例6.如圖，水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.例7.如圖，一架2.5米長(zhǎng)的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時(shí)梯足B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？例8.如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長(zhǎng).例9.如圖，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請(qǐng)問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?例10.如圖，某沿海開放城市A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向100km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？課堂練習(xí)：1.在RtABC中,C=900，a、b、c分別表示A,B,C的對(duì)邊,則下列各式中,不正確的是（ ） A. B. C. D.2.在RtABC中，C=900，a=12，b=16，則c的長(zhǎng)為（ ） A.26 B.18 C.20 D.213.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,4)，則OP的長(zhǎng)為（ ） A.3 B.4 C.5 D.4.在RtABC中，C=900，B=450,c=10，則a的長(zhǎng)為（ ） A.5 B. C. D.5.等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則該三角形的面積為（ ） A. B. C. D.36.若等腰三角形的腰長(zhǎng)為10，底邊長(zhǎng)為12，則底邊上的高為（ ） A.6 B.7 C.8 D.97.若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為3、4、x，則使此三角形是直角三角形的x的值是（ ） A.5 B.6 C. D.5或8.已知一個(gè)Rt的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（） A.25 B.14 C.7 D.7或259.已知RtABC中，C=900，若a+b=14cm，c=10cm，則RtABC的面積是（） A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm210.等腰三角形底邊上的高為8，周長(zhǎng)為32，則三角形的面積為（） A.56 B.48 C.40 D.3211.一個(gè)直角三角形，有兩邊長(zhǎng)分別為6和8，下列說法正確的是（ ） A.第三邊一定為10 B. 三角形的周長(zhǎng)為25 C.三角形的面積為48 D.第三邊可能為1012.直角三角形的斜邊為20cm，兩條直角邊之比為34，那么這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為（ ） A.27cm B.30cm C.40cm D.48cm13.一只螞蟻沿直角三角形的邊長(zhǎng)爬行一周需2秒，如果將直角三角形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大1倍，那么這只螞蟻再沿邊長(zhǎng)爬行一周需（ ） A.6秒 B.5秒 C.4秒 D.3秒14.已知，如圖，一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時(shí)后，則兩船相距（ ）A25海里B. 30海里C. 35海里D. 40海里 15.圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，的三邊的大小關(guān)系式（） A. B. C. D.16.如圖，一棵大樹被臺(tái)風(fēng)刮斷，若樹在離地面3m處折斷，樹頂端落在離樹底部4m處，則樹折斷之前高( ) A.5m B.7m C.8m D.10m17.如圖，ABC和DCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，連接BD，則BD的長(zhǎng)為（） A. B. C. D.18.某市在舊城改造中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買這種草皮至少需要（） A.450a元 B.225a 元 C.150a元 D.300a元 19.已知如圖，水廠A和工廠B、C正好構(gòu)成等邊ABC，現(xiàn)由水廠A和B、C兩廠供水，要在A、B、C間鋪設(shè)輸水管道，有如下四種設(shè)計(jì)方案，（圖中實(shí)線為鋪設(shè)管道路線）,其中最合理的方案是（ ）20.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC6 cm、BC8 cm，現(xiàn)將ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為（） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm 21.已知，如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則ABE的面積為（） A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm222.ABC中，C=900，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊(1)若a=5，b=12，則c=_； (2)若c=41，a=40，則b=_；(3)若A=300，a=1，則c=_，b=_；(4)若A=450，a=1，則b=_，c=_23.等腰直角三角形的斜邊為10，則腰長(zhǎng)為_，斜邊上的高為_24.如圖，根據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，確定正方形的面積A=，B=，C=. 25.如圖，有一塊長(zhǎng)方形花圃，有少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了_m路，卻踩傷了花草26.傳說,古埃及人曾用拉繩”的方法畫直角,現(xiàn)有一根長(zhǎng)24厘米的繩子,請(qǐng)你利用它拉出一個(gè)周長(zhǎng)為24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三邊的長(zhǎng)度分別為_厘米,_厘米,_厘米,其中的道理是_27.如圖，在高2米，坡角為300的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)至少需_米28.如圖是由邊長(zhǎng)為1m的正方形地磚鋪設(shè)的地面示意圖，小明沿圖中所示的折線從ABC所走的路程為_ 29.如圖，小紅欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)點(diǎn)B200m，結(jié)果他在水中實(shí)際游了520m，則該河流的寬度為 30.種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測(cè)得內(nèi)部底面半徑為2.5，高為12，吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出4.6，問吸管要做 。31.在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高_(dá)米。 32.如圖，有兩棵樹，一棵高8m，另一棵高2m，兩樹相距8m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少要飛_m33.已知：如圖,ABC中,C=900，點(diǎn)O為ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，ODBC，OEAC，OFAB，點(diǎn)D、E、F分別是垂足，且BC=8cm，CA=6cm，則點(diǎn)O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于 cm.34.如圖，在水平面上依次放置著七個(gè)正方形已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是a、b、c，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3 ，則 S1+S2+S3+S4= 35.如圖所示，無(wú)蓋玻璃容器，高18，底面周長(zhǎng)為60cm，在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的容器的上口外側(cè)距開口1cm的F處有一蒼蠅，試求急于撲貨蒼蠅充饑的蜘蛛，所走的最短路線的長(zhǎng)度為 cm. 36.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）.圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成.記圖2中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是 37.小東拿著一根長(zhǎng)竹稈進(jìn)一個(gè)寬為3米的城門，他先橫著拿不進(jìn)去，又豎起來拿，結(jié)果稈比城門高1米，當(dāng)他把稈斜著時(shí)，兩端剛好頂著城門的對(duì)角，問稈長(zhǎng)多少米?38.如圖，一段樓梯，每級(jí)臺(tái)階的高度為30cm，寬度為36cm，A、B兩點(diǎn)間相距多遠(yuǎn)？39.如圖，為修通鐵路鑿?fù)ㄋ淼繟C，量出A=40B=50，AB=5公里，BC=4公里，若每天鑿隧道0.3公里，問幾天才能把隧道AB鑿?fù)ǎ?0.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長(zhǎng)為7cm，則正方形A、B、C、D的面積之和為多少？41.如圖：有一圓柱，它的高等于8cm，底面直徑等于4cm（）,在圓柱下底面的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面與相對(duì)的點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程大約是多少？42.如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？43.中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過79千米/小時(shí)，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面對(duì)車速檢測(cè)儀正前方30米處，過了2秒后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間距離為50米，這輛小汽車超速了嗎？44.甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，沒有了水，需要尋找水源為了不致于走散，他們用兩部對(duì)話機(jī)聯(lián)系，已知對(duì)話機(jī)的有效距離為15千米早晨8：00甲先出發(fā)，他以6千米/時(shí)的速度向東行走，1小時(shí)后乙出發(fā)，他以5千米/時(shí)的速度向北行進(jìn)，上午10：00，甲、乙二人相距多遠(yuǎn)？還能保持聯(lián)系嗎？如圖，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點(diǎn)，且ADAC，求BD的長(zhǎng)45.如圖，ABC的三邊分別為AC=5，BC=12，AB=13，將ABC沿AD折疊，使AC落在AB上，求折痕AD的長(zhǎng)46.如圖，將矩形AB